[dvd1975]

Hola buenas tardes.
Ante todo gracias por ayudarme, que sé que estoy siendo muy pesada,  pero el tema me  está desbordando algunas veces.


Os pongo mi duda de hoy

es el siguiente límite

\( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^\frac{1}{\sen x}}{x} \)


tiene que salir \( \displaystyle\frac{e}{2} \)

Os explico lo que he hecho.

Hago por separado el límite de numerador y el límite de denominador.

en el numerador separo por una parte el límite de e y por otro el limite de \( (1+x)^{\displaystyle\frac{1}{\sin x}} \)

si quiero quitar el exponente de (1+x) allí aplico el límite de e  con lo que me queda    \( \displaystyle\frac{1}{\sin x}*x \)

Aplico L'Hôpital  y en el numerador   me queda derivar solo el producto  de  \( \displaystyle\frac{1}{\sin x}*x \)
y en el numerador 1

pero no llego a nada, se me complica más.

¿alguien me puede ayudar?.
Gracias.

[Samir M.]

Aplica L'hopital a saco:



\( \begin{align*} L &= \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^\frac{1}{\sen x}}{x} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=} \frac{0 - \frac{d}{dx} e^{\ln(1+x)/\sin(x)}}{1} = \lim_{x\to 0} - \frac{d}{dx} e^{\ln(1+x)/\sin(x)} = \lim_{x\to 0}- e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \left ( \frac{\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x)}{\sin^2(x)}\right) \\ &\stackrel{\text{ P.L}}{=} \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot \lim_{x\to 0}  \frac{\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x)}{\sin^2(x)} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=}  \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x) \right )}{\frac{d}{dx}\sin^2(x)} \\ &= \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)}    \end{align*}     \)

donde \( \stackrel{\text{ L'hop.}}{=}  \) indica que llegamos a la siguiente expresión que aparece aplicando L'hopital y  \( \stackrel{\text{ P.L}}{=} \) indica que llegamos a las siguiente expresión  aplicando la propiedad del producto de límites.
Notamos que

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} = -e^{\lim_{x\to 0} \ln(1+x)/\sin(x)} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=} -e  \)

\( \displaystyle \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)} = \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right)}{2\cos(x)} = \frac{-1}{2}  \)

luego

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)} = -e \cdot  \frac{-1}{2} = \frac{e}{2} \)

Saludos.

[dvd1975]

Aplica L'hopital a saco:



\( \begin{align*} L &= \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^\frac{1}{\sen x}}{x} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=} \frac{0 - \frac{d}{dx} e^{\ln(1+x)/\sin(x)}}{1} = \lim_{x\to 0} - \frac{d}{dx} e^{\ln(1+x)/\sin(x)} = \lim_{x\to 0}- e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \left ( \frac{\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x)}{\sin^2(x)}\right) \\ &\stackrel{\text{ P.L}}{=} \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot \lim_{x\to 0}  \frac{\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x)}{\sin^2(x)} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=}  \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{(1+x)} - \ln(1+x)\cos(x) \right )}{\frac{d}{dx}\sin^2(x)} \\ &= \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)}    \end{align*}     \)

donde \( \stackrel{\text{ L'hop.}}{=}  \) indica que llegamos a la siguiente expresión que aparece aplicando L'hopital y  \( \stackrel{\text{ P.L}}{=} \) indica que llegamos a las siguiente expresión  aplicando la propiedad del producto de límites.
Notamos que

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} = -e^{\lim_{x\to 0} \ln(1+x)/\sin(x)} \stackrel{\text{ L'hop.}}{=} -e  \)

\( \displaystyle \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)} = \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right)}{2\cos(x)} = \frac{-1}{2}  \)

luego

\( \displaystyle \lim_{x\to 0} - e^{\ln(1+x)/\sin(x)} \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\left(\ln(x+1) - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \sin(x)}{2\cos(x)\sin(x)} = -e \cdot  \frac{-1}{2} = \frac{e}{2} \)

Saludos.

Hola buenas  tardes
gracias por tu respuesta he hecho la derivada y efectivamente me sale eso.
Pero yo habitualmente hago la derivada de otra forma y he visto en un libro que
es lo mismo que hacer  tienes por ejemplo

\( f(x)^g(x)= \) que e elevado al limite de \( f(x)* (g(x)-1) \)
Normalmente hago los límite así y obtengo el resultado.
Pero en este caso no se porque con este método no sale.


