[JohanPerez]

Hola, debo integrar en polares la siguiente región


\( R=\left\{{(x,y)\in \mathbb{R}^2}: -x\leq y \wedge x^2+y^2\leq 2y\wedge x\leq 0\right\} \)

en la integral \( \displaystyle\iint xy\;dA \)

La región no logro pasarla a polares. Con la que he conseguido la integral me da cero, indeterminado, en fin, no me sale.

[alucard]

Si tomas polares sobre la region tenes, de la restricción

\( -x\leq{y} \)

\( -r\cos\theta\leq{r\sen\tehta}\rightarrow{-1\leq{\dfrac{\sen\theta}{\cos\theta}}\rightarrow{-\dfrac{pi}{4}}\leq{\theta} \)

de la restriccion \( x\leq{0} \)

\( r \cos\theta\leq{0}\rightarrow{\theta \in [\pi/2,-\pi/2]} \)

la intersección de ambas  define

\( -\dfrac{pi}{4}}\leq{\theta}\leq{\dfrac{\pi}{2}} \)

la curva en polares es

\( r^2\leq{r\sen\theta}\rightarrow{r\leq{\sen\theta}} \)

finalmente

\( \displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{r\sen\theta} r^2 cos\theta\sen\theta r drd\theta=\frac{7}{192} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Si tomas polares sobre la region tenes, de la restricción

\( -x\leq{y} \)

\( -r\cos\theta\leq{r\sen\tehta}\rightarrow{-1\leq{\dfrac{\sen\theta}{\cos\theta}}\rightarrow{-\dfrac{pi}{4}}\leq{\theta} \)

En realidad sería \( \dfrac{-\pi}{4}\leq \theta\leq \dfrac{3\pi}{4} \).

de la restriccion \( x\leq{0} \)

\( \r cos\theta\leq{0}\rightarrow{\theta \in [\pi/2,-\pi/2]} \)

Aquí sería: \( \theta\in [\pi/2,3\pi/2] \) (porque es confuso que pongas un intervalo desde un ángulo mayor a uno menor).

la intersección de ambas  define

\( -\dfrac{\pi}{4}}\leq{\theta}\leq{\dfrac{\pi}{2}} \)

Sería:

\( \dfrac{\pi}{2}}\leq{\theta}\leq{\dfrac{3\pi}{4}} \)

la curva en polares es

\( r^2\leq{r\sen\theta}\rightarrow{r\leq{\sen\theta}} \)

es:

\( r^2\leq{2r\sen\theta}\rightarrow{r\leq{2\sen\theta}} \)

finalmente

\( \displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{r\sen\theta} r^2 cos\theta\sen\theta r drd\theta=\frac{7}{192} \)

Finalmente: 

\( \displaystyle\int_{\pi/2}^{3\pi/4}\displaystyle\int_{0}^{2r\sen\theta} \color{red}r^3\color{black} cos\theta\sen\theta r drd\theta \)

Saludos.

[alucard]

gracias por las correcciones el manco, pasa que no puedo previsualizar el mensaje en chrome y cuando lo subi me olvide revisarlo  ...

pido disculpas 

[alucard]

Hola

Si tomas polares sobre la region tenes, de la restricción

\( -x\leq{y} \)

\( -r\cos\theta\leq{r\sen\tehta}\rightarrow{-1\leq{\dfrac{\sen\theta}{\cos\theta}}\rightarrow{-\dfrac{pi}{4}}\leq{\theta} \)

En realidad sería \( \dfrac{-\pi}{4}\leq \theta\leq \dfrac{3\pi}{4} \).

una consulta ... en este punto no veo claro de donde salio el \( \dfrac{3\pi}{4} \) si solo tengo  \( -1\leq{\tan\theta} \)

Por lo demas , siempre se toma el ángulo recorrido en sentido antihorario, y en caso , como en este ejercicio , me queda un ángulo

negativo recorrido en sentido horario , tengo que pasarlo a angulo recorrido en sentido antihorario? espero me haya hecho entender 

[Luis Fuentes]

Hola

una consulta ... en este punto no veo claro de donde salio el \( \dfrac{3\pi}{4} \) si solo tengo  \( -1\leq{\tan\theta} \)

En realidad tienes que:

\( -cos(\theta)\leq sin(\theta) \)

Al pasar el coseno dividiendo tienes que tener cuidado, porque si es negativo cambia el sentido de la igualdad.

Entonces si \( \theta\in [-\pi/2,\pi/2] \) entonces el coseno es positivo y efectivamente te queda \( tan(\theta)\geq -1 \). Eso ocurre para \( \theta\in [-\pi/4,\pi/2] \).

Si \( \theta\in [\pi/2,3\pi/2] \) entonces el coseno esnegativo y  te queda \( tan(\theta)\leq -1 \). Eso ocurre para \( \theta\in [\pi/2,3\pi/4] \).

Por lo demas , siempre se toma el ángulo recorrido en sentido antihorario, y en caso , como en este ejercicio , me queda un ángulo

negativo recorrido en sentido horario , tengo que pasarlo a angulo recorrido en sentido antihorario? espero me haya hecho entender

 

Teniendo en cuenta la periodicidad de período \( 2\pi \) de las razones trigonmétricas, lo que no tiene sentido es que tomes un recorrido de un ángulo más pequeño hacia otro más grande. Puedes usar esa periodicidad para evitar esa situación.

Por último lo recomendable en estos casos es hacer el dibujo de la región (no tengo ahora tiempo de hacerlo). Pero ahí se ve claramente las cotas para los ángulos.

Saludos.

[alucard]

gracias por tus aclaraciones el manco 

[Samir M.]

Aquí tenéis un dibujo para la región

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP1442203gh6h02hb3c6e300004b609g4b9di07gag?MSPStoreType=image/gif&s=36&w=200.&h=202.&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips

[Luis Fuentes]

Hola

Aquí tenéis un dibujo para la región

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP1442203gh6h02hb3c6e300004b609g4b9di07gag?MSPStoreType=image/gif&s=36&w=200.&h=202.&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips

Al menos yo no soy capaz de ver ningún dibujo en la dirección enlzada. El gráfico sería este:



Saludos.

[Samir M.]

Así parece ser, qué raro, parece que los links de wolfram alpha tienen caducidad temporal. Disculpas, a partir de ahora me bajaré las imágenes y las adjuntaré en el mensaje.

Saludos.