[jbyepez]

Ah, entiendo, creo no te había entendido bien la pregunta.

Mi interpretación es que, si para los intervalos ya mencionados, no encontramos ni uno sin pares de gemelos entre los más pequeños, mucho menos lo vamos a hacer entre los más grandes, dado que la probabilidad es menor, y aún suponiendo que hallemos uno, los infinitos intervalos que le siguen tienen probabilidad aún menor, haciendo probabilísticamente imposible que los primos gemelos no sean infinitos.

En cuanto a cálculos empíricos para compararlos con dicho cálculo, creo que no es posible directamente, lo más cercano sería comparar la cantidad de gemelos en tales intervalos con la esperanza de gemelos en los mismos, multiplicando \( \displaystyle\prod_{3<p\leq{n}}^{}{\displaystyle\frac{p-2}{p}} \) por la cantidad de triplas en el intervalo. Eso es lo que hago en la tabla que previamente subí, donde conté muchos intervalos de la forma \( [p^2,q^2] \), con \( p \) un primo cualquiera y \( q \) el primo que le sigue, y donde parece ser que la probabilidad calculada se acerca, pero la real es algo menor. Empíricamente hallé que esa probabilidad, para cualquier \( n \), parece ser, de manera bastante exacta, \( 0,793244*\displaystyle\prod_{3<p\leq{n}}^{}{\displaystyle\frac{p-2}{p}} \).

[jbyepez]

Actualicé la tabla de primos y gemelos, usando \( 0.7932198... \) como si fuera el primer término de la productoria (acabo de mejorar la aproximación de ese número), y al graficar la esperanza del total de pares de gemelos menores que un \( n \) junto con la cantidad real de los mismos, las gráficas son tan idénticas que no se nota diferencia alguna.

Nota: Recomiendo descargar el archivo de excel, porque es bastante pesado.

[jbyepez]

Buen día
había olvidado este hilo hace muchos años.

Ayer vi un vídeo de Veritasium que me recordó este tema.
Presentaron las mejores aproximaciones existentes a la demostración de la infinitud de los primos gemelos, y ninguna lo afrontaba de esta manera. En su momento pensé que ya había investigaciones serias por el estilo.

Hola

En cuanto a la probabilidad que calculo, al fin y al cabo es solo una probabilidad, y solo sirve para especular, pero lo que realmente busco es, no la probabilidad de que haya al menos una tripla sin descartar, sino la probabilidad de que todas las triplas hayan sido descartadas en el intervalo (aunque la suma de ambas debe ser 1, así que no es algo muy distinto de hallar), y empíricamente concluyo que la probabilidad de que eso suceda es menor a medida que \( p \) se hace mayor.

Si, eso si lo había entendido. Lo que pasa que como bien dices el suceso "que haya una tripla sin descartar" es el complemetentario de que "todas hayan sido descartadas". Las probabilidad suman uno. Entonces calculada una se tiene la otra. Me refería a la primera porque que haya un tripla sin descartar, equivale a que haya un par de primos gemelos.

Pero ese matiz no invalida mis preguntas, que no me has respondido. No me interesa tanto de momento, analizar la validez de tus cuentas, sino entender bien como intepretas la probabilidad que dices caclular. Entonces me intesaría que respondienses específicamente a la observación que hice aquí (y en concreto a la pregunta que subrayo):

Pero, si no la interpretas como algún tipo de ratio (no necesariamente el que yo indiqué), ¿cómo comprobar empíricamente si estás o no en la cierto? ¿qué calculos empíricos tengo que hacer para estimar esa probabilidad y compararla con tu cálculo teórico?.

 Porque si simplemente se trata de averiguar si en el intervalo \( [p^2,q^2] \) aparecen primos gemelos, la respesta es SI. Y la probabildiad empírica de este hecho es 1, porque de hecho el suceso ocurre.

Saludos.

Leyendo de nuevo me doy cuenta de que nunca aclaré del todo que clase de probabilidad estaba calculando, por lo que daré el ejemplo más simple con números pares.

La probabilidad de que un número cualquiera elegido al azar sea par es \( \displaystyle\frac{1}{2} \)

Tomando esta probabilidad, podríamos decir que la probabilidad de que en un intervalo de 10 números ninguno sea par es de \( (\displaystyle\frac{1}{2})^{10} \)

Esto es por supuesto falso ya que los pares no se distribuyen aleatoriamente, sino de manera completamente homogénea, y creo que ahí es donde no nos entendíamos. Por supuesto si intentas hacer conteos vas a encontrar que en todo intervalo de al menos 2 números siempre habrá un par.

Sin embargo lo que si se puede comprobar empíricamente es la esperanza, la cual va a ser prácticamente exacta gracias a esa distribución homogénea, 10 x 0.5 = 5 pares en el intervalo.

En su momento hice conteos computacionalmente hasta números de 11 cifras entre cada \( p^2 \) y \( q^2 \) y el conteo de gemelos en los intervalos se corresponde con la esperanza de manera increíblemente precisa.

Además, la esperanza de pares de gemelos entre \( p^2 \) y \( (p+2)^2 \) incrementa conforme \( p \) crece.

Para mí, prácticamente es una demostración, pero carezco del rigor matemático 

[Richard R Richard]

Segun lo que entendí del video que mencionas de veritasium, es que segun los últimos avances se han encontrado cotas inferiores para gaps de primos, es decir se ha comprobado  que hay infinitos pares de primos cuya diferencia esta por encima de la cota, sin suponer ciertas otras conjeturas esa cota es 246, pero asumiendo válidas estas conjeturas entonces la cota se reduce a 6,  es decir solo quedaría  probar que hay infinitos pares de primos separados por 2 y otros  también por 4 unidades, el resto  ya estaría  conjeturado /demostrado positivamente.

[feriva]

Hola.

No sé qué vídeo es ahora mismo (sí conozco el canal) pero imagino que se referirá a Primera Conjetura de Hardy-Littlewood.

Ahora mismo no tengo cosas de matemáticas en la cabeza pero algo recuerdo. Si la cantidad de primos mínima en un intervalo de cero hasta un número “x” dado es $$x/log(x)$$, y la probabilidad de que un número sea primo en ese intervalo es, por el inmediato cálculo, $$1/log(x)$$. La probabilidad condicionada de que dado $$n$$ primo lo sea también $$n+2$$ será más o menos $$1/log^2(x)$$. Pero el que un número sea primo está, además, condicionado estadísticamente por cuestiones de divisibilidad, entonces Hardy y Littlewood estimaron una constante para hacer una corrección. No me acuerdo bien, pero búscalo por ese nombre, “Primera Conjetura de Hardy-Littlewood” y dentro de esa conjetura se habla de eso.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola.

No sé qué vídeo es ahora mismo (sí conozco el canal) pero imagino que se referirá a Primera Conjetura de Hardy-Littlewood.

[feriva]

Gracias, Richard. Voy a mirarlo.

Saludos.

[leevinegates]

Sí, entiendo lo que planteas. La idea es interesante, aunque creo que habría que revisar algunos pasos del razonamiento para ver si realmente se puede llegar a una conclusión sobre la infinitud de los primos gemelos. Aun así, me parece un enfoque curioso y vale la pena seguir desarrollándolo.

[Ajeemt]

El punto clave está en lo que comenta sobre los pares y la esperanza: que los datos se ajusten tan bien a la estimación es llamativo, pero todavía queda justificar por qué eso obliga a que haya infinitos gemelos. Ahí está precisamente la diferencia entre una evidencia numérica muy fuerte y una demostración rigurosa. Sería interesante ver cómo se comporta esa diferencia al ampliar los cálculos.