En mi caso sería aplicaría hopital  y sería

\( -e^{\lim_{x->0}\frac{1}{sinx}*(1+x-1))} \)

y nos sale \( -e^{\lim_{x->0}\frac{x}{sinx}} \)

si aplicas l'hopital nos queda   \( \displaystyle\frac{1}{cosx}=1 \)
No me sale -1/2 como deberías salir.
¿Cúal es mi fallo?.
Gracias

[Samir M.]

Deberías intentar expresarte de mejor manera. Cuando publicas un mensaje, puedes releerlo para ver si tiene sentido lo que pones y si es realmente lo que has querido poner. Más que nada es para facilitar a la persona que te va a responder saber cuál es tu duda exacta y no andar haciendo de adivino. Tienes un instructivo manual de expresiones en esta misma página: http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm

En cuanto a tu pregunta, creo que lo que has querido decir es que si tienes que

\(  L =\displaystyle\lim_{x \to 0}{ f(x)g(x)} \)

entonces es lo mismo escribir

 \( e^L = e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}{ f(x)g(x)}} \), y sí, en general es cierto.

Lo que pasa, que en tu caso te queda

\( e^L = e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}{(x+1)/\sin{x}} \)

pero el límite que queda en el exponente no existe. Para notar esto, mira a ver qué pasa a \( (x+1)/\sin{x} \) cuando \( x \) tiende al cero por la izquierda y cuando \( x \) tiende al cero por la derecha y responde a la siguiente pregunta: ¿Te sale el mismo límite?

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Creo que lo que intento es:

Si \(  \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 1  \)
Si \(  \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \infty  \)

Entonces:

\( \displaystyle \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)\cdot (f(x) -1)}  \)

En nuestro caso \(  a=0  \)

[dvd1975]

Creo que lo que intento es:

Si \(  \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 1  \)
Si \(  \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \infty  \)

Entonces:

\( \displaystyle \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)\cdot (f(x) -1)}  \)

En nuestro caso \(  a=0  \)

Si eso es lo que he querido explicar.
Utilizando esa propiedad, me sale lo que explico, y entonces aplico  hopital  en el exponente que surge de \( \displaystyle \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)\cdot (f(x) -1)}  \)
Y si aplico hopital y derivo, me sale lo que comento no \( \displaystyle\frac{-1}{2} \).
¿Dónde está mi error?.
Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Tenemos:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e  -(1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}}{x}  \)



Si quisieras sacar el límite:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}  \) podrías aplicar lo que dices y te quedaría \(  e  \)

Tú lo que estas haciendo si no me equivoco:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e  -\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}}{x}  \) que no está bien.

[dvd1975]

Tenemos:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e  -(1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}}{x}  \)



Si quisieras sacar el límite:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}  \) podrías aplicar lo que dices y te quedaría \(  e  \)

Tú lo que estas haciendo si no me equivoco:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e  -\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{sen(x)}}}{x}  \) que no está bien.

Hola buenos días.
Perdón por no saberme explicar, pero es que algunas veces la página está muy saturada, o el servidor y se cuelga y es imposible colgar los comentarios.
Creo que no he sabido expresarme bien, voy a intentar redactar lo mejor posible para que intentéis comprender lo que yo intento preguntar.
Ante todo gracias por vuestra paciencia y ayuda.


Como sabéis yo lo que busco es el límite de   \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^\frac{1}{\sen x}}{x} \)

Este límite si sustituis las x por 0    aparece lo siguiente   \( \displaystyle\frac{e-1^{\infty}}{0} \)

Dando este resultado  según me han enseñado el

\( f(x)^{g(x)} \) se puede expresar de estas maneras    como  \( e^{g(x)* ln f(x)} \) o bien \( e^{(g(x)*(f(x)-1)} \)

Hay viene mis dudas porque yo he supuesto que se puede poner

Separo los límites del numerador y el denominador es decir el límite queda como

Es decir  en numerador tendría

\( \displaystyle\frac{limite (e) - e^{(limite (\displaystyle\frac{1}{senx} *(1+x-1))}}{limite (x)} \)

Supuestamente lo anterior se puede hacer por propiedades el límite de la resta es la resta de los límites, el límite de la división es el límite de numerador y el límite del denominador.

