Autor Tema: El caso n=4. Una demostración alternativa (III)

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17 Marzo, 2015, 07:48 pm
Respuesta #10

Proyecto

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Hola,

Esta versión que pongo a continuación de la demostración del caso n = 4 del UTF por el absurdo del descenso infinito, me gusta especialmente por su simplicidad. A ver qué os parece.

Un saludo,


Si:  \( x,y,z\in{\mathbb{Z^*}} \) , para x = par;  \( x,y,z \)  son coprimos 2 a 2  \( \wedge \)  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  será que:  \( X^2+Y^2=Z^2 \) ,  para:  \( X=x^2\,\,\,\wedge\,\,\,Y=y^2\,\,\,\wedge\,\,\,Z=z^2 \) ;  y entonces tendremos la terna pitagórica:  \( (X,Y,Z) \) , que para los valores mínimos de estas \( X,Y,Z \) ,  será la terna pitagórica menor posible que satisfaga la ecuación:  \( x^4+y^4=z^4 \) .


(1)    \( x^4+y^4=z^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2} \) . De donde deducimos la terna pitagórica:  \( {(x^2,y^2,z^2)\in{(2ab,a^2-b^2,a^2+b^2)}} \) , para  \( a,b \) coprimos y  \( b \)  par. Y entonces:  \( x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) .  De donde se deduce a su vez que:  \( z^2+x^2=(a+b)^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,z^2-x^2=(a-b)^2 \) .


(2)    Yo sé por otra parte que:  \( y^4=(z^2+x^2)(z^2-x^2) \) ;  y que como ambos factores son coprimos, ambos representarán dos cuartas potencias. Por lo que: 

\( z^2+x^2=(a+b)^2=A^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a+b=A^2} \)

\( z^2-x^2=(a-b)^2=B^4\,\,\,\Rightarrow\,\,\,{a-b=B^2} \)
 

(3)    Y como:  \( a+b=(a-b)+2b \) ;  tendremos la terna pitagórica:  \( (A,B,C) \) ,  para:  \( A^2=a+b\,\,\,\wedge\,\,\,B^2=a-b\,\,\,\wedge\,\,\,C^2=2b \) .  Esto último porque como:  \( x^2=2ab \) ,  entonces:  \( b=2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2b=4b_1^2 \) . Pero de esta manera la terna pitagórica:  \( \pmb{(A,B,C)\,<\,(X,Y,Z)} \) .  Lo que dijimos que era imposible.
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

17 Marzo, 2015, 08:16 pm
Respuesta #11

mente oscura

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(3)    Y como:  \( a+b=(a-b)+2b \) ;  tendremos la terna pitagórica:  \( (A,B,C) \) ,  para:  \( A^2=a+b\,\,\,\wedge\,\,\,B^2=a-b\,\,\,\wedge\,\,\,C^2=2b \) .  Esto último porque como:  \( x^2=2ab \) ,  entonces:  \( b=2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2b=4b_1^2 \) . Pero de esta manera la terna pitagórica:  \( \pmb{(A,B,C)\,<\,(X,Y,Z)} \) .  Lo que dijimos que era imposible.

Hola, Proyecto.

No acabo de ver claro, esto que te indico.

Obtienes:

\( A^2=B^2+C^2 \)

pero, eso no implica que "A", "B" y "C", sean números elevados al cuadrado, para que nos generen una terna a la "cuarta".

Un cordial saludo.

17 Marzo, 2015, 11:08 pm
Respuesta #12

Proyecto

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Hola mente oscura,

Gracias por contestar.

(3)    Y como:  \( a+b=(a-b)+2b \) ;  tendremos la terna pitagórica:  \( (A,B,C) \) ,  para:  \( A^2=a+b\,\,\,\wedge\,\,\,B^2=a-b\,\,\,\wedge\,\,\,C^2=2b \) .  Esto último porque como:  \( x^2=2ab \) ,  entonces:  \( b=2b_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,2b=4b_1^2 \) . Pero de esta manera la terna pitagórica:  \( \pmb{(A,B,C)\,<\,(X,Y,Z)} \) .  Lo que dijimos que era imposible.

