Autor Tema: Desigualdad que acota a log2

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Noviembre, 2014, 09:44 pm
Leído 515 veces

Cabudare

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 33
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, tengo problemas para probar la siguiente desigualdad, no se ni cómo empezar:

\( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\leq \log 2\leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1} \)

02 Noviembre, 2014, 11:58 pm
Respuesta #1

Gustavo

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,836
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola. Una posibilidad es ver las sumas en los extremos como sumas de Riemann de la función \( \dfrac{1}{1+x}, \) notando que la de la izquierda es creciente y la de la derecha decreciente.

03 Noviembre, 2014, 02:47 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,981
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Otro camino:

\(  {\red Editado }  \)

\(  \displaystyle 2 = \prod_{i=1}^n \Big(1+\frac{1}{n+i-1}\Big) =  \prod_{i=1}^n \frac{n+i}{n+i-1}  \). cancelando productos

\( \displaystyle \ln(2)=\ln\big(\prod_{i=1}^n \frac{n+i}{n+i-1}\big)=\sum_{n=1}^n \ln(n+i)-\sum_{n=1}^n \ln(n+i-1) \) mediante lo anterior o por suma telescópica.

\(  \displaystyle  \frac{1}{n+i}   \leq  ln(n+i) - ln(n+i-1) \leq \frac{1}{n+i-1}  \)

Queda:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}\leq\ln(2)\leq\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i-1}  \)

\(  {\red Editado }  \)

¿ Te sirvió Cabudare ?