Autor Tema: Comentarios al hilo sobre el UTF para exponente 3

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15 Mayo, 2015, 11:27 am
Respuesta #20

Carlos Ivorra

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Hola.

Muy bueno el "hilo".

Muchas gracias Carlos.

Un cordial saludo.

¡Hombre! Finalmente aparece uno de los tradicionalmente interesados en el UTF. Me alegra verte por aquí, y te animo a participar. ¿Ya sabes sumar, restar, multiplicar y dividir números ciclotómicos? Ponte a ello y verás que es fácil. Si no lo haces y no adquieres familiaridad con los enteros ciclotómicos, acabarás perdiéndote y sería una lástima. Si te surge cualquier duda, pregúntala, porque a poco que aclares cualquier punto oscuro que te surja al leer el hilo verás que todos los razonamientos, aunque sean "modernos" y empleen unos números "curiosos", siguen exactamente la misma lógica que los que tú mismo empleas en tus argumentos.

15 Mayo, 2015, 12:38 pm
Respuesta #21

robinlambada

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Hola. Parece que llego un poco tarde, dejo esta seudo-generalización  de la norma ,aunque no estoy seguro de que sirva de mucho.

Spoiler
He considerado la ec. Diofántica \( a^2-ab+b^2=c^2=N(\alpha) \), con c el módulo del nº ciclotomico.

Se trata de encontrar todos los triángulos con un angulo de 60º y lados enteros, viene de: \( c^2=a^2+b^2 -2abcos(\widehat{ab}) \)

Factorizando:

\( a(a-b)=(c+b)(c-b) \)

\( \displaystyle\frac{a}{(c-b)}=\displaystyle\frac{(c+b)}{(a-b)}=\displaystyle\frac{m}{n} \)

Tomando como parámetros m y n enteros, obtenemos:

\( c=m^2+n^2+mn \) , \( a=m^2+mn \)  , \( b=m^2-n^2 \)

Y luego hacemos \( c^2=1,2,3.... \)  y tratamos de eliminar un parámetro

Pero creo que este planteamiento complica más que ayuda, pues c puede tomar valores irracionales (pero se podría implementar un programa que genere las soluciones)


La resolución en mi caso, no tiene ningún merito, pues viene resuelto en muchos textos de ec. diófanticas.

P.D.:La dejo por si  alguien cree que puede ser de utilidad. Yo al final los casos 1,2 y 3 los resolví con la autopista de Carlos, ya que gracias a ella las soluciones salen casi automáticas.

[cerrar]
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Mayo, 2015, 01:05 pm
Respuesta #22

Carlos Ivorra

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Yo al final los casos 1,2 y 3 los resolví con la autopista de Carlos, ya que gracias a ella las soluciones salen casi automáticas.

Perfecto, con eso ya podemos pasar a la entrega siguiente, pero si te aburres, tienes el acertijo: ¿qué tienen en común los primos

7, 13, 19, 31, 37, 39, 43, 61, 67, 73, 79, 91...

que los distinga de

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, ... ?

¿En cuál de las dos series debe ir el 104729?

La respuesta (concisa) cabe en una fórmula de cuatro signos.

15 Mayo, 2015, 01:32 pm
Respuesta #23

robinlambada

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Respuesta al acertijo:

Spoiler
101429=6n-1 , con n=17455, por tanto estaría en la lista de abajo.
[cerrar]

Por cierto, hay una pequeña errata y el 39 sobra de las listas.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Mayo, 2015, 02:27 pm
Respuesta #24

Carlos Ivorra

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Por cierto, hay una pequeña errata y el 39 sobra de las listas.

En efecto, y también se me había olvidado incluir el 2 entre los primos que no son normas de enteros ciclotómicos (y eso requiere un ligero cambio en la regla que has encontrado para incuirlo):

Spoiler
Mejor \( 3n-1 \), para los primos impares es equivalente a \( 6n-1 \), pero así incluye al 2.
[cerrar]

Robinlambada ya sabe cuándo un primo es norma de un entero ciclotómico. Queda pendiente el problema de cuándo un número compuesto es norma de un entero ciclotómico a la luz de los datos que ha subido pabloN (aunque insisto en que estas preguntas son por pura curiosidad, aunque no hacen falta para nada).

Esperaré un poco por si alguien más quiere buscar una prueba concluyente de que ingmarov ha encontrado todos los enteros ciclotómicos de normas 1, 2, 3. De paso, podría publicar el argumento, y así me ahorro ponerlo yo para los que no lo hayan encontrado.

Esta noche o mañana subiré otra entrega.

15 Mayo, 2015, 03:56 pm
Respuesta #25

Piockñec

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Mi argumento de la solución :)
Spoiler
\( N(a+b\omega)=a^2+b^2-ab=N \)

Por la forma que tiene la expresión para calcular N, si dos valores a,b positivos satisfacen la ecuación, sus negativos también lo harán. Así que a todos los que encuentre añadiré sus opuestos a la lista.

\( a=0.5b\pm \sqrt{0.25b^2-(b^2-N)} \)
\( a+b\omega=\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}b^2+N}+b\omega \) debe ser entero. Para ello, b debe ser entero, y además el radicando no debe ser negativo, y \( \dfrac{b}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}b^2+N} \) debe ser entero.

\( -\dfrac{3}{4}b^2+N\geq{}0\Longrightarrow{}|b|\leq{}\sqrt{\dfrac{4}{3}N} \)

Si N=1, \( |b|\leq{}\sqrt{\dfrac{4}{3}}\Rightarrow{}|b|=(0,1) \)
Y entonces:
\( a=\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}b^2+N}=((1),(1,0)) \)
En resumen:
\( (a,b)=(1,0),(0,1),(1,1),(-1,0),(0,-1),(-1,-1) \)


Si N=2, \( |b|\leq{}\sqrt{\dfrac{4}{3}2}\Rightarrow{}|b|=(0,1) \)
Y entonces:
\( a=\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}b^2+N}=((irr),(irr,irr)) \)
En resumen:
No hay enteros ciclotómicos cuya norma sea 2.

Si N=3, \( |b|\leq{}\sqrt{\dfrac{4}{3}3}\Rightarrow{}|b|=(0,1,2) \)
Y entonces:
\( a=\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}b^2+N}=((irr),(2,-1),(1)) \)
En resumen:
\( (a,b)=(2,1),(-1,1),(1,2),(-2,-1),(1,-1),(-1,-2) \)
[cerrar]

Edito: Eh, ¡mi comentario número 1000! Y es una demostración... ;) Me aplaudo :aplauso: :aplauso: ¡bien Piockñec! :D

15 Mayo, 2015, 04:43 pm
Respuesta #26

Carlos Ivorra

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Mi argumento de la solución :)

 :aplauso:

Me ha costado un poco entender la notación que usas para resumir los casos, pero creo que es correcto. Es un argumento muy distinto del que yo había encontrado, y mucho más sistemático.

15 Mayo, 2015, 06:56 pm
Respuesta #27

feriva

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Hola, Carlos. Aunque profundizaré más adelante, como ya dije, he estado leyendo para tomar un poco de contacto con el tema. La amenidad y la claridad con que explicas son sobresalientes; no me gusta hacer la pelota, lo digo porque es de justicia señalarlo.

Saludos. 

15 Mayo, 2015, 07:07 pm
Respuesta #28

Carlos Ivorra

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Hola, Carlos. Aunque profundizaré más adelante, como ya dije, he estado leyendo para tomar un poco de contacto con el tema. La amenidad y la claridad con que explicas son sobresalientes; no me gusta hacer la pelota, lo digo porque es de justicia señalarlo.

Saludos. 

