Autor Tema: Derivada del producto escalar de un vector por su unitario

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

01 Abril, 2015, 07:13 am
Leído 631 veces

Hasclepio

  • Novato
  • Mensajes: 175
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Llevo un rato atascado con un libro de Mecánica de Fluidos y no me sale esta demostración, que no me quiero aprender de memoria.

Por ejemplo, sea \( \mathbf{v} \) un campo vectorial en el espacio, que también depende del tiempo. Después, el mismo campo dividido por su norma (que aquí llaman unitario), \( \hat{v}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \).

En el libro me pone \( \hat{v}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\dfrac{\partial |\mathbf{v}|}{\partial t} \)

Si a alguien se le ocurre se lo agradecería, muchas gracias.

01 Abril, 2015, 08:01 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,874
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\( \displaystyle \|v\|^2 = v \cdot v  \) derivamos respecto \(  t  \) y queda:

\( \displaystyle 2 \cdot \|v\| \cdot \|v\|' = 2 \cdot v \cdot v'  \) dividimos por \(  2 \cdot \|v\|  \)

\( \displaystyle \|v\|' = \frac{v}{\|v\|} \cdot v'  \)

\(  {\red Editado 2 } \)

Pero creo que lo querías de esta forma:

\( \displaystyle (v \cdot \hat{v}) = \|v\|  \) derivamos:

\( \displaystyle v' \cdot \hat{v} + v \cdot \hat{v}' =  \|v\|'  = \frac{2 \cdot v \cdot v'}{2 \cdot \|v\|} = \hat{v} \cdot v'  \) de aqui :\(  v \cdot \hat{v}' = 0  \)

\( \displaystyle v' \cdot \hat{v}  =  \|v\|'  \).


\( {\red Editado} \)

Estoy haciendo el burro, directamente de la últimas parte:

\( \displaystyle \|v\| = \sqrt{v \cdot v}  \)

\( \displaystyle \|v\|' = \frac{(v \cdot v)'}{2 \cdot \sqrt{v \cdot v}} = \cdots  \)