[Cabudare]

Hola tengo que hacer dos integrales por el cambio de variable la primera esta:

\( \displaystyle\int_0^2\int_0^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2} \), usé el cambio de variable \( x=\sqrt{1-u^2}+1 \) y \( y=v \).

La integral me quedaría:

\( \displaystyle\int_0^2\int_0^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2}= \int_0^2\int_0^{u}\dfrac{\sqrt{1-u^2}+1+v}{(\sqrt{1-u^2}+1)^2+v^2}\dfrac{u}{\sqrt{1-u^2}}dvdu \).

¿Está bien mi cambio? Si está bien, mi dificultad es que  no logro resolver la integral \( \displaystyle\int_0^{u}\dfrac{\sqrt{1-u^2}+1}{(\sqrt{1-u^2}+1)^2+v^2}dv \)

[Cabudare]

La otra es: dada la región acotada por las curvas de ecuaciones \( x=-y^2 \), \( x=2-y^2-2y \) y \( x=2y-y^2 \) utilice el cambio de variable \( x=u-\dfrac{(u+v)2}{4} \) y \( y=\dfrac{u+v}{2} \) para calcular \( \int\int_R(x+y^2)dxdy \). este si no se que hacer

[Luis Fuentes]

Hola

\( \int_0^2\int_0^{\sqrt{1-(x-1)^2}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2} \), usé el cambio de variable \( x=\sqrt{1-u^2}+1 \) y \( y=v \).

No puedes hacer ese cambio. Si tomas \( x=\sqrt{1-u^2} \), entonces \( x \) a lo sumo puede tomar valores en \( [0,1]. \) Pero sin embargo en tus límites \( x \) toma valores en \( [0,2]. \)

Pueba en coordenadas polares:

\( x=rcos(\theta),\quad y=rsin(\theta) \)

Cuidado con los límites de integración.

La otra es: dada la región acotada por las curvas de ecuaciones \( x=-y^2 \), \( x=2-y^2-2y \) y \( x=2y-y^2 \) utilice el cambio de variable \( x=u-\dfrac{(u+v)2}{4} \) y \( y=\dfrac{u+v}{2} \) para calcular \( \int\int_R(x+y^2)dxdy \). este si no se que hacer

Pero ¿que has intentado?. Trasnforma las curvas que limitan tu recinto según el cambio propuesto:

\( x+y^2=0 \) pasa a ser \( u=0 \)
\( x+y^2-2+2y=0 \) pasa a ser \( 2u+v=2 \)
\( x+y^2-2y=0  \) pasa a ser \( v=0 \)

Si dibujas el nuevo recinto verás que es un simple triángulo:

\( 0\leq u\leq 2,\quad 0\leq v\leq 2-2u \)

Ahora aplica el cambio a la integral.

Saludos.