Autor Tema: Superaditividad del Last Passage

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28 Mayo, 2015, 04:55 am
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numbsoul

  • Nahuel Albarracín
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Sea \( P\subseteq \mathbb{R}^{2} \) un proceso de Poisson de intensidad 1 y sea \( \{\omega_{p}:p\in P\} \) una colección i.i.d de pesos no negativos, cuya distribución también es independiente de \( P \).

Para \( p<q \) en \( \mathbb{R}^{2} \) (el orden coordenada a coordenada), denotamos \( \Pi(p,q) \) al conjunto de caminos estrictamente crecientes de \( p \) a \( q \), donde los puntos intermedios pertenecen a \( P \), y además convendremos que el punto inicial \( p \) no forma parte del camino. (es fácil ver que \( \Pi(p,q) \) es casi seguramente finito).

La convención anterior es crucial para la siguiente propiedad del Last-Passage (superaditividad): Si \( p<z<q \), se tiene que \( L(p,q)\geq L(p,z)+L(z,q) \)

Para probarla, tomemos caminos \( \gamma_{1}(p,z)\in \Pi(p,z) \) y \( \gamma_{2}(z,q)\in\Pi(z,q) \) que realicen el máximo en la definición de \( L(p,z) \) y \( L(z,q) \) respectivamente. Llamemos \( \gamma(p,q)\in \Pi(p,q) \) al camino yuxtapuesto

Tenemos entonces \( L(p,z)+L(z,q)=\displaystyle\sum_{p'\in\gamma_{1}(p,z)}\omega_{p'}+\displaystyle\sum_{p'\in\gamma_{2}(z,q)}\omega_{p'}=\displaystyle\sum_{p'\in \gamma(p,q)}\omega_{p'}\leq L(p,q) \).

Véase también: -Fekete's lemma
                      -Subbaditive ergodic theorem