Hola
Bienvenida al foro.
sea \( (G, \tau) \) un grupo topologico. Fijamos \( H \trianglelefteq G \) un subgrupo normal (no vacío) i consideramos \( G / H \) con la
topologia cociente.
a) Probar que el espacio topologico \( G/H \) es Hausdorff si y solo si \( H \) es cerrado en \( G \).
b) Probar que un grupo topologico es Hausdorff si y solo si los puntos son cerrados.
Nota: Se puede utilizar que el espacio \( G/H \times G/H \) es homeomorfo a \( (G \times G) / (H \times H) \) y que un espacio topologico \( X \) es Hausdorff si y solo si la diagonal definida como \( \Delta = \{ (x,x) \in X \times X \mid x \in X \} \) es un cerrado de \( X \times X \).
a) Con las indicaciones dadas. \( G/H \) es Hausdorff si y sólo si:
\( \Delta=\{[(g,g)]\in (G\times G)/(H\times H)\} \) es cerrado en \( (G\times G)/(H\times H) \)
Si consideramos la proyección natural \( p:G\times G\longrightarrow{}(G\times G)/(H\times H) \) por definición de topología cociente, \( \Delta \) es cerrado si y sólo si \( p^{-1}(\Delta) \) es cerrado. Pero:
\( p^{-1}(\Delta)=\{(g,g')\in G\times G|gH=g'H\}=\{(g,g')\in G\times G|gg'^{-1}\in H\}=f^{-1}(H) \)
donde \( f \) es la aplicación continua \( f:G\times G\longrightarrow{}G,\quad f(g,g')=gg'^{-1} \).
Por tanto si \( H \) es cerrado entonces \( p^{-1}(\Delta) \) es cerrado y así \( \Delta \) cerrado y G/H Hausdorff.
Recíprocamente si \( G/H \) es Hausdorff entonces \( 1H \) es cerrado en el cociente y así por definición de la topología cociente, \( \pi^{-1}(1H)=H \) es cerrado.
Para el (b) aplica (a) teniendo en cuenta que \( G=G/\{e\} \).
Saludos.