Gracias, feriva. Obviamente no quisiera que nadie se sintiera presionado. Todo lo que digo para animar a la gente a zambullirse lo digo porque tengo la sospecha de que muchos pueden pensar que esto es más complicado que lo que realmente es. Por supuesto, si alguien anda mal de tiempo o simplemente no le apetece, hará muy bien en no hacerme caso, pero en ausencia de esas dos contraindicaciones, de momento todo es cuestión de convencerse de que es fácil sumar, restar, multiplicar y dividir números ciclotómicos. En cuanto veas que es así, habrás asimilado lo que son realmente estos números y lo que supone trabajar con ellos.

15 Mayo, 2015, 07:47 pm
Respuesta #29

pierrot

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Modifiqué mi script ligeramente,
Spoiler
#!/usr/local/bin/perl -w
use strict;
use utf8;
use Math::Prime::Util qw(factor_exp);

binmode STDOUT, ':utf8';

my $rango_a = $ARGV[0] // 10;
my $rango_b = $ARGV[1] // 10;

my $norma_max = $rango_a**2 - $rango_a*$rango_b + $rango_b**2;
my $col1 = length($rango_a) + length($rango_b) + 5;
my $col2 = length($norma_max);

my $hash_ref = {};

for my $a (0..$rango_a) {
      for my $b (0..$rango_b) {
            my $norma = $a**2 - $a*$b + $b**2;
            my $fact = (($norma == 1) ? "1^1" : join(" * ", map {"$_->[0]^$_->[1]"} factor_exp($norma)));
            push @{$hash_ref->{$norma}}, ["N($a+${b}ω)", $norma, $fact];
      }
}

foreach my $n (sort { $a <=> $b } keys %$hash_ref) {
      foreach ( @{$hash_ref->{$n}} ) {
            printf "%${col1}s" . " " x 10 ."%${col2}d" . " " x 10 . "%s\n", @$_;
      }
}
[cerrar]
para ordenar los naturales que son norma de enteros ciclotómicos de menor a mayor. La salida que imprime ahora es:


