Hola
Entonces, el_manco, si el dominio es anterior a la función, ¿podemos elegir que el dominio sean los reales positivos para \( f(x)=x \)?
Por supuesto que podemos. Diríamos:
\( f:[0,+\infty)\longrightarrow R,\qquad f(x)=x \)
Lo que ocurre es que en el contexto de análisis real, muchas veces se olvidan esos formalismos. Por convenio se presupone que el codominio son todos los reales y el dominio el mayor conjunto de números reales donde "la regla de formación" que se da para la función tenga sentido. En este contexto tiene sentido que en algunos ejercicios incluso pidan "calcular el domino" cuando de manera rigurosa éste debiera de ser un dato.
PD: no entiendo por que en los libros se complican tanto para definir codominio (o quizá soy yo, que no entiendo) 
¿Pero te ha quedado ya claro lo qué es?.
Saludos.
