Hola
Una última pregunta podría hacer la derivacion de \( e^{\displaystyle\frac{x}{senx} \) en vez de la que hizo el forero Samir que era la de \( e^{\displaystyle\frac{ln(1+x)}{senx} \).
Gracias.
No; no puedes.
Es cierto que:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}e^{\displaystyle\frac{x}{senx}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}e^{\displaystyle\frac{ln(1+x)}{senx} \)
porque ahí estamos usando el límite equivalente \( ln(1+x)\sim x \). De manera rigurosa estaríamos haciendo:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}e^{\displaystyle\frac{ln(1+x)}{senx}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\left(e^{\displaystyle\frac{x}{senx}}\right)^{ln(1+x)/x}= \)
\( =\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\left(e^{\displaystyle\frac{x}{senx}}\right)^{\lim_{x \to 0}{}(ln(1+x)/x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}e^{\displaystyle\frac{x}{senx}} \)
Pero el problema es que tu tienes:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{e-e^{ln(1+x)/sin(x)}}{x} \)
Puedes hacer la sustitución por infinitésimos equivalentes y quedarte con:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{e-e^{x/sin(x)}}{x} \)
siempre que al resolver el segundo límite no aparezca una indeterminación; pero si aparece y quieres usar L'Hopital debes de derivar sobre la primera expresión.
Saludos.
