Autor Tema: Suma mínima

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08 Diciembre, 2014, 12:38 pm
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Michel

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De un triángulo rectángulo se conoce el lado AB y la altura h correspondiente a este lado.
Situar el tercer vértice C para que la suma de los lados BC y AC sea mínima.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

18 Diciembre, 2014, 10:57 am
Respuesta #1

Michel

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El tercer vértice está en la recta r, paralela a AB trazada a la distancia h.

La suma BC+AC será mínima cuando el triángulo ABC sea isósceles.

En efecto: supongamos otro triángulo cualquiera ABC’. Siendo A’ el simétrico de A respecto de r, se tiene:
                                BC + AC = BC + CA' = BA'.

Pero, por la desigualdad triangular, BA' < BC' + CA' , por lo que BC + AC < BC' + C'A'.

Resulta que el vértice C está en la intersección de la recta r con la mediatriz de AB.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker