Autor Tema: El caso n=4. Una demostración alternativa (III)

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23 Abril, 2015, 05:00 pm
Respuesta #30

Luis Fuentes

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Hola

Si:  \( x,y,z\in{\mathbb{Z^*}} \) , para x = par;  \( x,y,z \)  son coprimos 2 a 2  \( \wedge \)  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  entonces:  \( y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4} \) ,  para  \( Y=y^2 \) ;  siendo  \( Y^2 \) , sin pérdida de generalidad, el cuadrado menor posible diferencia de dos cuartas potencias coprimas entre sí.


(a)     \( x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2} \) .  De donde deduzco la terna pitagórica:  \( x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) ,  para  \( b \)  par.   


(b)    Como:  \( x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,b=2b_1^2} \) ;  entonces:  \( y^2=(a_1^2)^{2}-(2b_1^2)^{2}\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=(a_1^2)^{2}+(2b_1^2)^{2} \) .  De donde se deducen, respectivamente, las ternas pitagóricas:  \( 2b_1^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,y=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  par;  - y - :  \( 2b_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=e^2+f^2 \) ,  para \( f \)  par.


(c)    De esta manera, una terna solución  \( \pmb{(x,y,z)} \)  para este caso 4 del Teorema de Fermat quedaría como:  \( \pmb{(2\,a_1\,b_1\,,\,c^2-d^2\,,\,e^2+f^2)} \) ;  para:  \( b_1^2\,=\,cd\,=\,ef\,\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,a_1^2\,=\,c^2+d^2\,=\,e^2-f^2 \) .


(d)    Y como:  \( mcd(cd)=mcd(ef)=1\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{c=c_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=f_1^2} \) ;  entonces:  \( a_1^2=e^2-f^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{\pmb{a_1^2=e_1^4-f_1^4}} \) .  Pero:  \( \pmb{a_1^2\,<\,Y^2} \) ,  lo que dijimos que era imposible.   

Creo que está bien. Un único matiz. Debes de comenzar con la ecuación:

\( x^4+Y^2=z^4 \)

 y olvidarte de la otra \( y \). Por que sino \( Y^2 \) no sería el menor cuadrado diferencia de dos potencias cuartas sin más, sino que además le estarías exigiendo que \( Y \) fuese el cuadrado de otro número.

Saludos.

23 Abril, 2015, 08:53 pm
Respuesta #31

Proyecto

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Gracias como siempre el_manco por tus observaciones !

Creo que está bien. Un único matiz. Debes de comenzar con la ecuación:

\( x^4+Y^2=z^4 \)

 y olvidarte de la otra \( y \). Por que sino \( Y^2 \) no sería el menor cuadrado diferencia de dos potencias cuartas sin más, sino que además le estarías exigiendo que \( Y \) fuese el cuadrado de otro número.

En cuanto tenga tiempo traslado la demostración al hilo que tengo abierto para eso en La Revista del Foro con la corrección que me indicas y lo corrijo también en las otras demostraciones dónde repito el mismo fallo.


Un saludo,
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno