Autor Tema: Determinar puntos críticos varias variables (difícil)

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03 Diciembre, 2014, 03:32 am
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Cabudare

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Saludos, debo hallar los puntos críticos de la función de dos variables siguiente:

\( f(x_1,x_2)=\cos(x_1x_2)\sin(x_1^2x_2) \)


He conseguido
\( \displaystyle\frac{{\partial f(x_1,x_2)}}{{\partial x_1}}=-y\sin(xy)\sin(x^2y)+2xy\cos(xy)\cos(x^2y) \)  y 
\( \displaystyle\frac{{\partial f(x_1,x_2)}}{{\partial x_1}}=-x\sin(xy)\sin(x^2y)+x^2\cos(xy)\cos(x^2y) \)
pero al formar el sistema no logro determinar los puntos donde se anulan. Si alguien me da una sugerencia estaré enormemente agradecido.

03 Diciembre, 2014, 04:06 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Cabudare,

  quizás podrías abordar el problema de otra forma.

Claramente \( -1\leq f(x,y)\leq 1 \), por lo que si encontramos pares \( (x,y) \) donde \( f \) valga \( 1 \) y donde valga \( -1 \) habremos encontrados los máximos y mínimos de \( f \).

Te doy la idea.
Si \( xy=2\pi \) (entonces \( \cos(xy)=1 \)) implicaría que \( y=\frac{2\pi}{x} \).
Si \( x^2y=\frac{\pi}{2} \) (entonces \( \sin(x^2y)=1 \)), reemplazando el valor de \( y \) obtenemos

    \( \dfrac{\pi}{2}=x^2y=x^2\dfrac{2\pi}{x}=2\pi x\Rightarrow x=\dfrac{1}{4} \)    y    \( y=8\pi \).

Luego en \( (1/4,8\pi) \) la función \( f \) tiene un máximo.

Parece que podemos generalizar este análisis, aunque no he probado.

03 Diciembre, 2014, 10:44 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Si quieres resolver el sistema formado por las parciales igualdas a cero ten en cuenta lo siguiente.

 - Si \( x=0 \) es inmediato ver que todas las parciales se anulan. Por tanto todos los puntos de la forma \( (0,y) \) son puntos críticos.

 - Si \( y=0 \) y \( x\neq 0 \), es fácil ver que la segunda derivada parcial nunca se anula. Por tanto no hay puntos críticos de la forma \( (x,0)  \) con \( x\neq 0. \)

 - En otro caso podemos dividir las ecuaciones por \( y \) e por \( x \). Quedan:

\( -sin(xy)sin(x^2y)+2xcos(xy)cos(x^2y)=0 \) (*)
\( -sin(xy)sin(x^2y)+xcos(xy)cos(x^2y)=0 \) (**)

 Restando ambas ecuaciones obtenemos:

\(  xcos(xy)cos(x^2y)=0 \)

 Dado que estamos suponiendo \( x\geq 0 \) deducmos que \( cos(xy)=0 \) ó \( cos(x^2y)=0 \).

 Además en (**) queda \( sin(xy)sin(x^2y)=0 \). De donde \( sin(xy)=0 \) ó \( sin(x^2y)=0 \).

 Como el seno y el coseno de un mismo ángulo nunca se anulan simultáneamente distinguimos dos casos:

 1) \( cos(xy)=0 \) y \( sin(x^2y)=0 \). Entonces:

\(  xy=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \)
\(  x^2y=n\pi \) con \( n\neq 0 \).

 Deducimos que:

\(  x=\dfrac{n\pi}{\dfrac{\pi}{2}+k\pi},\qquad y=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)^2}{n\pi} \)

 2) \( cos(x^2y)=0 \) y \( sin(xy)=0 \). Entonces:

\(  x^2y=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \)
\(  xy=n\pi \) con \( n\neq 0 \).

 Deducimos que:

\(  x=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}+k\pi}{n\pi},\qquad y=\dfrac{n^2\pi^2}{\dfrac{\pi}{2}+k\pi}} \)

Saludos.

03 Diciembre, 2014, 05:58 pm
Respuesta #3

Cabudare

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Hola, gracias. Sin ustedes no habría hecho esto. Ahora debo ver que tipo de punto critico son, es decir, si hay máximo, mínimo o punto silla. ¿Hay una forma de generalizar ese estudio en este caso?

03 Diciembre, 2014, 06:58 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, gracias. Sin ustedes no habría hecho esto. Ahora debo ver que tipo de punto critico son, es decir, si hay máximo, mínimo o punto silla. ¿Hay una forma de generalizar ese estudio en este caso?

¿Has intentado hacerlo de la forma habitual, es decir, construyendo el Hessiano con las segundas derivadas parciales y evaluándolo en los puntos críticos?.

No he hecho las cuentas; pero en principio no te dejes asustar por alguna expresión larga. Fíjate que en los puntos críticos se van a anular o van a ser más o menos uno, las funciones trigonométricas que aparecen implicadas. Esto va a simplificar mucho el cálculo.

Saludos.