Autor Tema: Mecánica de fluidos para matemáticos. Demostración libro

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03 Marzo, 2015, 11:58 am
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Hasclepio

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Hola

Estoy cursando esa asignatura y no entiendo lo siguiente: está demostrando la expresión del tensor de esfuerzos, y lo halla. Después, tiene que demostrar que es simétrico y hace lo siguiente: toma momentos para demostrar la simetría. En definitiva, aparece una integral y supone un dato que no sé cómo lo deduce y es lo siguiente; esta es la expresión de los momentos locales de las fuerzas ejercidas por el fluido adyacente sobre un tetraedro de caras paralelas a los planos cartesianos coordenados:

\( \int \epsilon_{ijk} r_j \sigma_{kl} n_l dA \)


\( \sigma_{kl} \) componentes del tensor de esfuerzos, \( n_l  \) las normales de cada cara del tetraedro. Y las r son el brazo del momento.

Ahora aplica el Teorema de la Divergencia, quedando:

\( \int \epsilon_{ijk} \dfrac{\partial r_j \sigma_{kl}}{\partial r_l} dV =\int \epsilon_{ijk} \left(\sigma_{kl}+r_j \dfrac{\partial r_j \sigma_{kl}}{\partial r_l}\right)dV \)

Hasta ahí bien. Ahora, comenta que si el volumen se reduce a cero de modo que la configuración del contorno de volumen se conserve de la misma forma, el primer término del segundo la parte derecha de la igualdad, tiende a cero más rápidamente con \( V^{4/3} \)

 ???

Y no explica el por qué de los 4/3, sólo pone eso sigue. ¿Alguien sabe, por favor, de dónde sale esa idea? Muchas gracias. Es una duda conceptual, no tengo que demostrar nada, etc.

Fuente: https://books.google.es/books?id=aXQgAwAAQBAJ&pg=PA618&dq=batchelor+fluid+dynamics&hl=es&sa=X&ei=A5T1VK6JBsXvUOeVgPAL&ved=0CCAQ6AEwAA#v=onepage&q=batchelor%20fluid%20dynamics&f=false página 11.