  N(0+0ω)            0          0^1
  N(0+1ω)            1          1^1
  N(1+0ω)            1          1^1
  N(1+1ω)            1          1^1
  N(1+2ω)            3          3^1
  N(2+1ω)            3          3^1
  N(0+2ω)            4          2^2
  N(2+0ω)            4          2^2
  N(2+2ω)            4          2^2
  N(1+3ω)            7          7^1
  N(2+3ω)            7          7^1
  N(3+1ω)            7          7^1
  N(3+2ω)            7          7^1
  N(0+3ω)            9          3^2
  N(3+0ω)            9          3^2
  N(3+3ω)            9          3^2
  N(2+4ω)           12          2^2 * 3^1
  N(4+2ω)           12          2^2 * 3^1
  N(1+4ω)           13          13^1
  N(3+4ω)           13          13^1
  N(4+1ω)           13          13^1
  N(4+3ω)           13          13^1
  N(0+4ω)           16          2^4
  N(4+0ω)           16          2^4
  N(4+4ω)           16          2^4
  N(2+5ω)           19          19^1
  N(3+5ω)           19          19^1
  N(5+2ω)           19          19^1
  N(5+3ω)           19          19^1
  N(1+5ω)           21          3^1 * 7^1
  N(4+5ω)           21          3^1 * 7^1
  N(5+1ω)           21          3^1 * 7^1
  N(5+4ω)           21          3^1 * 7^1
  N(0+5ω)           25          5^2
  N(5+0ω)           25          5^2
  N(5+5ω)           25          5^2
  N(3+6ω)           27          3^3
  N(6+3ω)           27          3^3
  N(2+6ω)           28          2^2 * 7^1
  N(4+6ω)           28          2^2 * 7^1
  N(6+2ω)           28          2^2 * 7^1
  N(6+4ω)           28          2^2 * 7^1
  N(1+6ω)           31          31^1
  N(5+6ω)           31          31^1
  N(6+1ω)           31          31^1
  N(6+5ω)           31          31^1
  N(0+6ω)           36          2^2 * 3^2
  N(6+0ω)           36          2^2 * 3^2
  N(6+6ω)           36          2^2 * 3^2
  N(3+7ω)           37          37^1
  N(4+7ω)           37          37^1
  N(7+3ω)           37          37^1
  N(7+4ω)           37          37^1
  N(2+7ω)           39          3^1 * 13^1
  N(5+7ω)           39          3^1 * 13^1
  N(7+2ω)           39          3^1 * 13^1
  N(7+5ω)           39          3^1 * 13^1
  N(1+7ω)           43          43^1
  N(6+7ω)           43          43^1
  N(7+1ω)           43          43^1
  N(7+6ω)           43          43^1
  N(4+8ω)           48          2^4 * 3^1
  N(8+4ω)           48          2^4 * 3^1
  N(0+7ω)           49          7^2
  N(3+8ω)           49          7^2
  N(5+8ω)           49          7^2
  N(7+0ω)           49          7^2
  N(7+7ω)           49          7^2
  N(8+3ω)           49          7^2
  N(8+5ω)           49          7^2
  N(2+8ω)           52          2^2 * 13^1
  N(6+8ω)           52          2^2 * 13^1
  N(8+2ω)           52          2^2 * 13^1
  N(8+6ω)           52          2^2 * 13^1
  N(1+8ω)           57          3^1 * 19^1
  N(7+8ω)           57          3^1 * 19^1
  N(8+1ω)           57          3^1 * 19^1
  N(8+7ω)           57          3^1 * 19^1
  N(4+9ω)           61          61^1
  N(5+9ω)           61          61^1
  N(9+4ω)           61          61^1
  N(9+5ω)           61          61^1
  N(3+9ω)           63          3^2 * 7^1
  N(6+9ω)           63          3^2 * 7^1
  N(9+3ω)           63          3^2 * 7^1
  N(9+6ω)           63          3^2 * 7^1
  N(0+8ω)           64          2^6
  N(8+0ω)           64          2^6
  N(8+8ω)           64          2^6
  N(2+9ω)           67          67^1
  N(7+9ω)           67          67^1
  N(9+2ω)           67          67^1
  N(9+7ω)           67          67^1
  N(1+9ω)           73          73^1
  N(8+9ω)           73          73^1
  N(9+1ω)           73          73^1
  N(9+8ω)           73          73^1
 N(5+10ω)           75          3^1 * 5^2
 N(10+5ω)           75          3^1 * 5^2
 N(4+10ω)           76          2^2 * 19^1
 N(6+10ω)           76          2^2 * 19^1
 N(10+4ω)           76          2^2 * 19^1
 N(10+6ω)           76          2^2 * 19^1
 N(3+10ω)           79          79^1
 N(7+10ω)           79          79^1
 N(10+3ω)           79          79^1
 N(10+7ω)           79          79^1
  N(0+9ω)           81          3^4
  N(9+0ω)           81          3^4
  N(9+9ω)           81          3^4
 N(2+10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(8+10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(10+2ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(10+8ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(1+10ω)           91          7^1 * 13^1
 N(5+11ω)           91          7^1 * 13^1
 N(6+11ω)           91          7^1 * 13^1
 N(9+10ω)           91          7^1 * 13^1
 N(10+1ω)           91          7^1 * 13^1
 N(10+9ω)           91          7^1 * 13^1
 N(11+5ω)           91          7^1 * 13^1
 N(11+6ω)           91          7^1 * 13^1
 N(4+11ω)           93          3^1 * 31^1
 N(7+11ω)           93          3^1 * 31^1
 N(11+4ω)           93          3^1 * 31^1
 N(11+7ω)           93          3^1 * 31^1
 N(3+11ω)           97          97^1
 N(8+11ω)           97          97^1
 N(11+3ω)           97          97^1
 N(11+8ω)           97          97^1
 N(0+10ω)          100          2^2 * 5^2
 N(10+0ω)          100          2^2 * 5^2
N(10+10ω)          100          2^2 * 5^2
 N(2+11ω)          103          103^1
 N(9+11ω)          103          103^1
 N(11+2ω)          103          103^1
 N(11+9ω)          103          103^1
 N(6+12ω)          108          2^2 * 3^3
 N(12+6ω)          108          2^2 * 3^3
 N(5+12ω)          109          109^1
 N(7+12ω)          109          109^1
 N(12+5ω)          109          109^1
 N(12+7ω)          109          109^1
 N(1+11ω)          111          3^1 * 37^1
N(10+11ω)          111          3^1 * 37^1
 N(11+1ω)          111          3^1 * 37^1
N(11+10ω)          111          3^1 * 37^1
 N(4+12ω)          112          2^4 * 7^1
 N(8+12ω)          112          2^4 * 7^1
 N(12+4ω)          112          2^4 * 7^1
 N(12+8ω)          112          2^4 * 7^1
 N(3+12ω)          117          3^2 * 13^1
 N(9+12ω)          117          3^2 * 13^1
 N(12+3ω)          117          3^2 * 13^1
 N(12+9ω)          117          3^2 * 13^1
 N(0+11ω)          121          11^2
 N(11+0ω)          121          11^2
N(11+11ω)          121          11^2
 N(2+12ω)          124          2^2 * 31^1
N(10+12ω)          124          2^2 * 31^1
 N(12+2ω)          124          2^2 * 31^1
N(12+10ω)          124          2^2 * 31^1
 N(6+13ω)          127          127^1
 N(7+13ω)          127          127^1
 N(13+6ω)          127          127^1
 N(13+7ω)          127          127^1
 N(5+13ω)          129          3^1 * 43^1
 N(8+13ω)          129          3^1 * 43^1
 N(13+5ω)          129          3^1 * 43^1
 N(13+8ω)          129          3^1 * 43^1
 N(1+12ω)          133          7^1 * 19^1
 N(4+13ω)          133          7^1 * 19^1
 N(9+13ω)          133          7^1 * 19^1
N(11+12ω)          133          7^1 * 19^1
 N(12+1ω)          133          7^1 * 19^1
N(12+11ω)          133          7^1 * 19^1
 N(13+4ω)          133          7^1 * 19^1
 N(13+9ω)          133          7^1 * 19^1
 N(3+13ω)          139          139^1
N(10+13ω)          139          139^1
 N(13+3ω)          139          139^1
N(13+10ω)          139          139^1
 N(0+12ω)          144          2^4 * 3^2
 N(12+0ω)          144          2^4 * 3^2
N(12+12ω)          144          2^4 * 3^2
 N(2+13ω)          147          3^1 * 7^2
 N(7+14ω)          147          3^1 * 7^2
N(11+13ω)          147          3^1 * 7^2
 N(13+2ω)          147          3^1 * 7^2
N(13+11ω)          147          3^1 * 7^2
 N(14+7ω)          147          3^1 * 7^2
 N(6+14ω)          148          2^2 * 37^1
 N(8+14ω)          148          2^2 * 37^1
 N(14+6ω)          148          2^2 * 37^1
 N(14+8ω)          148          2^2 * 37^1
 N(5+14ω)          151          151^1
 N(9+14ω)          151          151^1
 N(14+5ω)          151          151^1
 N(14+9ω)          151          151^1
 N(4+14ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
N(10+14ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
 N(14+4ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
N(14+10ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
 N(1+13ω)          157          157^1
N(12+13ω)          157          157^1
 N(13+1ω)          157          157^1
N(13+12ω)          157          157^1
 N(3+14ω)          163          163^1
N(11+14ω)          163          163^1
 N(14+3ω)          163          163^1
N(14+11ω)          163          163^1
 N(0+13ω)          169          13^2
 N(7+15ω)          169          13^2
 N(8+15ω)          169          13^2
 N(13+0ω)          169          13^2
N(13+13ω)          169          13^2
 N(15+7ω)          169          13^2
 N(15+8ω)          169          13^2
 N(6+15ω)          171          3^2 * 19^1
 N(9+15ω)          171          3^2 * 19^1
 N(15+6ω)          171          3^2 * 19^1
 N(15+9ω)          171          3^2 * 19^1
 N(2+14ω)          172          2^2 * 43^1
N(12+14ω)          172          2^2 * 43^1
 N(14+2ω)          172          2^2 * 43^1
N(14+12ω)          172          2^2 * 43^1
