[Cabudare]

Hola, tengo problemas para probar la siguiente desigualdad, no se ni cómo empezar:

\( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n}\leq \log 2\leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1} \)

[Gustavo]

Hola. Una posibilidad es ver las sumas en los extremos como sumas de Riemann de la función \( \dfrac{1}{1+x}, \) notando que la de la izquierda es creciente y la de la derecha decreciente.

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:

\(  {\red Editado }  \)

\(  \displaystyle 2 = \prod_{i=1}^n \Big(1+\frac{1}{n+i-1}\Big) =  \prod_{i=1}^n \frac{n+i}{n+i-1}  \). cancelando productos

\( \displaystyle \ln(2)=\ln\big(\prod_{i=1}^n \frac{n+i}{n+i-1}\big)=\sum_{n=1}^n \ln(n+i)-\sum_{n=1}^n \ln(n+i-1) \) mediante lo anterior o por suma telescópica.

\(  \displaystyle  \frac{1}{n+i}   \leq  ln(n+i) - ln(n+i-1) \leq \frac{1}{n+i-1}  \)

Queda:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}\leq\ln(2)\leq\sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i-1}  \)

\(  {\red Editado }  \)

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