Autor Tema: Aplicación de Teorema de Cauchy.

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22 Noviembre, 2014, 09:50 pm
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Cabudare

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Hola, tengo dificultades para ver la aplicación del teorema de cauchy en el siguiente ejercicio, Sea G un grupo de orden mp, donde p es un número primo y 1<m<p. Demuestre por el teorema de cuachy existe un elemento \( a \in G  \) de orden p. Además, probar que \( \left<{a}\right> \) es normal en \( G \).  (Usando las cuentas adecuadas con respecto a G, \( G/\left<{a}\right> \) y su representación como permutación). Su ayuda será bien recibida.

23 Noviembre, 2014, 01:54 am
Respuesta #1

filomates

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Según la wikipedia:
El Teorema de Cauchy es un caso particular de los Teoremas de Sylow, este afirma que para todo grupo fínito G, si existe un primo p tal que p|o(G), (p divide al orden del grupo g, donde el orden del grupo es el número de elementos de G), entonces existe H ≤ G (H subgrupo de G) tal que o(H) = p, (el orden de H es p, donde p es el número de elementos de H).
Por tanto según las hipótesis que te dan, por el teorema de Cauchy, existe un subgrupo H de orden p ya que p es primo y divide a mp
H no tiene subgrupos no triviales, ya que por el teorema de Lagrange el orden de cualquier subgrupo de H es divisor del orden de H que es p, número primo que no tiene divisores.
Por otro lado, al ser un grupo no trivial, existe \( a \) elemento de H, que no es la identidad. Ese elemento \( a \) tiene que tener orden p porque de lo contrario sería divisor de p, y no puede ser porque es primo.
Por tanto \( H=\left<{a}\right> \), es decir H es el grupo generado por \( a \)
Me queda por ver la segunda parte
La meta es el camino y el camino es la meta.
Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles, como pompas de jabón.
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23 Noviembre, 2014, 05:05 am
Respuesta #2

Cabudare

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Para la normalidad, consideremos \( b\in G\setminus \left<{a}\right> \), entonces sea \( h=b\left<{a}\right>b^{-1} \), así
\( h^p=(b a^k b^{-1})^p \) (con \( 1\leq k\leq p \))
\( \Rightarrow h^p=b^p a^{pk} b^{-p} \)
\( \Rightarrow h^p=b^p (a^p)^k b^{-p} \)
\( \Rightarrow h^p=b^p e^k b^{-p} \)
\( \Rightarrow h^p=b^p e b^{-p} \)
\( \Rightarrow h^p=b^p b^{-p} \)
\( \Rightarrow h^p=(b b^{-1})^p \)
\( \Rightarrow h^p=e^p \)
\( \Rightarrow h^p=e \)


Por tanto, \( h \) es de orden \( p \), esto es, \( h\in \left<{a}\right> \)

¿Está bien esa parte?

23 Noviembre, 2014, 09:40 pm
Respuesta #3

Cabudare

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Creo que lo que hice no resuelve que \( \left<{a}\right> \) es normal en G. He tratado de construir un homomorfismo entre \( G \) y \( G\setminus \left<{a}\right> \) y no lo logro.

Además, no entiendo cómo es posible construir el grupo cociente  \( G\setminus \left<{a}\right> \)  si tengo entendido que en este caso \( \left<{a}\right> \) debe ser normal en G.

23 Noviembre, 2014, 10:40 pm
Respuesta #4

Cabudare

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Bien, tengo que por ser \( \left<{a}\right> \) finito, entonces \( \left<{a}\right> \) es abeliano.

24 Noviembre, 2014, 10:51 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Cabudare: habías abierto un nuevo hilo para seguir preguntando por este ejercicio. En lo sucesivo evita hacer esto. Simplemente si sigues teniendo dudas, continua preguntado en el mismo hilo.

 En cuanto al problenma, observa que dado \( b\in G,\quad c=bab^{-1} \) genera un subgrupo de orden \( p \). Si es disitnto de \( <a> \) tendrías dos subgrupos \( H=<a> \) y \( K=<c> \) de orden \( p \) que sólo se intersecan en el neutro.

 Comprueba que entonces la aplicación:

\(  f:H\times K\longrightarrow{}G,\qquad f(h,k)=hk \)

 es inyectiva y por tanto \( cardinal (G)\geq cardinal(HK)=p^2 \) lo cuál contradice el hecho de que \( orden(G)=mp \) con \( 1<m<p \).

Saludos.