 N(5+15ω)          175          5^2 * 7^1
N(10+15ω)          175          5^2 * 7^1
 N(15+5ω)          175          5^2 * 7^1
N(15+10ω)          175          5^2 * 7^1
 N(4+15ω)          181          181^1
N(11+15ω)          181          181^1
 N(15+4ω)          181          181^1
N(15+11ω)          181          181^1
 N(1+14ω)          183          3^1 * 61^1
N(13+14ω)          183          3^1 * 61^1
 N(14+1ω)          183          3^1 * 61^1
N(14+13ω)          183          3^1 * 61^1
 N(3+15ω)          189          3^3 * 7^1
N(12+15ω)          189          3^3 * 7^1
 N(15+3ω)          189          3^3 * 7^1
N(15+12ω)          189          3^3 * 7^1
 N(8+16ω)          192          2^6 * 3^1
 N(16+8ω)          192          2^6 * 3^1
 N(7+16ω)          193          193^1
 N(9+16ω)          193          193^1
 N(16+7ω)          193          193^1
 N(16+9ω)          193          193^1
 N(0+14ω)          196          2^2 * 7^2
 N(6+16ω)          196          2^2 * 7^2
N(10+16ω)          196          2^2 * 7^2
 N(14+0ω)          196          2^2 * 7^2
N(14+14ω)          196          2^2 * 7^2
 N(16+6ω)          196          2^2 * 7^2
N(16+10ω)          196          2^2 * 7^2
 N(2+15ω)          199          199^1
N(13+15ω)          199          199^1
 N(15+2ω)          199          199^1
N(15+13ω)          199          199^1
 N(5+16ω)          201          3^1 * 67^1
N(11+16ω)          201          3^1 * 67^1
 N(16+5ω)          201          3^1 * 67^1
N(16+11ω)          201          3^1 * 67^1
 N(4+16ω)          208          2^4 * 13^1
N(12+16ω)          208          2^4 * 13^1
 N(16+4ω)          208          2^4 * 13^1
N(16+12ω)          208          2^4 * 13^1
 N(1+15ω)          211          211^1
N(14+15ω)          211          211^1
 N(15+1ω)          211          211^1
N(15+14ω)          211          211^1
 N(3+16ω)          217          7^1 * 31^1
 N(8+17ω)          217          7^1 * 31^1
 N(9+17ω)          217          7^1 * 31^1
N(13+16ω)          217          7^1 * 31^1
 N(16+3ω)          217          7^1 * 31^1
N(16+13ω)          217          7^1 * 31^1
 N(17+8ω)          217          7^1 * 31^1
 N(17+9ω)          217          7^1 * 31^1
 N(7+17ω)          219          3^1 * 73^1
N(10+17ω)          219          3^1 * 73^1
 N(17+7ω)          219          3^1 * 73^1
N(17+10ω)          219          3^1 * 73^1
 N(6+17ω)          223          223^1
N(11+17ω)          223          223^1
 N(17+6ω)          223          223^1
N(17+11ω)          223          223^1
 N(0+15ω)          225          3^2 * 5^2
 N(15+0ω)          225          3^2 * 5^2
N(15+15ω)          225          3^2 * 5^2
 N(2+16ω)          228          2^2 * 3^1 * 19^1
N(14+16ω)          228          2^2 * 3^1 * 19^1
 N(16+2ω)          228          2^2 * 3^1 * 19^1
N(16+14ω)          228          2^2 * 3^1 * 19^1
 N(5+17ω)          229          229^1
N(12+17ω)          229          229^1
 N(17+5ω)          229          229^1
N(17+12ω)          229          229^1
 N(4+17ω)          237          3^1 * 79^1
N(13+17ω)          237          3^1 * 79^1
 N(17+4ω)          237          3^1 * 79^1
N(17+13ω)          237          3^1 * 79^1
 N(1+16ω)          241          241^1
N(15+16ω)          241          241^1
 N(16+1ω)          241          241^1
N(16+15ω)          241          241^1
 N(9+18ω)          243          3^5
 N(18+9ω)          243          3^5
 N(8+18ω)          244          2^2 * 61^1
N(10+18ω)          244          2^2 * 61^1
 N(18+8ω)          244          2^2 * 61^1
N(18+10ω)          244          2^2 * 61^1
 N(3+17ω)          247          13^1 * 19^1
 N(7+18ω)          247          13^1 * 19^1
N(11+18ω)          247          13^1 * 19^1
N(14+17ω)          247          13^1 * 19^1
 N(17+3ω)          247          13^1 * 19^1
N(17+14ω)          247          13^1 * 19^1
 N(18+7ω)          247          13^1 * 19^1
N(18+11ω)          247          13^1 * 19^1
 N(6+18ω)          252          2^2 * 3^2 * 7^1
N(12+18ω)          252          2^2 * 3^2 * 7^1
 N(18+6ω)          252          2^2 * 3^2 * 7^1
N(18+12ω)          252          2^2 * 3^2 * 7^1
 N(0+16ω)          256          2^8
 N(16+0ω)          256          2^8
N(16+16ω)          256          2^8
 N(2+17ω)          259          7^1 * 37^1
 N(5+18ω)          259          7^1 * 37^1
N(13+18ω)          259          7^1 * 37^1
N(15+17ω)          259          7^1 * 37^1
 N(17+2ω)          259          7^1 * 37^1
N(17+15ω)          259          7^1 * 37^1
 N(18+5ω)          259          7^1 * 37^1
N(18+13ω)          259          7^1 * 37^1
 N(4+18ω)          268          2^2 * 67^1
N(14+18ω)          268          2^2 * 67^1
 N(18+4ω)          268          2^2 * 67^1
N(18+14ω)          268          2^2 * 67^1
 N(9+19ω)          271          271^1
N(10+19ω)          271          271^1
 N(19+9ω)          271          271^1
N(19+10ω)          271          271^1
 N(1+17ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
 N(8+19ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
N(11+19ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
N(16+17ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
 N(17+1ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
N(17+16ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
 N(19+8ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
N(19+11ω)          273          3^1 * 7^1 * 13^1
 N(7+19ω)          277          277^1
N(12+19ω)          277          277^1
 N(19+7ω)          277          277^1
N(19+12ω)          277          277^1
 N(3+18ω)          279          3^2 * 31^1
N(15+18ω)          279          3^2 * 31^1
 N(18+3ω)          279          3^2 * 31^1
N(18+15ω)          279          3^2 * 31^1
 N(6+19ω)          283          283^1
N(13+19ω)          283          283^1
 N(19+6ω)          283          283^1
N(19+13ω)          283          283^1
 N(0+17ω)          289          17^2
 N(17+0ω)          289          17^2
N(17+17ω)          289          17^2
 N(5+19ω)          291          3^1 * 97^1
N(14+19ω)          291          3^1 * 97^1
 N(19+5ω)          291          3^1 * 97^1
N(19+14ω)          291          3^1 * 97^1
 N(2+18ω)          292          2^2 * 73^1
N(16+18ω)          292          2^2 * 73^1
 N(18+2ω)          292          2^2 * 73^1
N(18+16ω)          292          2^2 * 73^1
N(10+20ω)          300          2^2 * 3^1 * 5^2
N(20+10ω)          300          2^2 * 3^1 * 5^2
 N(4+19ω)          301          7^1 * 43^1
 N(9+20ω)          301          7^1 * 43^1
N(11+20ω)          301          7^1 * 43^1
N(15+19ω)          301          7^1 * 43^1
 N(19+4ω)          301          7^1 * 43^1
N(19+15ω)          301          7^1 * 43^1
 N(20+9ω)          301          7^1 * 43^1
N(20+11ω)          301          7^1 * 43^1
 N(8+20ω)          304          2^4 * 19^1
N(12+20ω)          304          2^4 * 19^1
 N(20+8ω)          304          2^4 * 19^1
N(20+12ω)          304          2^4 * 19^1
 N(1+18ω)          307          307^1
N(17+18ω)          307          307^1
 N(18+1ω)          307          307^1
N(18+17ω)          307          307^1
 N(7+20ω)          309          3^1 * 103^1
N(13+20ω)          309          3^1 * 103^1
 N(20+7ω)          309          3^1 * 103^1
N(20+13ω)          309          3^1 * 103^1
 N(3+19ω)          313          313^1
N(16+19ω)          313          313^1
 N(19+3ω)          313          313^1
N(19+16ω)          313          313^1
 N(6+20ω)          316          2^2 * 79^1
N(14+20ω)          316          2^2 * 79^1
 N(20+6ω)          316          2^2 * 79^1
N(20+14ω)          316          2^2 * 79^1
 N(0+18ω)          324          2^2 * 3^4
 N(18+0ω)          324          2^2 * 3^4
N(18+18ω)          324          2^2 * 3^4
 N(5+20ω)          325          5^2 * 13^1
N(15+20ω)          325          5^2 * 13^1
 N(20+5ω)          325          5^2 * 13^1
N(20+15ω)          325          5^2 * 13^1
 N(2+19ω)          327          3^1 * 109^1
N(17+19ω)          327          3^1 * 109^1
 N(19+2ω)          327          3^1 * 109^1
N(19+17ω)          327          3^1 * 109^1
 N(4+20ω)          336          2^4 * 3^1 * 7^1
N(16+20ω)          336          2^4 * 3^1 * 7^1
 N(20+4ω)          336          2^4 * 3^1 * 7^1
N(20+16ω)          336          2^4 * 3^1 * 7^1
 N(1+19ω)          343          7^3
N(18+19ω)          343          7^3
 N(19+1ω)          343          7^3
N(19+18ω)          343          7^3
 N(3+20ω)          349          349^1
N(17+20ω)          349          349^1
 N(20+3ω)          349          349^1
N(20+17ω)          349          349^1
 N(0+19ω)          361          19^2
 N(19+0ω)          361          19^2
N(19+19ω)          361          19^2
 N(2+20ω)          364          2^2 * 7^1 * 13^1
N(18+20ω)          364          2^2 * 7^1 * 13^1
 N(20+2ω)          364          2^2 * 7^1 * 13^1
N(20+18ω)          364          2^2 * 7^1 * 13^1
 N(1+20ω)          381          3^1 * 127^1
N(19+20ω)          381          3^1 * 127^1
 N(20+1ω)          381          3^1 * 127^1
N(20+19ω)          381          3^1 * 127^1
 N(0+20ω)          400          2^4 * 5^2
 N(20+0ω)          400          2^4 * 5^2
N(20+20ω)          400          2^4 * 5^2