Pues ahora aplico hopital y tenemos por partes para que quede claro.

En el numerador

\( \lim_{x->0}e \) que como es un numero es 0

\( -e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{senx}* (1+x-1))} \) esto es igual a \( -e^{\lim_{x->0}(\frac{x}{senx})} \)   
Aqui viene mi gran duda, según lo que yo se si aplico hopital tendría que derivar el exponente de la e  si lo derivo queda
lo siguiente\(  e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{cosx})}  \) que si yo aplico el límite me queda  \( -e^1 = -e \)


En el denominador

Muy facil porque es el límite de x que si aplico hopital me queda 1



es decir me queda     lo siguiente  \( e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{cosx})}= -e  \) no \( \displaystyle\frac{-e}{2}  \)que es el resultado correcto.

¿Dónde está mi error?.Es importante saberlo para mí, porque puede ser que tenga un error de base, y luego pueda cometer un importante error a nivel de conocimientos o en un examen.
Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Cometes varios errores.

 

Es decir  en numerador tendría

\( \displaystyle\frac{limite (e) - e^{(limite (\displaystyle\frac{1}{senx} *(1+x-1))}}{limite (x)} \)

Supuestamente lo anterior se puede hacer por propiedades el límite de la resta es la resta de los límites, el límite de la división es el límite de numerador y el límite del denominador.

Pues ahora aplico hopital y tenemos por partes para que quede claro.

Si aplicas L'Hopital deberías de derivar numerador y denominador. Pero...

En el numerador

\( \lim_{x->0}e \) que como es un numero es 0

\( -e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{senx}* (1+x-1))} \) esto es igual a \( -e^{\lim_{x->0}(\frac{x}{senx})} \)   
Aqui viene mi gran duda, según lo que yo se si aplico hopital tendría que derivar el exponente de la e  si lo derivo queda
lo siguiente\(  e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{cosx})}  \) que si yo aplico el límite me queda  \( -e^1 = -e \)

Aquí no estás derivando el numerador sino simplementa hallando su límite. Y cometes el grave error de decir que \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}e \) es \( 0 \). ¡No! El límite de una constante es la propia constante. Sería e.

En el denominador

Muy facil porque es el límite de x que si aplico hopital me queda 1

Aquí sin embargo si estás derivando el denominador.

Saludos.

[dvd1975]

Hola

 Cometes varios errores.

 

Es decir  en numerador tendría

\( \displaystyle\frac{limite (e) - e^{(limite (\displaystyle\frac{1}{senx} *(1+x-1))}}{limite (x)} \)

Supuestamente lo anterior se puede hacer por propiedades el límite de la resta es la resta de los límites, el límite de la división es el límite de numerador y el límite del denominador.

Pues ahora aplico hopital y tenemos por partes para que quede claro.

Si aplicas L'Hopital deberías de derivar numerador y denominador. Pero...

En el numerador

\( \lim_{x->0}e \) que como es un numero es 0

\( -e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{senx}* (1+x-1))} \) esto es igual a \( -e^{\lim_{x->0}(\frac{x}{senx})} \)   
Aqui viene mi gran duda, según lo que yo se si aplico hopital tendría que derivar el exponente de la e  si lo derivo queda
lo siguiente\(  e^{\lim_{x->0}(\frac{1}{cosx})}  \) que si yo aplico el límite me queda  \( -e^1 = -e \)

Aquí no estás derivando el numerador sino simplementa hallando su límite. Y cometes el grave error de decir que \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}e \) es \( 0 \). ¡No! El límite de una constante es la propia constante. Sería e.

En el denominador

Muy facil porque es el límite de x que si aplico hopital me queda 1

Aquí sin embargo si estás derivando el denominador.

Saludos.

Ahora me doy  cuenta que me he liado con límites y derivadas.
Si conozco que el limite de una constante es esa constante.

Una última pregunta podría hacer la derivacion  de   \( e^{\displaystyle\frac{x}{senx} \) en vez de la que hizo el  forero Samir que era la de  \( e^{\displaystyle\frac{ln(1+x)}{senx} \).
Gracias.