Autor Tema: Triángulo equilátero

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22 Abril, 2015, 10:48 am
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Michel

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Demostrar que si el ortocentro de un triángulo acutángulo divide a las alturas en la misma razón, el triángulo es equilátero.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

29 Abril, 2015, 09:29 am
Respuesta #1

Michel

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Sea H el ortocentro del triángulo ABC.

Se verifica:  HA/HA'=HB/HB'=HC/HC'

De las dos últimas razones: HB.HC'=HC.HB'          (1)

Los puntos B’ y C’, vértices de ángulos rectos, están en la semicircunferencia de diámetro BC; por potencia del punto H: HB.HB'=HC.HC'          (2)
       
De (1) y (2) se deduce:  HC=HB',  HC=HB

Por tanto, las alturas BB’ y CC’ son iguales.

De forma análoga se deduce que la altura AA’ es igual a las otras dos.

Si el triángulo tiene las tres alturas iguales, es equilátero.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker