Buenas tardes, alguien me podría ayudar con este ejercicio que no sé plantear. Trata sobre espectros de un operador. Y en cuanto a la notación \( \sigma_{p}(A) \) detona el espectro puntual y \( \sigma_{c}(A) \) el espectro continuo.
El ejercicio es el siguiente:
Considere el espacio de Hilbert \( \mathcal{H}=L^{2}(0,1) \) y la función \( f \) continua en el intervalo \( [0,1] \):
\( f(x)=\begin{cases}
\begin{array}{cc}
2x & \mathrm{si}\: x\in[0,\dfrac{1}{2}]\\
1 & \mathrm{si}\: x\in(\dfrac{1}{2},1]
\end{array}\end{cases} \)
Se define el operador multiplicación con \( f \) por \( M_{f}:\mathcal{H\rightarrow\mathcal{H}},\: M_{f}\varphi:=f\varphi \), donde \( \varphi\in\mathcal{H} \).
Probar que \( \sigma(M_{f})=\sigma_{p}(M_{f})\cup\sigma_{c}(M_{f}) \) con \( \sigma_{p}(M_{f})=\left\{ 2\right\} \) y \( \sigma_{c}(M_{f})=[0,2) \)
También, ¿alguien sabe de unos buenos apuntes y completos de espectro de un operador, operadores compactos y conjunto resolvente de un operador?
Muchas gracias.
