[jorgekarras]

Hola:

Me estoy haciendo un lío con esta tontería. Cada vez que lo calculo me sale un valor distinto.

¿Cuál es el valor de g en función de a?

¿Y si a=1?



Aunque no está muy bien dibujado,, BH=HE , CL=LE ; las líneas rojas son iguales entre sí.
Gracias de antemano

[EnRlquE]

Hola, en el gráfico se tiene que el triángulo \( ACE \) es isóceles, y por tanto \( \overline{AL} \) determina la bisectriz del \( \angle CAE \), con lo que \( \displaystyle m\angle DAE=\frac{\pi}{8} \). Sólo te queda aplicar la ley de cosenos y determinar \( g \).

\( \displaystyle g=\sqrt{a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta además, que con la fórmula.

\(  cos(\displaystyle\frac{A}{2})=\sqrt{\displaystyle\frac{1+cos(A)}{2}} \)

 el coseno de \( \pi/8 \) puede calcularse sin necesidad de calculadora ni tablas.

Saludos.

[jorgekarras]

¿Se puede lograr una fórmula sin usar senos ni cosenos?

[Luis Fuentes]

Hola

\(  cos(\pi/8)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1+cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}/2}{2}} \)

 Luego queda:

\(  g=a\sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}} \)

 Incluso se puede evitar el uso de trigonometría usando los mismos argumentos que se utilizan en la demostración geométrica de las fórmulas del seno del ángulo doble o del seno de la suma de dos ángulos.

Saludos.

[jorgekarras]

Gracias, ya encontré mi fallo. Me había bailado un signo 

Si no es mucho abusar, y para terminar de confirmar el asunto, ¿cuál es el valor de FE?
(se entiende que AF también es bisectriz).

[Luis Fuentes]

Hola

 En general, razonando igual:

\(  Cos(\pi/2^n)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\ldots+\sqrt{2}}}}}}{2} \) con \( n-1 \) raíces cuadradas.

 Entonces si llamas

\(  g_1=BE, \quad g_2=CE, \quad g_3=DE,\quad g_4=FE, \quad \ldots \)

\(  g_n=a\sqrt{2-2cos(\pi/2^n)}=a\sqrt{2-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\ldots+\sqrt{2}}}}}} \) con \( n \) raíces cuadradas.

 En particular:

\(  g_4=a\sqrt{2-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}} \)

Saludos.

[jorgekarras]

Gracias,

como decía me había bailado un signo y me estaba volviendo loco.
Estaba intentando lograr un valor de Pi a partir del T. de Pitágoras, esto es, de la raíz cuadrada de 2. Ahora me sale bien.
Os explico el divertimento:



En la figura, los valores son:

g1= a\( \sqrt[ ]{2} \)
g2=a\( \sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2}} \)
g3=a\( \sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}} \)
g4=a\( \sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}} \)
etc...

Se obtienen una serie de perímetros tales que
p1= 4g1
p2= 8g2
p3= 16 g3
p4= 32 g4
...
que van aproximadanto el valor de Pi (dividiendo por 2)

En concreto, en el caso de sólo 6 pasos, tenemos que
26g6
sale una aproximación de hasta 15 dígitos

(no tengo calculadora científica, así que no puedo decir nada más)

El método de Arquímedes, de cirunscribir polígonos, era similar. Pero, claro, en aquella época no había un cálculo para el valor de la raíz cuadrada de 2. ¿O no? (No tengo datos).

En cualquier caso, si se conocía las reglas del triángulo rectángulo, hallar pí no era excesivamente difícil. Y, como se sabe, el Teorema de Pitágoras es muy anterior al propio Pitágoras.

Salu2 y gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Efectivamente el método de duplicar los lados del polígono y medir su perímetro es uno de los métodos clásicos de aproximación de Pi. Puedes ver algo en estos enlaces:

http://www.fpolar.org.ve/matematica/fasciculo7.pdf

http://ochoa.mat.ucm.es/~fmacia/Docencia/MN/Matlab/circle/Pi.html

http://mondragon.angeltowns.net/paradiso/ValorDePi.html

 El método de Arquímides consistíó en aplicar esa idea pero partiendo de un hexágono, hasta llegar a un polígono de 96 lados. Trabajó al parecer con áreas en lugar de con perímetros.

http://ciencias.uniandes.edu.co/pdf/pi.pdf

Saludos.

[jorgekarras]

Sí, claro, pero el hecho es determinar cuándo empezó a usarse un sistema parecido.

Es curioso el sistema egipcio que citas en una de tus links.
El Papiro de Ahmes, uno de los dos o tres documentos matemáticos que quedan del saber egipcio, en realidad es una copia de mano del tal Ahmes de otro documento doscientos y pico años anterior (así lo dice el mismo Ahmes). O sea, hace casi cuatro mil años.
Se supone que es algo así como los temas que tenía que preparar un opositor a escriba  , y el valor de PI lo calculaba diciendo: teniendo un diámtero R, quítale 1/9. El resto elévalo al cuadrado. Ese número será igual al área del círculo que forma R. Sencillo, pero bastante exacto.
No parece muy complicado.
Entendiendo que los egipcios le dieron a las matemáticas durante miles de años, y que sus famosas pirámides son un momumento incontestable al triángulo rectángulo, es extraño que no hallaran una aproximación más perfecta, ¿no?

La cosa está en determinar en qué momento se habla de la raíz de 2 como número. ¿Realmente no manejaban irracionales? ¿Por qué no ellos y sí los griegos, que eran una panda de piratas?

Salu2.