Autor Tema: el hiperespacio

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22 Marzo, 2005, 12:34 am
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juana la loca

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  Ayuda en el hiper!!! 
 Alguien me podria explicar si en el plano hay infinidad de poligonos regulares y en el espacio de tres dimensiones solo hay cinco tipos de poliedros regulares, porque en el de cuatro hay seis? Y por que en los restantes espacios de mas de cuatro dimensiones solo hay tres tipos de poliedros regulares?
  Esto que se me ocurrio leer me esta mareando y no lo alcanzo a imaginar.
Agradezco desde ya cualquier respuesta aclaratoria

22 Marzo, 2005, 03:37 pm
Respuesta #1

carsecor

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Este es un tema de topología combinatorial, que no requiere demasiados conocimientos previos, aunque tampoco es trivial.

Que existen infinitos polígonos regulares es algo evidente :

para construir un polígono de m lados basta tomar los puntos {exp (2*pi*k/m) : k= 0,1,....,m-1} como vértices, obteniendo una longitud de los lados de 2*sin(pi/m) 

Para R^3 la cosa se complica (su estructura es más compleja , y es fundamental el siguiente teorema :

Teorema: Todo poliedro convexo, sea regular o no, cumple la fórmula de Euler  V- E + F =2 , siendo V el número de vértices, E el número de aristas y F el número de caras.

Como consecuencia de este resultado, se puede probar que sólo existen 5 poliedros regulares, daré un esbozo:

En cada vértice se cortan r aristas, y cada cara está acotada por n ejes ( esto por ser un poliedro regular).
Como cada arista toca 2 vértices rV=2E
Como cada arista forma parte de exactamente dos caras, nF=2E
Aplicando la fórmula de Euler:

V -E + F = 2  = (2/n)*E - E + (2/r)*E

Estos es, 2/E = 2/n  - 1 + 2/r ---> 1/E = 1/n + 1/r - 1/2

Para P poliedro, n, r >= 3 , como E no negativo, tenemos 1/n + 1/r > 1/2 , esto es, n y r no pueden ser, a la vez, mayores que 3, ya que 1/4 + 1/4 = 1/2.
Por tanto, si n=3 , entonces r=3 ó 4 ó 5. Si n=4 entonces r=3 , y si n=5 entonces r=3. Es decir, 5 poliedros.

NOTA: Hay una forma más sencilla de probar esto, pero me interesaba esta manera porque se puede extrapolar, esto es :

Para R^4 , existen 6 politopos regulares, ya que se cumple la fórmula de Euler V- E + F  - H = 0 , siendo V número vértices, E número de ejes, F número de 2-caras y H número de 3-caras. 

Trabajando de modo análogo, se obtiene.

Y para R^n , con n>=5 , utilizando la generalización de esta fórmula (supongo, no lo he visto probado, pero la idea es ésa) se obtiene que sólo existen 3 politopos regulares, para cada n.


22 Marzo, 2005, 05:24 pm
Respuesta #2

juana la loca

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Hola carsecor, lei tu respuesta lo mas detenidamente que pude y te segui hasta cuando aparece en R^4 la formula
V-E+F-H=0. Porque da cero? No entiendo porque lo que en R^3 era E= num. de aristas ahora en R^4 es num. de ejes  y como se que se cumple la formula de Euler en el espacio de mas de 3. Me harias el favor de explicarmelo, si es sencillo.

22 Marzo, 2005, 06:29 pm
Respuesta #3

teeteto

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Hola juana, sobre lo de ejes o aristas, no te preocupes, es lo mismo.
Ahora bien, la fórmula de Euler es el reflejo de algo más general y que tiene que ver con la topología algebráica (en concreto están involucrados los rangos de los grupos de homología de las esferas, si es que esto te dice algo).

Por decirlo de otro modo, si coges un poliedro en un espacio de n dimensiones puedes contar los vértices (C0), las aristas (C1), las caras 2-dimensionales (C2),........, las caras de dimensión n-1 (Cn-1) y hacer la cuenta siguiente:
C0-C1+C2+...+(-1)n-1Cn-1

Existe un teorema general que te asegura que esta operación sale 2 si n es impar y 0 si n es par. Por eso se cumple lo que Carsecor te dijo.

No se si te lo he aclarado un poco, realmente la matemática que hay detrás es algo complicada, pero he intentado ser lo más didáctico posible.

Saludos
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

22 Marzo, 2005, 07:06 pm
Respuesta #4

carsecor

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Claro, si es que cuando n>3 todo se complica ...  ;) ;D

22 Marzo, 2005, 10:30 pm
Respuesta #5

juana la loca

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hola teeteto. 
Se entiende la idea. Lo que necesitaba para seguir leyendo, ya lo entendiL
Fueron ambos muy claros en la explicacion. Hacen parecer mas sencillo el tema.
Esta bueno lo que sigue en la lectura de esta, digamos, especie de  exposicion (no se como llamarla porque no es un libro).
Habla de" Flatland o Novela de las Dos Dimensiones" del Rev. Edwin Abbott. Ya habia escuchado citas o comentarios de esta, pero nunca la lei. La tengo que conseguir.
Sera el tiempo, como dicen los fisicos la cuarta dimension?
Aca tambien se habla de la obra de Wells,"The Time Machine" de 1895.
En fin,es interesante y desata la imaginacion .
 Hasta pronto, Juana.




22 Marzo, 2005, 11:21 pm
Respuesta #6

teeteto

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Hola de nuevo juana, me alegra haberte servido de ayuda y me permito recomendarte otro libro, se titula "La Cuarta Dimensión" y el autor es Rudy Rucker. Es muy interesante y fácil de leer.

Saludos
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

23 Marzo, 2005, 01:33 am
Respuesta #7

juana la loca

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Lo tendre en cuenta.
gracias

23 Marzo, 2005, 03:56 am
Respuesta #8

juana la loca

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que son las cuerdas?
Cierto, lo del modelo matematico es por lo que a esta disciplina se la llama"La Reina de las Ciencias" no?. No se habla de nada en particular pero todas las demas ciencias encuentran en la matematica un marco donde explicar su problematica.
Se me ocurrio mencionar la asociacion que se hace dell tiempo para la cuarta porque es lo que mas se adapta para poder visualizar de alguna manera esta dimension y no sentirme perdida en el espacio.

23 Marzo, 2005, 05:42 am
Respuesta #9

juana la loca

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Algo mas. Si todo es ideal y esta en la mente, por ejemplo, un triangulo es ideal y lo dibujo triangulo. No se me ocurre hacerlo de otra manera. Si te imaginaras un cubo en la cuarta dimension..como se llamaria, hipercubo? (no estoy segura pero creo que lo dibujo S.  Dali, lo tenia en un librito que preste)