Hola, Proyecto.

No acabo de ver claro, esto que te indico.

Obtienes:

\( A^2=B^2+C^2 \)

pero, eso no implica que "A", "B" y "C", sean números elevados al cuadrado, para que nos generen una terna a la "cuarta".


Tienes razón. Tal y cómo lo he planteado parecería exigir que "A,B,C" fueran cuadrados, cosa que en principio, no son. De todas maneras, si en vez de decir: "..que será la terna pitagórcia menor posible que satisfaga la ecuación:  \( x^4+y^4=z^4 \) " ;  dijera: <<..que será la terna pitagórica menor posible que satisfaga la ecuación:  \( X^2+Y^2=Z^2 \)>>, ¿no salvaría el escollo? Pregunto. Porque "X" es igual a "2ab", independientemente que "2ab" sea o no un cuadrado, y lo mismo "Y" y "Z". De hecho yo no sé si a lo mejor "A" no pudiera ser un cuadrado también, simplemente no necesitaría saberlo ¿no? ¿Cómo lo ves?


Un saludo,
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

18 Marzo, 2015, 03:46 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Tienes razón. Tal y cómo lo he planteado parecería exigir que "A,B,C" fueran cuadrados, cosa que en principio, no son. De todas maneras, si en vez de decir: "..que será la terna pitagórcia menor posible que satisfaga la ecuación:  \( x^4+y^4=z^4 \) " ;  dijera: <<..que será la terna pitagórica menor posible que satisfaga la ecuación:  \( X^2+Y^2=Z^2 \)>>, ¿no salvaría el escollo? Pregunto. Porque "X" es igual a "2ab", independientemente que "2ab" sea o no un cuadrado, y lo mismo "Y" y "Z". De hecho yo no sé si a lo mejor "A" no pudiera ser un cuadrado también, simplemente no necesitaría saberlo ¿no? ¿Cómo lo ves?

Para que el argumento tipo descenso infinito funcione la nueva tripleta \( (A,B,C) \) menor a la inicial, debe de cumplir todas las condiciones que exigiste y usaste en \( (X,Y,Z) \) para construir \( (A,B,C) \). Si usas que \( X,Y,Z \) cumplen la ecuación de Fermat de grado cuatro, entonces para que el argumento funcione \( (A,B,C) \) también debería de cumplirla.

Saludos.

18 Marzo, 2015, 10:31 pm
Respuesta #14

Proyecto

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Hola,

Ok el_manco y mente oscura. Efectivamente, este intento de demostración está mal. De hecho el mismo planteamiento es reiterativo, pues es lo mismo poner como condición que se cumpla para un  \( x^4+y^4=z^4 \)  mínimo que para un  \( X^2+Y^2=Z^2 \)  mínimo, por lo que esto último sobra. Y también me he encontrado más adelante con alguna otra cosa solapada, por lo que de demostración simplificada tampoco. Me he precipitado sí.

Un saludo y gracias como siempre por vuestras indicaciones,
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

26 Marzo, 2015, 09:18 pm
Respuesta #15

Proyecto

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Hola,


A ver qué os parece esta versión de la demostración del caso n = 4 del UTF por implicación al infinito. Mi objetivo no es éste, pues estoy buscando otro tipo de contradicciones para demostrar este caso del Teorema de Fermat. Son cosas que me voy encontrando por el camino y que trato que por lo menos sean bellas.



Si:  \( x,y,z\in{\mathbb{Z^*}} \) , para x = par;  \( x,y,z \)  son coprimos 2 a 2  \( \wedge \)  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  entonces:  \( \pmb{x^2} \)  es infinito.


(a)    \( x^4+y^4=z^4\,\,\Rightarrow\,\,{(x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2} \)   

                 De donde deduzco la terna pitagórica:  \( \pmb{x^2=2\,a\,b}\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) ,  para  \( b \)  par.
     
                 Como:  \( x=\sqrt{2ab}\,\,\Rightarrow\,\,{a=a_1^2\,\,\wedge\,\,b=2b_1^2} \)

(b)    Si:  \( z^2=a^2+b^2 \) ,  puedo deducir la terna pitagórica:

                 \( b=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,a=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,z=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  par.