Creo que así podría ser más fácil de distinguir qué tienen en común todos ellos.
$_="loe  hnachaPkr erttes,urJ";$j=0;for($i=0;s/(.)(.{$j})$//;$i++){$_=$2.$_,$j+=1-$i%2,print$1}print

15 Mayo, 2015, 07:54 pm
Respuesta #30

Carlos Ivorra

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Creo que así podría ser más fácil de distinguir qué tienen en común todos ellos.

En efecto, sobre todo porque así es fácil ver cuáles no aparecen en la lista.

La respuesta depende tanto de los factores primos como de los exponentes. El caso más simple es el de los primos (que ya lo ha resuelto robinlambada), el caso siguiente sería el de los compuestos en los que cada primo aparece con exponente 1, el siguiente el de los compuestos en los que aparecen primos con exponente 1 y 2, luego hasta exponente 3, y si uno logra entender lo que pasa hasta ese caso, el caso general ya debería estar claro.

15 Mayo, 2015, 08:21 pm
Respuesta #31

robinlambada

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Hola. A bote pronto me atrevo a conjeturar:
Spoiler
La norma de cualquier número ciclotómico es de la forma:


\( N=2^a3^b(6n_1+1)^{c_1}(6n_2+1)^{c_2}...(6n_k+1)^{c_k} \)

con \( a,b,c_i\in{\mathbb{N}} \)
[cerrar]

Ahora habría que demostrarlo si es cierto.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Mayo, 2015, 08:26 pm
Respuesta #32

Carlos Ivorra

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A bote pronto me atrevo a conjeturar: ...

El 25 no es de esa forma, pero es una norma. El 6 sí que es de esa forma, pero no es una norma. Pero te estás acercando.

Edito: En efecto, lo que dices es cierto: todo entero ciclotómico tiene norma de esa forma, pero no todo número de esa forma es la norma de un entero ciclotómico. Se puede hilar más fino.

Otro contraejemplo que puede ayudar a modificar la conjetura es el \( 55 = 6\cdot 9+1 \), que no es una norma.

15 Mayo, 2015, 09:28 pm
Respuesta #33

robinlambada

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El 25 no es de esa forma, pero es una norma. El 6 sí que es de esa forma, pero no es una norma. Pero te estás acercando.
Cierto gracias.
Citar
Edito: En efecto, lo que dices es cierto: todo entero ciclotómico tiene norma de esa forma, pero no todo número de esa forma es la norma de un entero ciclotómico. Se puede hilar más fino.

Otro contraejemplo que puede ayudar a modificar la conjetura es el \( 55 = 6\cdot 9+1 \), que no es una norma.
Creo que querías decir lo contrario, que la fórmula está incompleta, es decir: que todo numero de esa forma es la norma de un  ciclotómico, pero no toda norma de ellos es de esa forma.

Cierto es que las normas que son  cuadrados perfectos, no están incluidas en la fórmula, es decir de números de la forma \(  a +0\omega \) , \( 0+a\omega \) y \( a+a\omega \), con norma \( N=a^2 \).

Lo que si parece claro es que no hay factores del tipo \( 6n-1 \) , si excluimos las normas que son cuadrados perfecto, con n>1 numero natural.*

Me estoy restringuiendo sólo a los naturales por guiarme de la tabla que puso Pablo, ( si tenemos una solución (a,b) en mi fórmula se incluyen las soluciones \( ( -a,-b) \) ,\( (b,a) \) y \( (-b,-a) \) que darían los mismos factores que \( (a,b) \). Pero habría que incluir los factores en los que \( a\cdot{}b<0 \)

Todavía queda camino.
Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

15 Mayo, 2015, 09:41 pm
Respuesta #34

Carlos Ivorra

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El 25 no es de esa forma, pero es una norma. El 6 sí que es de esa forma, pero no es una norma. Pero te estás acercando.
Cierto gracias.
Citar
Edito: En efecto, lo que dices es cierto: todo entero ciclotómico tiene norma de esa forma, pero no todo número de esa forma es la norma de un entero ciclotómico. Se puede hilar más fino.

Otro contraejemplo que puede ayudar a modificar la conjetura es el \( 55 = 6\cdot 9+1 \), que no es una norma.
Creo que querías decir lo contrario, que la fórmula está incompleta, es decir: que todo numero de esa forma es la norma de un  ciclotómico, pero no toda norma de ellos es de esa forma. No hay ninguna restricción que imponer sobre los factores primos de los cuadrados.

No, no. Lo he dicho bien: el 55 tiene la forma que has propuesto, pero no es la norma de un entero ciclotómico.

Cierto es que las normas que son  cuadrados perfectos, no están incluidas en la fórmula, es decir de números de la forma \(  a +0\omega \) , \( 0+a\omega \) y \( a+a\omega \), con norma \( N=a^2 \).

Esta observación es muy pertinente. Se puede afinar un poquito: \( N(n\alpha)=N(n)N(\alpha)=n^2N(\alpha) \), es decir, cualquier norma multiplicada por un cuadrado es una norma.

Lo que si parece claro es que no hay factores del tipo \( 6n-1 \) , si excluimos las normas que son cuadrados perfecto, con n>1 numero natural.*

Creo que te está confundiendo el hablar de factore sde tipo \( 6n-1 \) sin tener en cuenta si son primos o no (o tal vez es que te refieres implícitamente a factores primos). Por ejemplo, \( 55 \) es de la forma \( 6n+1 \), pero "su problema" es que sus factores primos no son de esa forma.

Me estoy restringuiendo sólo a los naturales por guiarme de la tabla que puso Pablo, ( si tenemos una solución (a,b) en mi fórmula se incluyen las soluciones \( ( -a,-b) \) ,\( (b,a) \) y \( (-b,-a) \) que darían los mismos factores que \( (a,b) \). Pero habría que incluir los factores en los que \( a\cdot{}b<0 \)

Es verdad. No me había fijado en que pabloN no había considerado coordenadas negativas. Convendría modificar el programa para considerar ambos signos.

15 Mayo, 2015, 09:43 pm
Respuesta #35

mente oscura

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¡Hombre! Finalmente aparece uno de los tradicionalmente interesados en el UTF. Me alegra verte por aquí, y te animo a participar. ¿Ya sabes sumar, restar, multiplicar y dividir números ciclotómicos? Ponte a ello y verás que es fácil. Si no lo haces y no adquieres familiaridad con los enteros ciclotómicos, acabarás perdiéndote y sería una lástima. Si te surge cualquier duda, pregúntala, porque a poco que aclares cualquier punto oscuro que te surja al leer el hilo verás que todos los razonamientos, aunque sean "modernos" y empleen unos números "curiosos", siguen exactamente la misma lógica que los que tú mismo empleas en tus argumentos.

Hola.

Sí, me estoy "enterando". Muchas gracias.

A pesar de mi poco "tiempò", estoy disfrutando bastante con este tema.

Un cordial saludo.

15 Mayo, 2015, 10:16 pm
Respuesta #36

pierrot

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Convendría modificar el programa para considerar ambos signos.

