Autor Tema: Duda (¿)básica(?)

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23 Noviembre, 2014, 09:30 pm
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La sierra de Okham

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Hola. No sabía si postear la pregunta aquí o en el foro de matemáticas de nivel de instituto. El caso es que he intentado buscar la respuesta por internet pero me resulta difícil.
La pregunta es muy fácil. Tenemos un conjunto de casi infinitos elementos, sean pelotas. Una de cada cien es roja. Si cogemos cien bolas, ¿cuál es la probabilidad de que una sea roja?
El caso es que la pregunta parece fácil, pero si vas avanzando con que cada bola que cojas tiene una posibilidad de 1/100 de ser roja, al final tendrás que la posibilidad de que una de las 100 que cojas sea roja es de un 100%, lo que es falso. Y no sé qué me he dejado por medio.

23 Noviembre, 2014, 09:38 pm
Respuesta #1

robinlambada

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La respuesta es: \( P=\displaystyle\binom{100}{1}0'01^{1}\cdot{0'99^{99}=100\cdot{}0'01^{1}\cdot{0'99^{99}

Suponiendo que hay casi infinitas bolas, es decir que no cambia la probabilidad en cada estraccion , pues la proporción uno a 100 se mantiene.(o hay reemplazamiento, es decir que vuelvo a introducir la bola extraida)

En realidad esto es una aproximación.

Realmente la probabilidad pedida es suponiendo que hay [tex]N=100\cdot{}r  \)bolas y de las cuales 'r' son rojas y no hay reemplazamiento:
La probabilidad pedida es:  \( P=100\cdot{\displaystyle\frac{1}{100}}\cdot{}\displaystyle\prod_{k=1}^{k=99}{}\left\({\displaystyle\frac{99r-k}{100r-k}}\right\) \)

P.D.: Presentiste bien
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

23 Noviembre, 2014, 09:55 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola. No sabía si postear la pregunta aquí o en el foro de matemáticas de nivel de instituto. El caso es que he intentado buscar la respuesta por internet pero me resulta difícil.
La pregunta es muy fácil. Tenemos un conjunto de casi infinitos elementos, sean pelotas. Una de cada cien es roja. Si cogemos cien bolas, ¿cuál es la probabilidad de que una sea roja?
El caso es que la pregunta parece fácil, pero si vas avanzando con que cada bola que cojas tiene una posibilidad de 1/100 de ser roja, al final tendrás que la posibilidad de que una de las 100 que cojas sea roja es de un 100%, lo que es falso. Y no sé qué me he dejado por medio.

 El hecho de que te digan que el conjunto tiene casi infinitos elementos da a entender que el suceso de ir extrayendo cada bola es independiente de las demás extracciones (es decir aunque saquemos 20 bolas rojas seguidas no disminuye en esencia el porcentaje de bolas rojas).

 Por tanto la extracción de cada bola es un suceso independiente con probabilidad \( 1/100=0.01 \) de ser roja.

 El número de bolas rojas en cien extracciones es por tanto una variable aleatoria binomial \( B(100,0.01) \).

 La probabilidad de que en \( 100 \) extracciones haya exactamente una bola roja es:

\( \displaystyle\binom{100}{1}0.01\cdot 0.99^{99}=0.36973 \)

 La probabilidad de que en \( 100 \) extracciones haya una o más bolas roja es la complementaria de que ninguna sea roja:

\( 1-0.99^{100}=0.633968 \)

Saludos.

P.D. Presiento que robinlambda quería poner lo mismo y simplemente tiene una errata.