Autor Tema: Sucesión densa en S^1

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20 Septiembre, 2007, 03:29 am
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EnRlquE

  • Lathi
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Hola, tengo el siguiente problema que no consigo resolver

Sea \( z=\cos\theta+i\sen\theta \), dónde \( \theta\in(0,2\pi) \) y \( \displaystyle\frac{\theta}{2\pi} \) es irracional. Pruebe que el conjunto \( \{z^{n};n\in\mathbb{Z}\} \) es denso en \( S^{1}=\{z\in\mathbb{C}; |Z|=1\} \).

Agradezco de antemano su ayuda.

20 Septiembre, 2007, 08:56 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Este problema, en sus diferentes versiones, es un clásico. De hecho ya apareció en el foro formulado de otra manera. Pero no lo encuentro ahora.

 Llámale \( A=\{z^n: n\in Z\} \). Ten en cuenta que A es un subgrupo multiplicativo de \( S^1 \). Dos posiblidades:

 - Si A es finito, entonces existe un n tal que \( z^n=1 \). Pero entonces \( n\theta=2k\pi  \) y eso contradice la irracionalidad de \( \theta/2\pi \).

 - Si A es infinto por estar en un compacto tiene un punto de acumulación. Pero entonces exiten \( n \) y \( m \) tales que \( z^n \) y \( z^m \) están tan próximos como queramos. Pero entonces \( z^{n-m}=cos(\epsilon)+i sin(\epsilon)\in A \) con \( \epsilon \) tan pequeño como queramos. De aquí tienes rápidamente la densidad.

Saludos.

P.D. Lo encontré!!!! y también habías preguntado tú!!!!  ;) No se si lo parece pero este problema equivale a este otro que consultaste aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=5985.0

20 Septiembre, 2007, 03:58 pm
Respuesta #2

EnRlquE

  • Lathi
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Muchas gracias el_manco, tan efectivo como siempre, tienes razón, no lo había notado, pero basicamente este problema es equivalente al que pregunté antes :-[.

09 Junio, 2010, 01:02 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Para complementar un poco más la pregunta reciente de este hilo


 Me gustaría exponer otro punto de vista, del que me percaté hace algún tiempo, para resolver este problema usando justamente el hecho de ser \( G=\{m\alpha+n|\;n,m \in{\mathbb{Z}}\} \) denso en \( \mathbb{R} \) cuando \( \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \).

 Hagamos \( \alpha=\dfrac{\theta}{2\pi} \) y observemos que \( A=\{z^{m}|\;m\in\mathbb{Z}\}=\{e^{im\theta}|\;m\in\mathbb{Z}\} \). Como \( e^{ix}=e^{i(x+2\pi n)} \) para todo \( x\in\mathbb{R} \) y todo \( n\in\mathbb{Z} \), deducimos que

\( A=\{e^{i(m\theta+2\pi n)}|\;m,n\in\mathbb{Z}\}=\displaystyle\big\{e^{2\pi i(m\alpha+n)}|\;m,m\in\mathbb{Z}\big\} \)

 Finalmente como \( \{m\alpha+n|\;n, m \in{\mathbb{Z}} \} \) es denso en \( \mathbb{R} \), de la continuidad de la aplicación definida por \( x\mapsto e^{2\pi ix} \) concluimos que \( A \) es denso en \( S^{1} \).


Saludos.