[EnRlquE]

Hola, tengo el siguiente problema que no consigo resolver

Sea \( z=\cos\theta+i\sen\theta \), dónde \( \theta\in(0,2\pi) \) y \( \displaystyle\frac{\theta}{2\pi} \) es irracional. Pruebe que el conjunto \( \{z^{n};n\in\mathbb{Z}\} \) es denso en \( S^{1}=\{z\in\mathbb{C}; |Z|=1\} \).

Agradezco de antemano su ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

 Este problema, en sus diferentes versiones, es un clásico. De hecho ya apareció en el foro formulado de otra manera. Pero no lo encuentro ahora.

 Llámale \( A=\{z^n: n\in Z\} \). Ten en cuenta que A es un subgrupo multiplicativo de \( S^1 \). Dos posiblidades:

 - Si A es finito, entonces existe un n tal que \( z^n=1 \). Pero entonces \( n\theta=2k\pi  \) y eso contradice la irracionalidad de \( \theta/2\pi \).

 - Si A es infinto por estar en un compacto tiene un punto de acumulación. Pero entonces exiten \( n \) y \( m \) tales que \( z^n \) y \( z^m \) están tan próximos como queramos. Pero entonces \( z^{n-m}=cos(\epsilon)+i sin(\epsilon)\in A \) con \( \epsilon \) tan pequeño como queramos. De aquí tienes rápidamente la densidad.

Saludos.

P.D. Lo encontré!!!! y también habías preguntado tú!!!!  No se si lo parece pero este problema equivale a este otro que consultaste aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=5985.0

[EnRlquE]

Muchas gracias el_manco, tan efectivo como siempre, tienes razón, no lo había notado, pero basicamente este problema es equivalente al que pregunté antes .

[EnRlquE]

Hola.

 Para complementar un poco más la pregunta reciente de este hilo

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,32075.0.html

 Me gustaría exponer otro punto de vista, del que me percaté hace algún tiempo, para resolver este problema usando justamente el hecho de ser \( G=\{m\alpha+n|\;n,m \in{\mathbb{Z}}\} \) denso en \( \mathbb{R} \) cuando \( \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \).

 Hagamos \( \alpha=\dfrac{\theta}{2\pi} \) y observemos que \( A=\{z^{m}|\;m\in\mathbb{Z}\}=\{e^{im\theta}|\;m\in\mathbb{Z}\} \). Como \( e^{ix}=e^{i(x+2\pi n)} \) para todo \( x\in\mathbb{R} \) y todo \( n\in\mathbb{Z} \), deducimos que

\( A=\{e^{i(m\theta+2\pi n)}|\;m,n\in\mathbb{Z}\}=\displaystyle\big\{e^{2\pi i(m\alpha+n)}|\;m,m\in\mathbb{Z}\big\} \)

 Finalmente como \( \{m\alpha+n|\;n, m \in{\mathbb{Z}} \} \) es denso en \( \mathbb{R} \), de la continuidad de la aplicación definida por \( x\mapsto e^{2\pi ix} \) concluimos que \( A \) es denso en \( S^{1} \).


Saludos.