                 Y como:  \( 2b_1^2=2cd\,\,\Rightarrow\,\,{b_1^2=cd}\,\,\Rightarrow\,\,{c=c_1^2}\,\,\,\wedge\,\,\,d=d_1^2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=4\,a\,c\,d}} \)

(c)    Como:  \( a=c^2-d^2\,\,\Rightarrow\,\,{a_1^2=(c_1^2)^2-(d_1^2)^2} \)

                 Y puedo deducir la terna pitagórica:  \( d_1^2=2ef\,\,\,\wedge\,\,\,a_1=e^2-f^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1^2=e^2+f^2 \)  (para  \( f \)  par) 
                 \( \,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=8\,a\,c\,e\,f}} \)

                 Entonces, como:  \( d_1=\sqrt{2ef}\,\,\Rightarrow\,\,{e=e_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,f=2f_1^2 \)

(d)    Si:  \( c_1^2=e^2+f^2 \) ,  puedo deducir la terna pitagórica:

                 \( f=2gh\,\,\,\wedge\,\,\,e=g^2-h^2\,\,\,\wedge\,\,\,c_1=g^2+h^2 \) ,  para  \( h \)  par.

                 Y como:  \( 2f_1^2=2gh\,\,\Rightarrow\,\,{f_1^2=gh}\,\,\Rightarrow\,\,{g=g_1^2\,\,\,\wedge\,\,\,h=h_1^2}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,{\pmb{x^2=16\,a\,c\,e\,g\,h}} \)

(e)   Como:  \( e=g^2-h^2\,\,\Rightarrow\,\,{e_1^2=(g_1^2)^2-(h_1^2)^2 \)      \( \pmb{. . .} \)   Y así sucesivamente   \( \pmb{. . .} \)



Un saludo,


_______________________________

PD. Pongo también esta demostración en la Revista del Foro (01 abril 2015)
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

14 Abril, 2015, 05:06 pm
Respuesta #16

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Hola,

Me gustaría saber si se puede razonar de la forma que expongo a continuación para demostrar el caso n = 4 del UTF como una variante más de las demostraciones ya hechas.



Si:  \( x,y,z\in{\mathbb{Z^*}} \) , para x = par;  \( x,y,z \)  son coprimos 2 a 2  \( \wedge \)  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  entonces:  \( y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4} \) ,  para  \( Y=y^2 \) .  Representanto  " \( Y^2 \) ", sin pérdida de generalidad, el máximo cuadrado posible diferencia de 2 cuartas potencias coprimas entre sí.


Como:  \( (x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2 \) ,  tendremos entonces la terna pitagórica:

\( x^2=2\,a\,b\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) .


Y ocurrirá que:  \( y^2\cdot{z^2}=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{(yz)^2=a^4-b^4} \) .


Pero:  \( (yz)^2\,\,>\,\,Y^2 \) .



Un saludo,
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

15 Abril, 2015, 11:26 am
Respuesta #17

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 ¡Vuelves a cometer un error en el qué has caído más veces e inaguras otro nuevo!.  ;)

 Siempre que intentes un argumento del tipo "descenso infinito" (o lo que es lo mismo imponer minimalidad en una de las variables bajo ciertas condiciones, para luego construir otra que rompa ese minimialidad bajo las mismas condciones), tienes que asegurarte de que efectivamente tienes las mismas condicones en ambos casos.

Si:  \( x,y,z\in{\mathbb{Z^*}} \) , para x = par;  \( x,y,z \)  son coprimos 2 a 2  \( \wedge \)  \( x^4+y^4=z^4 \) ;  entonces:  \( y^4=z^4-x^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{Y^2=z^4-x^4} \) ,  para  \( Y=y^2 \) .  Representanto  " \( Y^2 \) ", sin pérdida de generalidad, el máximo cuadrado posible diferencia de 2 cuartas potencias coprimas entre sí.

