[Michel]

Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.

[poolnikov]

Hola,

Pensando un poco, esta claro que la figura debe de ser simétrica respecto a una recta cualquiera tangente a la circunferencia de centro A.
Trazamos esa recta b tangente  a la circunferencia por un punto cualquiera de la misma B.
Unimos el centro de la circunferencia con B y hacemos la bisectriz.
El punto de corte de la bisectriz con la circunferencia no dará uno de los vértices del cuadrado D.
Ahora ya solamente nos quedará haciendo perpendiculares y/o paralelas obtener el resto de vértices del cuadrado.

A la vista del resultado está claro que las dos circunferencias tienen que ser iguales de radio R, y que el cuadrado tiene por lado 2R.

Un dibujo:



Saludos.

[poolnikov]

Hola,

¡Madre mía! ¿veis bien el cuadrado?

Yo no lo veo tal y como lo he dibujado en mi archivo ggb.

Edito

voy a poner una imagen .png

[josepapaiii]

No me hagas mucho caso de la respuesta, a ver si alguna de las personas que saben más que yo lo verifican o lo echan por tierra.

Supongamos una circunferencia cualquiera de radio \( r \), teniendo en cuenta la forma paramétrica de los puntos de la circunferencia \( x=rcos\alpha,y=rsin\alpha \). Dos puntos del cuadrado por tanto serían de la forma \( X=(rcos\alpha,rsin\alpha),Y=(rcos\alpha, -rsin\alpha) \) si situamos el cuadrado en los lados de la circunferencia entre el primer y el cuarto cuadrante.

La distancia entre esos dos puntos depende del ángulo \( \alpha \). Aplicando la fórmula conocida de la distancia:

\( d=X-Y=\sqrt{(rcos\alpha-rcos\alpha)^2+(rsin\alpha+rsin\alpha)^2}=\sqrt{(2rsin\alpha)^2}=2rsin\alpha \) con \( -\pi<\alpha<\pi \) y \( \alpha\neq 0 \)

Un saludo.

[josepapaiii]

Escribo de nuevo para decir que acabo de ver tu dibujo, antes no me salía y he pensado que los puntos estaban en cualquier parte de la circunferencia, no sólo dónde tú los pones.

[poolnikov]

Escribo de nuevo para decir que acabo de ver tu dibujo, antes no me salía y he pensado que los puntos estaban en cualquier parte de la circunferencia, no sólo dónde tú los pones.

Hola josepapaiii

Por lo que yo entiendo del enunciado los vértices del cuadrado pueden estar en cualquier parte de la circunferencia.
Otra cosa sobre el enunciado es que la segunda circunferencia en principio no te dice nada sobre el radio que deba tener.

Lo que ocurre es que con el razonamiento que yo hago, suponiendo que sea el correcto, pues sale así.

Un saludo

[josepapaiii]

Por lo que yo entiendo del enunciado los vértices del cuadrado pueden estar en cualquier parte de la circunferencia.
Otra cosa sobre el enunciado es que la segunda circunferencia en principio no te dice nada sobre el radio que deba tener.

Lo que ocurre es que con el razonamiento que yo hago, suponiendo que sea el correcto, pues sale así.

Un saludo

En tu enuciado no dice nada absolutamente de que los vértices del cuadrado están donde tú dices solamente, simplemente dice una circunferencia de radio r y que los otros puntos están en la recta tangente y yo entiendo ahí que pueden estar en cualquier lado, he excluido los ángulos \( -\pi, \pi \) porque precisamente lo había visto evidente, aunque es cierto de que también hay que contemplar el caso, pero en tal caso ya lo has hecho tú.

Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangente a esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.

[poolnikov]

No me hagas mucho caso de la respuesta, a ver si alguna de las personas que saben más que yo lo verifican o lo echan por tierra.

Supongamos una circunferencia cualquiera de radio \( r \), teniendo en cuenta la forma paramétrica de los puntos de la circunferencia \( x=rcos\alpha,y=rsin\alpha \). Dos puntos del cuadrado por tanto serían de la forma \( X=(rcos\alpha,rsin\alpha),Y=(rcos\alpha, -rsin\alpha) \) si situamos el cuadrado en los lados de la circunferencia entre el primer y el cuarto cuadrante.

La distancia entre esos dos puntos depende del ángulo \( \alpha \). Aplicando la fórmula conocida de la distancia:

\( d=X-Y=\sqrt{(rcos\alpha-rcos\alpha)^2+(rsin\alpha+rsin\alpha)^2}=\sqrt{(2rsin\alpha)^2}=2rsin\alpha \) con \( -\pi<\alpha<\pi \) y \( \alpha\neq 0 \)

Un saludo.

Hola de nuevo josepapaiii

En el razonamiento que haces no estás teniendo en cuenta que "los otros dos vértices del cuadrado tienen que estar en otra circunferencia tangente a la primera"

Tu estás fijando los puntos X, e Y, que pueden corresponder por ejemplo con los vértices D y E del cuadrado (de mi dibujo), pero no tienes para nada en cuenta que H y G deben caer en otra circunferencia distinta a la inicial y en principio de radio desconocido y que es tangente a la primera.

Saludos.

[poolnikov]

En tu enuciado no dice nada absolutamente de que los vértices del cuadrado están donde tú dices solamente, simplemente dice una circunferencia de radio r y que los otros puntos están en la recta tangente y yo entiendo ahí que pueden estar en cualquier lado, he excluido los ángulos \( -\pi, \pi \) porque precisamente lo había visto evidente, aunque es cierto de que también hay que contemplar el caso, pero en tal caso ya lo has hecho tú.

Tienes razón josepapaiii. Si es que no leo los enunciados...

[poolnikov]

Dos vértices de un cuadrado están en una circunferencia de radio R y los otros dos en una tangentea esta circunferencia.
Hallar el lado del cuadrado.

Ahora que lo releo... claro, yo entendí que una tangente se refiere a otra circunferencia tangente. Pero bueno... ¿puede ser también una recta tangente?

Esperemos a que michel nos ilumine.

Saludos