Autor Tema: Baricentro y vértices

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04 Marzo, 2015, 09:17 am
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Michel

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Demostrar que si en un triángulo se une el baricentro con los tres vértices, se obtienen tres triángulos equivalentes.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Marzo, 2015, 10:31 am
Respuesta #1

poolnikov

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Hola.



Sea A, el área del triángulo ABC dado.

Área AEB = A/2 por ser E el punto medio del lado AC
Área AEG = Área AEB/3, ya que EG es 1/3 de EB, por ser G baricentro (Por las propiedades del baricentro).

Área AGB= 2/3 Área AEB = 2/3 A/2= A/3.

Área AGC = 2 Área AEG= 2 Área AEB/3 = 2/3 Área AEB = 2/3 A/2 = A/3.

Luego como queda demostrado Área AGB = Área AGC = A/3 y por lo tanto obligatoriamente Área CGB = Área AGB = Área AGC = A/3.

Por lo tanto los triángulos ABG, AGC y CGB son equivalentes c.q.d.

17 Marzo, 2015, 04:03 pm
Respuesta #2

Michel

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Sea G el baricentro, AD una mediana, GE y AF perpendiculares a BC.

De la semejanza de los triángulos DEG y DFA se deduce: GE/AF=GD/AD.

Por la propiedad del baricentro, GD/AD=1/3; por tanto, GE/AF=1/3

Como los triángulos GBC y ABC tienen la misma base BC, la relación de sus áreas es igual a la relación de sus alturas, que vale 1/3. Por tanto, el área del triángulo GBC es 1/3 del área del ABC.

Igualmente para los otros triángulos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker