Autor Tema: Centro en la hipotenusa

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11 Mayo, 2015, 04:43 pm
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Michel

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Los catetos de un triángulo ABC, rectángulo en A, miden AB=c y AC=b.
Una circunferencia de radio r es tangente a los catetos y su centro está en la hipotenusa.
Demostrar que 1/b+1/c=1/r
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Mayo, 2015, 11:01 am
Respuesta #1

poolnikov

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Hola.

Por semejanza entre los triángulos rectángulos EDB y FDC y operando...

Saludos.

17 Mayo, 2015, 05:23 pm
Respuesta #2

Michel

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Otra forma.

La suma de las áreas de los triángulos ABO y AOC es igual al área del triángulo ABC.

Tomando como bases de los dos primeros los catetos c y b, respectivamente, las alturas de ambos valen r (los radios en el punto de tangencia son perpendiculares  a las tangentes):

\( \dfrac{1}{2}cr+\dfrac{1}{2}br=\dfrac{1}{2}bc\Rightarrow{cr+br=bc} \)

Dividiendo ambos miembros por bcr:  \( \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{r} \)

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker