Autor Tema: Probabilidad en Mecánica Cuántica

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10 Mayo, 2015, 05:57 am
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aura

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Hola, espero que alguien pueda ayudarme.
El problema es el siguiente:

Quiero calcular la probabilidad de obtener el eigenvalor a_n si el observable A es medido.

El problema conceptual que tengo es que la ecuacion de eigenvalores viene dada en terminos de phi de eigenvalores y no de Phi de eigenestados. Es decir:

\( A \phi_n = a_n \phi_n \) para una particula en.el estado \( \phi= \phi_1 + \phi_2 \)

¿Para esta ecuacion como puedo calcular la probabilidad de obtener a_n?

17 Junio, 2015, 11:57 am
Respuesta #1

Raúl Aparicio Bustillo

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\( A \) es un operador lineal porque es un observable,  luego \( A(\phi_1+\phi_2)=a_1\cdot{\phi_1}+a_2\cdot{\phi_2} \)

No puedes obtener la probabilidad de obtener \( a_n \) si no te dan el estado. Suponiendo que el estado sea \( \psi \), el resultado es\(  |<\psi|\phi_n>|^2 \)

17 Junio, 2015, 07:02 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola, espero que alguien pueda ayudarme.
El problema es el siguiente:

Quiero calcular la probabilidad de obtener el eigenvalor a_n si el observable A es medido.

El problema conceptual que tengo es que la ecuacion de eigenvalores viene dada en terminos de phi de eigenvalores y no de Phi de eigenestados. Es decir:

\( A \phi_n = a_n \phi_n \) para una particula en.el estado \( \phi= \phi_1 + \phi_2 \)



No tengo ni idea, pero según el álgebra lineal corriente, si “A” es un operador lineal (o sea, una matriz) ahí los autovalores deberían ser \( a_n \) y phi serían los autovectores o autoespacios; que imagino que aquí, por analogía, son los autoestados.

18 Junio, 2015, 04:14 am
Respuesta #3

Raúl Aparicio Bustillo

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Si , eigen y auto es lo mismo, pensaba que estaba claro, y autovector es autoestado. Autoespacio no lo he oído en mi vida

18 Junio, 2015, 10:56 am
Respuesta #4

feriva

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Si , eigen y auto es lo mismo, pensaba que estaba claro, y autovector es autoestado. Autoespacio no lo he oído en mi vida

Sí, quiere decir “auto” pero más en el sentido de “automóvil”, de máquina con motor. Se dice también “vector propio” por autovector, o valor propio por autovalor, pero se le dé el nombre que se le dé, es simplemente un vector que cumple unas cosas. También se le podría llamar “autodimensión”, por usar una palabra que sugiere lo que es aunque no sea exactamente eso.
Qué es vector. Un vector no contiene puntos como una recta; un vector tiene módulo, eso sí, pero no se puede decir que tenga puntos. Un vector indica una dirección y un sentido a más de una longitud, es un conjunto de propiedades, no es una cosa, y ésas propiedades pueden pertenecer a cualquier cosa que se mueva (o incluso que no se mueva) ya sea en realidad o de forma abstracta.

Un autovalor es un escalar que, en principio, también puede ser cualquier número.

Si tenemos un sistema de ecuaciones, tenemos “escondidos” una vectores y una matriz, porque un vector no es más que un conjunto de variables x,y,z... las que sean, según la dimensión:

\( \begin{array}{ccc}
x & +y & =k_1\\
x & -y & =k_2
\end{array}
 \)

Nada nos impide ahí escribir “k sub 1” en función del valor que pueda tomar la primera variable, “x”, pues existirán números reales “a sub 1” para cada “x” ( “a sub 1” o “lambda” o “te” o como se le quiera llamar) tal que \( k_1=a_1x \).

Del mismo modo, nada nos impide escribir “k sub 2” en función de la segunda variable; existirán valores “a sub 2” tal que

\( k_2=a_2y \)

Si ahora los valores “a sub 1” y “a sub 2” cumplieran, además, esta condición, serían autovalores; la condición es:

que los dos valores de \( a_n \) (con n=1 y 2, porque solo tenemos subíndices 1 y 2) cumplan esto

\( \begin{array}{ccc}
x & +y & =a_{1}x\\
x & -y & =a_{1}y
\end{array}
 \)
y esto

\( \begin{array}{ccc}
x & +y & =a_{2}x\\
x & -y & =a_{2}y
\end{array}
 \)
y cada “a_n”, cada uno de ellos, vendrá dado por un solo valor para un conjunto de vectores (x,y).

Y entonces, si tenemos eso, decimos que (x,y) es un autovector o unos autovectores (en general será un conjunto de vectores que dependerá de los distintos valores, digamos proporcionales, que tomen las variables x,y; valores proporcionales que calcularemos normalmente mediante unos parámetros o por algún otro método).

Aclarado esto, lo que me pregunto en cuanto al problema de Aura (en mi ignorancia, no retóricamente) es: ¿tiene sentido preguntar por la probabilidad de los autovalores “a_n”? ¿La probabilidad de qué; de que tomen ciertos valores, de que sean reales, de que sean complejos, de que sean enteros... de qué?

(Mi pregunta iba referida al enunciado inicial del problema, que ha sido modificado, lo he visto ahora, después de escribir)