El programa modificado:

Spoiler
#!/usr/local/bin/perl -w
use strict;
use utf8;
use Math::Prime::Util qw(factor_exp);

binmode STDOUT, ':utf8';

my $rango_a = $ARGV[0] // 10;
my $rango_b = $ARGV[1] // 10;

my $norma_max = $rango_a**2 - $rango_a*$rango_b + $rango_b**2;
my $col1 = length($rango_a) + length($rango_b) + 6;
my $col2 = length($norma_max);

my $hash_ref = {};

for my $a (-$rango_a..$rango_a) {
      for my $b (-$rango_b..$rango_b) {
            my $norma = $a**2 - $a*$b + $b**2;
            my $factorización = (($norma == 1) ? "1^1" : join(" * ", map {"$_->[0]^$_->[1]"} factor_exp($norma)));
            push @{$hash_ref->{$norma}}, [ sprintf("N(%d%+dω)",$a,$b), $norma, $factorización];
      }
}

foreach my $n (sort { $a <=> $b } keys %$hash_ref) {
      foreach ( @{$hash_ref->{$n}} ) {
            printf "%${col1}s" . " " x 10 ."%${col2}d" . " " x 10 . "%s\n", @$_;
      }
}

[cerrar]

La lista (considerando \( a,b \) entre -10 y 10):