Aquí ya hay un matiz y en el fondo el doble error:

1) no puedes afirmar que \( Y^2 \) sea el máximo cuadrado posible diferencia de dos cuadrados sin más; porque \( Y=y^2,z,x \) no son números cualesquiera; previamente supones que \( x^4+y^4=z^4 \).

2) cuidado (y esto es lo nuevo) porque no es lo mismo jugar con la minimalidad que con la maximalidad; en los naturales todo subconjunto tiene mínimo. Pero no todo subconjunto tiene máximo; entonces pudiera ocurrir que no hubiese un máximo valor de un número que sea posible ser expresado como diferencia de cuadrados. Por ejemplo no hay un máximo valor de \( c \) para una terna pitagórica \( a^2+b^2=c^2 \).


Citar
Como:  \( (x^2)^2+(y^2)^2=(z^2)^2 \) ,  tendremos entonces la terna pitagórica:

\( x^2=2\,a\,b\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) .


Y ocurrirá que:  \( y^2\cdot{z^2}=(a^2-b^2)(a^2+b^2)\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\pmb{(yz)^2=a^4-b^4} \) .


Pero:  \( (yz)^2\,\,>\,\,Y^2 \) .

Incluso pasando por alto el comentario (2) anterior (referido al problema de la maximalida) para que el argumento funcionase no te llega con que \( (yz)^2=a^4-b^4 \) sino que deberías de tener que \( yz \) fuese un cuadrado.

Saludos.

P.D. Probablemente el argumento puede modificarse para arreglar (1) pero no para arreglar (2).

15 Abril, 2015, 08:15 pm
Respuesta #18

Proyecto

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Hola el_manco,


¡Vuelves a cometer un error en el qué has caído más veces e inaguras otro nuevo!.  ;)

Muchos errores ves tú ahí..   ;)


Lo que quiero decir es que la argumentación expuesta, aunque carece de la suficiente "certeza" como para ser demostrativa -en eso te doy la razón-, sí que es consecuencia directa de los argumentos de descenso infinito por los que se demuestra este caso del UTF.

Por ejemplo,  ¿Y si le doy la vuelta a 2 de las ecuaciones puestas?

Tendría esto:

\( x^4=z^4-y^4\,\,\,\wedge\,\,\,\,b^4=a^4-(yz)^2 \) .  O lo que es lo mismo:  \( (x^2)^2=(z^2)^2-(y^2)^2\,\,\,\wedge\,\,\,(b^2)^2=(a^2)^2-(yz)^2 \)

De donde puedo deducir las ternas pitagóricas respectivas:

\( x^2=2ab\,\,\,\wedge\,\,\,y^2=a^2-b^2\,\,\,\wedge\,\,\,z^2=a^2+b^2 \) ,  para  \( b \)  par.

\( b^2=2cd\,\,\,\wedge\,\,\,yz=c^2-d^2\,\,\,\wedge\,\,\,a^2=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  par.

Y también que:  \( x^2=4\,a_1^2\,b_1^2\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\,b^2=4\,c_1^2\,d_1^2 \) .

Pero entonces ¿cuál es la magnitud par de  " \( \pmb{b} \) " :  " \( 2\,b_1^2 \) "  ó  " \( 2\,d_1 \) " ?

Pregunto (retóricamente):  ¿Existe alguna forma de averiguar cuál es el tamaño de la paridad de  " \( \pmb{x} \) " ?



Un saludo,


___________________________

PD. Lo dicho arriba está redactado en tono coloquial. Quiero decir con esto que en modo alguno estoy cuestionando las indicaciones que me hace el_manco acerca de los errores cometidos en mi anterior post, los cuales asumo y además agradezco vivamente que se me indiquen, pues así tengo la oportunidad de aprender de ellos.
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

16 Abril, 2015, 10:53 am
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

PD. Lo dicho arriba está redactado en tono coloquial. Quiero decir con esto que en modo alguno estoy cuestionando las indicaciones que me hace el_manco acerca de los errores cometidos en mi anterior post, los cuales asumo y además agradezco vivamente que se me indiquen, pues así tengo la oportunidad de aprender de ellos.

La cosa es que (independietemente del tono coloquial) no veo claro a donde quieres ir a parar con lo que has escrito.

Saludos.