Spoiler

   N(0+0ω)            0          0^1
  N(-1-1ω)            1          1^1
  N(-1+0ω)            1          1^1
   N(0-1ω)            1          1^1
   N(0+1ω)            1          1^1
   N(1+0ω)            1          1^1
   N(1+1ω)            1          1^1
  N(-2-1ω)            3          3^1
  N(-1-2ω)            3          3^1
  N(-1+1ω)            3          3^1
   N(1-1ω)            3          3^1
   N(1+2ω)            3          3^1
   N(2+1ω)            3          3^1
  N(-2-2ω)            4          2^2
  N(-2+0ω)            4          2^2
   N(0-2ω)            4          2^2
   N(0+2ω)            4          2^2
   N(2+0ω)            4          2^2
   N(2+2ω)            4          2^2
  N(-3-2ω)            7          7^1
  N(-3-1ω)            7          7^1
  N(-2-3ω)            7          7^1
  N(-2+1ω)            7          7^1
  N(-1-3ω)            7          7^1
  N(-1+2ω)            7          7^1
   N(1-2ω)            7          7^1
   N(1+3ω)            7          7^1
   N(2-1ω)            7          7^1
   N(2+3ω)            7          7^1
   N(3+1ω)            7          7^1
   N(3+2ω)            7          7^1
  N(-3-3ω)            9          3^2
  N(-3+0ω)            9          3^2
   N(0-3ω)            9          3^2
   N(0+3ω)            9          3^2
   N(3+0ω)            9          3^2
   N(3+3ω)            9          3^2
  N(-4-2ω)           12          2^2 * 3^1
  N(-2-4ω)           12          2^2 * 3^1
  N(-2+2ω)           12          2^2 * 3^1
   N(2-2ω)           12          2^2 * 3^1
   N(2+4ω)           12          2^2 * 3^1
   N(4+2ω)           12          2^2 * 3^1
  N(-4-3ω)           13          13^1
  N(-4-1ω)           13          13^1
  N(-3-4ω)           13          13^1
  N(-3+1ω)           13          13^1
  N(-1-4ω)           13          13^1
  N(-1+3ω)           13          13^1
   N(1-3ω)           13          13^1
   N(1+4ω)           13          13^1
   N(3-1ω)           13          13^1
   N(3+4ω)           13          13^1
   N(4+1ω)           13          13^1
   N(4+3ω)           13          13^1
  N(-4-4ω)           16          2^4
  N(-4+0ω)           16          2^4
   N(0-4ω)           16          2^4
   N(0+4ω)           16          2^4
   N(4+0ω)           16          2^4
   N(4+4ω)           16          2^4
  N(-5-3ω)           19          19^1
  N(-5-2ω)           19          19^1
  N(-3-5ω)           19          19^1
  N(-3+2ω)           19          19^1
  N(-2-5ω)           19          19^1
  N(-2+3ω)           19          19^1
   N(2-3ω)           19          19^1
   N(2+5ω)           19          19^1
   N(3-2ω)           19          19^1
   N(3+5ω)           19          19^1
   N(5+2ω)           19          19^1
   N(5+3ω)           19          19^1
  N(-5-4ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-5-1ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-4-5ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-4+1ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-1-5ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-1+4ω)           21          3^1 * 7^1
   N(1-4ω)           21          3^1 * 7^1
   N(1+5ω)           21          3^1 * 7^1
   N(4-1ω)           21          3^1 * 7^1
   N(4+5ω)           21          3^1 * 7^1
   N(5+1ω)           21          3^1 * 7^1
   N(5+4ω)           21          3^1 * 7^1
  N(-5-5ω)           25          5^2
  N(-5+0ω)           25          5^2
   N(0-5ω)           25          5^2
   N(0+5ω)           25          5^2
   N(5+0ω)           25          5^2
   N(5+5ω)           25          5^2
  N(-6-3ω)           27          3^3
  N(-3-6ω)           27          3^3
  N(-3+3ω)           27          3^3
   N(3-3ω)           27          3^3
   N(3+6ω)           27          3^3
   N(6+3ω)           27          3^3
  N(-6-4ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-6-2ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-4-6ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-4+2ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-2-6ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-2+4ω)           28          2^2 * 7^1
   N(2-4ω)           28          2^2 * 7^1
   N(2+6ω)           28          2^2 * 7^1
   N(4-2ω)           28          2^2 * 7^1
   N(4+6ω)           28          2^2 * 7^1
   N(6+2ω)           28          2^2 * 7^1
   N(6+4ω)           28          2^2 * 7^1
  N(-6-5ω)           31          31^1
  N(-6-1ω)           31          31^1
  N(-5-6ω)           31          31^1
  N(-5+1ω)           31          31^1
  N(-1-6ω)           31          31^1
  N(-1+5ω)           31          31^1
   N(1-5ω)           31          31^1
   N(1+6ω)           31          31^1
   N(5-1ω)           31          31^1
   N(5+6ω)           31          31^1
   N(6+1ω)           31          31^1
   N(6+5ω)           31          31^1
  N(-6-6ω)           36          2^2 * 3^2
  N(-6+0ω)           36          2^2 * 3^2
   N(0-6ω)           36          2^2 * 3^2
   N(0+6ω)           36          2^2 * 3^2
   N(6+0ω)           36          2^2 * 3^2
   N(6+6ω)           36          2^2 * 3^2
  N(-7-4ω)           37          37^1
  N(-7-3ω)           37          37^1
  N(-4-7ω)           37          37^1
  N(-4+3ω)           37          37^1
  N(-3-7ω)           37          37^1
  N(-3+4ω)           37          37^1
   N(3-4ω)           37          37^1
   N(3+7ω)           37          37^1
   N(4-3ω)           37          37^1
   N(4+7ω)           37          37^1
   N(7+3ω)           37          37^1
   N(7+4ω)           37          37^1
  N(-7-5ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-7-2ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-5-7ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-5+2ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-2-7ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-2+5ω)           39          3^1 * 13^1
   N(2-5ω)           39          3^1 * 13^1
   N(2+7ω)           39          3^1 * 13^1
   N(5-2ω)           39          3^1 * 13^1
   N(5+7ω)           39          3^1 * 13^1
   N(7+2ω)           39          3^1 * 13^1
   N(7+5ω)           39          3^1 * 13^1
  N(-7-6ω)           43          43^1
  N(-7-1ω)           43          43^1
  N(-6-7ω)           43          43^1
  N(-6+1ω)           43          43^1
  N(-1-7ω)           43          43^1
  N(-1+6ω)           43          43^1
   N(1-6ω)           43          43^1
   N(1+7ω)           43          43^1
   N(6-1ω)           43          43^1
   N(6+7ω)           43          43^1
   N(7+1ω)           43          43^1
   N(7+6ω)           43          43^1
  N(-8-4ω)           48          2^4 * 3^1
  N(-4-8ω)           48          2^4 * 3^1
  N(-4+4ω)           48          2^4 * 3^1
   N(4-4ω)           48          2^4 * 3^1
   N(4+8ω)           48          2^4 * 3^1
   N(8+4ω)           48          2^4 * 3^1
  N(-8-5ω)           49          7^2
  N(-8-3ω)           49          7^2
  N(-7-7ω)           49          7^2
  N(-7+0ω)           49          7^2
  N(-5-8ω)           49          7^2
  N(-5+3ω)           49          7^2
  N(-3-8ω)           49          7^2
  N(-3+5ω)           49          7^2
   N(0-7ω)           49          7^2
   N(0+7ω)           49          7^2
   N(3-5ω)           49          7^2
   N(3+8ω)           49          7^2
   N(5-3ω)           49          7^2
   N(5+8ω)           49          7^2
   N(7+0ω)           49          7^2
   N(7+7ω)           49          7^2
   N(8+3ω)           49          7^2
   N(8+5ω)           49          7^2
  N(-8-6ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-8-2ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-6-8ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-6+2ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-2-8ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-2+6ω)           52          2^2 * 13^1
   N(2-6ω)           52          2^2 * 13^1
   N(2+8ω)           52          2^2 * 13^1
   N(6-2ω)           52          2^2 * 13^1
   N(6+8ω)           52          2^2 * 13^1
   N(8+2ω)           52          2^2 * 13^1
   N(8+6ω)           52          2^2 * 13^1
  N(-8-7ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-8-1ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-7-8ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-7+1ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-1-8ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-1+7ω)           57          3^1 * 19^1
   N(1-7ω)           57          3^1 * 19^1
   N(1+8ω)           57          3^1 * 19^1
   N(7-1ω)           57          3^1 * 19^1
   N(7+8ω)           57          3^1 * 19^1
   N(8+1ω)           57          3^1 * 19^1
   N(8+7ω)           57          3^1 * 19^1
  N(-9-5ω)           61          61^1
  N(-9-4ω)           61          61^1
  N(-5-9ω)           61          61^1
  N(-5+4ω)           61          61^1
  N(-4-9ω)           61          61^1
  N(-4+5ω)           61          61^1
   N(4-5ω)           61          61^1
   N(4+9ω)           61          61^1
   N(5-4ω)           61          61^1
   N(5+9ω)           61          61^1
   N(9+4ω)           61          61^1
   N(9+5ω)           61          61^1
  N(-9-6ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-9-3ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-6-9ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-6+3ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-3-9ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-3+6ω)           63          3^2 * 7^1
   N(3-6ω)           63          3^2 * 7^1
   N(3+9ω)           63          3^2 * 7^1
   N(6-3ω)           63          3^2 * 7^1
   N(6+9ω)           63          3^2 * 7^1
   N(9+3ω)           63          3^2 * 7^1
   N(9+6ω)           63          3^2 * 7^1
  N(-8-8ω)           64          2^6
  N(-8+0ω)           64          2^6
   N(0-8ω)           64          2^6
   N(0+8ω)           64          2^6
   N(8+0ω)           64          2^6
   N(8+8ω)           64          2^6
  N(-9-7ω)           67          67^1
  N(-9-2ω)           67          67^1
  N(-7-9ω)           67          67^1
  N(-7+2ω)           67          67^1
  N(-2-9ω)           67          67^1
  N(-2+7ω)           67          67^1
   N(2-7ω)           67          67^1
   N(2+9ω)           67          67^1
   N(7-2ω)           67          67^1
   N(7+9ω)           67          67^1
   N(9+2ω)           67          67^1
   N(9+7ω)           67          67^1
  N(-9-8ω)           73          73^1
  N(-9-1ω)           73          73^1
  N(-8-9ω)           73          73^1
  N(-8+1ω)           73          73^1
  N(-1-9ω)           73          73^1
  N(-1+8ω)           73          73^1
   N(1-8ω)           73          73^1
   N(1+9ω)           73          73^1
   N(8-1ω)           73          73^1
   N(8+9ω)           73          73^1
   N(9+1ω)           73          73^1
   N(9+8ω)           73          73^1
 N(-10-5ω)           75          3^1 * 5^2
 N(-5-10ω)           75          3^1 * 5^2
  N(-5+5ω)           75          3^1 * 5^2
   N(5-5ω)           75          3^1 * 5^2
  N(5+10ω)           75          3^1 * 5^2
  N(10+5ω)           75          3^1 * 5^2
 N(-10-6ω)           76          2^2 * 19^1
 N(-10-4ω)           76          2^2 * 19^1
 N(-6-10ω)           76          2^2 * 19^1
  N(-6+4ω)           76          2^2 * 19^1
 N(-4-10ω)           76          2^2 * 19^1
  N(-4+6ω)           76          2^2 * 19^1
   N(4-6ω)           76          2^2 * 19^1
  N(4+10ω)           76          2^2 * 19^1
   N(6-4ω)           76          2^2 * 19^1
  N(6+10ω)           76          2^2 * 19^1
  N(10+4ω)           76          2^2 * 19^1
  N(10+6ω)           76          2^2 * 19^1
 N(-10-7ω)           79          79^1
 N(-10-3ω)           79          79^1
 N(-7-10ω)           79          79^1
  N(-7+3ω)           79          79^1
 N(-3-10ω)           79          79^1
  N(-3+7ω)           79          79^1
   N(3-7ω)           79          79^1
  N(3+10ω)           79          79^1
   N(7-3ω)           79          79^1
  N(7+10ω)           79          79^1
  N(10+3ω)           79          79^1
  N(10+7ω)           79          79^1
  N(-9-9ω)           81          3^4
  N(-9+0ω)           81          3^4
   N(0-9ω)           81          3^4
   N(0+9ω)           81          3^4
   N(9+0ω)           81          3^4
   N(9+9ω)           81          3^4
 N(-10-8ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(-10-2ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(-8-10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(-8+2ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(-2-10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(-2+8ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
   N(2-8ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(2+10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
   N(8-2ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(8+10ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(10+2ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
  N(10+8ω)           84          2^2 * 3^1 * 7^1
 N(-10-9ω)           91          7^1 * 13^1
 N(-10-1ω)           91          7^1 * 13^1
 N(-9-10ω)           91          7^1 * 13^1
  N(-9+1ω)           91          7^1 * 13^1
  N(-6+5ω)           91          7^1 * 13^1
  N(-5+6ω)           91          7^1 * 13^1
 N(-1-10ω)           91          7^1 * 13^1
  N(-1+9ω)           91          7^1 * 13^1
   N(1-9ω)           91          7^1 * 13^1
  N(1+10ω)           91          7^1 * 13^1
   N(5-6ω)           91          7^1 * 13^1
   N(6-5ω)           91          7^1 * 13^1
   N(9-1ω)           91          7^1 * 13^1
  N(9+10ω)           91          7^1 * 13^1
  N(10+1ω)           91          7^1 * 13^1
  N(10+9ω)           91          7^1 * 13^1
  N(-7+4ω)           93          3^1 * 31^1
  N(-4+7ω)           93          3^1 * 31^1
   N(4-7ω)           93          3^1 * 31^1
   N(7-4ω)           93          3^1 * 31^1
  N(-8+3ω)           97          97^1
  N(-3+8ω)           97          97^1
   N(3-8ω)           97          97^1
   N(8-3ω)           97          97^1
N(-10-10ω)          100          2^2 * 5^2
 N(-10+0ω)          100          2^2 * 5^2
  N(0-10ω)          100          2^2 * 5^2
  N(0+10ω)          100          2^2 * 5^2
  N(10+0ω)          100          2^2 * 5^2
 N(10+10ω)          100          2^2 * 5^2
  N(-9+2ω)          103          103^1
  N(-2+9ω)          103          103^1
   N(2-9ω)          103          103^1
   N(9-2ω)          103          103^1
  N(-6+6ω)          108          2^2 * 3^3
   N(6-6ω)          108          2^2 * 3^3
  N(-7+5ω)          109          109^1
  N(-5+7ω)          109          109^1
   N(5-7ω)          109          109^1
   N(7-5ω)          109          109^1
 N(-10+1ω)          111          3^1 * 37^1
 N(-1+10ω)          111          3^1 * 37^1
  N(1-10ω)          111          3^1 * 37^1
  N(10-1ω)          111          3^1 * 37^1
  N(-8+4ω)          112          2^4 * 7^1
  N(-4+8ω)          112          2^4 * 7^1
   N(4-8ω)          112          2^4 * 7^1
   N(8-4ω)          112          2^4 * 7^1
  N(-9+3ω)          117          3^2 * 13^1
  N(-3+9ω)          117          3^2 * 13^1
   N(3-9ω)          117          3^2 * 13^1
   N(9-3ω)          117          3^2 * 13^1
 N(-10+2ω)          124          2^2 * 31^1
 N(-2+10ω)          124          2^2 * 31^1
  N(2-10ω)          124          2^2 * 31^1
  N(10-2ω)          124          2^2 * 31^1
  N(-7+6ω)          127          127^1
  N(-6+7ω)          127          127^1
   N(6-7ω)          127          127^1
   N(7-6ω)          127          127^1
  N(-8+5ω)          129          3^1 * 43^1
  N(-5+8ω)          129          3^1 * 43^1
   N(5-8ω)          129          3^1 * 43^1
   N(8-5ω)          129          3^1 * 43^1
  N(-9+4ω)          133          7^1 * 19^1
  N(-4+9ω)          133          7^1 * 19^1
   N(4-9ω)          133          7^1 * 19^1
   N(9-4ω)          133          7^1 * 19^1
 N(-10+3ω)          139          139^1
 N(-3+10ω)          139          139^1
  N(3-10ω)          139          139^1
  N(10-3ω)          139          139^1
  N(-7+7ω)          147          3^1 * 7^2
   N(7-7ω)          147          3^1 * 7^2
  N(-8+6ω)          148          2^2 * 37^1
  N(-6+8ω)          148          2^2 * 37^1
   N(6-8ω)          148          2^2 * 37^1
   N(8-6ω)          148          2^2 * 37^1
  N(-9+5ω)          151          151^1
  N(-5+9ω)          151          151^1
   N(5-9ω)          151          151^1
   N(9-5ω)          151          151^1
 N(-10+4ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
 N(-4+10ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
  N(4-10ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
  N(10-4ω)          156          2^2 * 3^1 * 13^1
  N(-8+7ω)          169          13^2
  N(-7+8ω)          169          13^2
   N(7-8ω)          169          13^2
   N(8-7ω)          169          13^2
  N(-9+6ω)          171          3^2 * 19^1
  N(-6+9ω)          171          3^2 * 19^1
   N(6-9ω)          171          3^2 * 19^1
   N(9-6ω)          171          3^2 * 19^1
 N(-10+5ω)          175          5^2 * 7^1
 N(-5+10ω)          175          5^2 * 7^1
  N(5-10ω)          175          5^2 * 7^1
  N(10-5ω)          175          5^2 * 7^1
  N(-8+8ω)          192          2^6 * 3^1
   N(8-8ω)          192          2^6 * 3^1
  N(-9+7ω)          193          193^1
  N(-7+9ω)          193          193^1
   N(7-9ω)          193          193^1
   N(9-7ω)          193          193^1
 N(-10+6ω)          196          2^2 * 7^2
 N(-6+10ω)          196          2^2 * 7^2
  N(6-10ω)          196          2^2 * 7^2
  N(10-6ω)          196          2^2 * 7^2
  N(-9+8ω)          217          7^1 * 31^1
  N(-8+9ω)          217          7^1 * 31^1
   N(8-9ω)          217          7^1 * 31^1
   N(9-8ω)          217          7^1 * 31^1
 N(-10+7ω)          219          3^1 * 73^1
 N(-7+10ω)          219          3^1 * 73^1
  N(7-10ω)          219          3^1 * 73^1
  N(10-7ω)          219          3^1 * 73^1
  N(-9+9ω)          243          3^5
   N(9-9ω)          243          3^5
 N(-10+8ω)          244          2^2 * 61^1
 N(-8+10ω)          244          2^2 * 61^1
  N(8-10ω)          244          2^2 * 61^1
  N(10-8ω)          244          2^2 * 61^1
 N(-10+9ω)          271          271^1
 N(-9+10ω)          271          271^1
  N(9-10ω)          271          271^1
  N(10-9ω)          271          271^1
N(-10+10ω)          300          2^2 * 3^1 * 5^2
 N(10-10ω)          300          2^2 * 3^1 * 5^2

[cerrar]
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15 Mayo, 2015, 10:29 pm
Respuesta #37

robinlambada

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No, no. Lo he dicho bien: el 55 tiene la forma que has propuesto, pero no es la norma de un entero ciclotómico.
Gracias por las correcciones Carlos, no vi que el 55 no es norma como apuntaste.
Citar
Cierto es que las normas que son  cuadrados perfectos, no están incluidas en la fórmula, es decir de números de la forma \(  a +0\omega \) , \( 0+a\omega \) y \( a+a\omega \), con norma \( N=a^2 \).

Esta observación es muy pertinente. Se puede afinar un poquito: \( N(n\alpha)=N(n)N(\alpha)=n^2N(\alpha) \), es decir, cualquier norma multiplicada por un cuadrado es una norma.

Pués la tuya me parece crucial, así podemos restringirnos sólo a estudiar los casos 'generadores' \( a+b\omega \) que serian en los que a y b son primos relativos, en caso de que tuvieran un factor común \( n \) apareceria como \( n^2 \)

Citar
Lo que si parece claro es que no hay factores del tipo \( 6n-1 \) , si excluimos las normas que son cuadrados perfecto, con n>1 numero natural.*
Creo que te está confundiendo el hablar de factore sde tipo \( 6n-1 \) sin tener en cuenta si son primos o no (o tal vez es que te refieres implícitamente a factores primos).
Me refiero implícitamente a los factores primos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

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15 Mayo, 2015, 10:47 pm
Respuesta #38

Carlos Ivorra

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Me refiero implícitamente a los factores primos

Ah, bueno, pues entonces es cierta la afirmación que había escrito al principio cuando leí tu propuesta y que luego taché al ver que no hacías referencia a primos:

\( 25=(6\cdot 1-1)^2 \) no es de la forma que propones, porque tiene un factor "malo", pero sí que es una norma (porque es un cuadrado). El principal problema de tu propuesta es que impone restricciones a los cuadrados, cuando no puede haberlas.

Fíjate que tu conjetura es casi correcta si la restringes a números que sean productos de primos distintos. Son normas los que tienen por primos los números 3 y primos de la forma \( 6n+1 \) (digo casi porque sobra el 2). Lo que falta es ver qué pasa cuando aparecen primos con exponentes.

Gracias pabloN, por tus algoritmos y por la rapidez.   ;)

15 Mayo, 2015, 11:56 pm
Respuesta #39

robinlambada

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Conjetura: Editada
Sean a y b coprimos (m.c.d(a,b)=1) La norma de un número ciclotómico de la forma \( a+b\omega  \) es de la forma:

\( N(a+b\omega)=3\color{red} ^{k_o} \color{black}\displaystyle\prod_{i=1}^{i=n}{}(6k_i+1)\color{red }^s\color{black} \),   con \( (6k_i+1) \) primo y \( k_i ,s\in{\mathbb{N}} \) incluyendo el cero.

En general si  (\( m.c.d(a,b)=\displaystyle\prod_{j=1}^{j=m}{p_j}^{q_j} \))

La norma será:

\( N(a+b\omega)=3\color{red} ^{k_o} \color{black}\displaystyle\prod_{j=1}^{j=m}{p_j}^{2q_j}\displaystyle\prod_{i=1}^{i=n}{}(6k_i+1)\color{red} ^s\color{black} \),     con \( p_j \) primo y \( q_j\in{\mathbb{N}} \)

P.D.: Según mi conjetura los números que admiten factores primos del tipo \( (6n-1)^{2k+1} \) ó tipo \( 2^{2k+1} \), no pueden ser norma de los números ciclotómicos enteros.

Gracias Carlos.
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