Autor Tema: La axiomatización de Tarski de la geometría euclídea

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13 Noviembre, 2014, 02:12 am
Respuesta #20

Carlos Ivorra

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La axiomatización de la geometría de Hilbert es mucho menos "dolorosa" que la de Tarski porque parte de los conceptos no definidos de punto, recta, plano, "estar entre", congruencia de segmentos y congruencia de ángulos, lo cual permite ahorrarse el más de medio centenar de teoremas que hemos tenido que demostrar para estar en condiciones de definir estos conceptos que Hilbert da por básicos. Ahora estamos en condiciones de introducir el último de los conceptos no definidos de Hilbert: la congruencia de ángulos. En cuanto hayamos probado los resultados básicos sobre esta congruencia, estaremos como "al principio" si hubiéramos elegido la senda feliz y libre de quebraderos de cabeza para demostrar lo obvio que supone la axiomática de Hilbert. (Bueno, no estaremos como "al principio", porque hasta llegar a este punto hemos probado ya algunos resultados a los que podemos sacar partido.)

Definimos un ángulo como un par de semirrectas \( \vec{ba} \) y \( \vec{bc} \) con el extremo común. En definitiva, un ángulo está determinado por tres puntos. Representaremos por \( \widehat{abc} \) al ángulo determinado por las semirrectas \( \vec{ba} \) y \( \vec{bc} \) (donde \( a\neq b\neq c \)). Estas semirrectas se llaman lados del ángulo y el extremo común \( b \) es el vértice del ángulo.

Hay que entender que no damos importancia al orden de los lados, de modo que \( \widehat{abc} \) es el mismo ángulo que \( \widehat{cba} \). También hay que tener presente que si \( a'\sim_ba \) y \( c'\sim_bc \), entonces \( \vec{ba}=\vec{ba'} \) y \( \vec{bc}=\vec{bc'} \), luego \( \widehat{abc} \) y \( \widehat{a'bc'} \) son, por definición, el mismo ángulo.

La definición exige que \( a\neq b\neq c \) para que \( \vec{ba} \) y \( \vec{bc} \) sean semirrectas, pero no excluye que \( a \), \( b \) y \( c \) sean colineales. En tal caso hay dos posibilidades:

Si \( a\sim_b c \) se dice que el ángulo es nulo, mientras que si \( a-b-c \) se dice que el ángulo es llano.

Loa ángulos \( \widehat{abc} \) tales que \( Rabc \) se llaman ángulos rectos.

En la definición de congruencia de ángulos incluimos un pequeño artificio que la simplifica, pero enseguida veremos dos caracterizaciones totalmente naturales. Diremos que dos ángulos son congruentes si cumplen:

\( \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}e{}f}\leftrightarrow a\neq b\neq c\land d\neq e\neq f\land \exists a'c'd'f' (b-a-a'\land  \) \( b-c-c'\land e-d-d'\land e-f-f'\land  \) \( aa'\equiv ed\land bc'\equiv ef\land dd'\equiv ba\land ff'\equiv bc\land a'c'\equiv d'f') \)


El teorema siguiente expresa más claramente la idea:

Teorema 81 Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

1) \( \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef} \)

2) \( \exists a'c'd'f'(a'\sim_ba\land c'\sim_bc\land d'\sim_ed\land f'\sim_ef\land (a'bc')\equiv (d'ef')) \)

3) \( a\neq b\neq c\land d\neq e\neq f\land \forall a'c'd'f' (a'\sim_ba\land c'\sim_bc\land d'\sim_ed\land f'\sim_ef\land  \) \( ba'\equiv ed'\land bc'\equiv ef'\rightarrow a'c'\equiv d'f') \)

En definitiva, dos ángulos son congruentes si cuando fijamos puntos \( a' \) \( c' \) en los lados de uno y \( d' \) y \( f' \) en los lados del otro de manera que \( ba'\equiv ed' \) y \( bc'\equiv ef' \), entonces también \( a'c'\equiv d'f' \).

Demostración: 1) \( \rightarrow \) 2)   Sean \( a',c',d',f' \) según la definición de congruencia de ángulo. Claramente \( a'\sim_b a\land c'\sim_bc\land d'\sim_ed\land f'\sim_ef \).

Como \( aa'\equiv ed\land dd'\equiv ba \), el teorema 2 implica que \( ba'\equiv ed' \), e igualmente \( bc'\equiv ef' \), luego \( (a'bc')\equiv (d'ef') \) y se cumple 2).

2) \( \rightarrow \) 3)  Fijemos \( a',c',d',f' \) según las hipótesis de 2), que en particular implican \( a\neq b\neq c\land d\neq e\neq f \), por definición de \( \sim_b \).

Ahora tomemos \( a'', c'', d'', f'' \) en las condiciones de 3), de modo que tenemos que demostrar que \( a''c''\equiv d''f'' \).

En definitiva, tenemos, como muestra la figura, cuatro pares de puntos en los lados de los ángulos de modo que cada uno dista del vértice de su ángulo lo mismo que su pareja del suyo. El teorema 13 implica que \( a'a''\equiv d'd''\land c'c''\equiv f'f'' \), como se indica también en la figura.


En definitiva tenemos que \( (b,a',a'')\equiv (e,d',d'') \), luego \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}b&a'&a''&c'\\ e&d'&d''&f'\end{array}\right) \) (y \( b\neq a') \), luego \( c'a''\equiv f'd'' \). Esto a su vez implica \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}b&c'&c''&a'\\ e&f'&f''&d''\end{array}\right) \), lo que nos da \( a''c''\equiv d''f'' \), que es lo que había que probar.

3) \( \rightarrow \) 1) Dados \( \widehat{abc} \) y \( \widehat{d{}ef} \), el teorema 32 nos permite construir puntos \( a',c',d',f' \) que cumplen las condiciones de la definición de congruencia de ángulos salvo quizá la última, \( a'c'\equiv d'f' \), pero esta condición se sigue de 3).

Las propiedades siguientes se demuestran sin dificultad:

  • \( a\neq b\land c\neq b\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{abc} \)

  • \( \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef}\rightarrow \widehat{d{}ef}\equiv \widehat{abc} \)

  • \( \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef}\land\widehat{d{}ef}\equiv \widehat{ghi}\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{ghi} \)

  • \( a\neq b\land c\neq b\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{cba} \)

Si dos ángulos son congruentes, sus suplementarios son congruentes, y dos ángulos opuestos por el vértice son iguales:

Teorema 82 a) \( \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef}\land a-b-a'\land a'\neq b\land d-e-d'\land d'\neq e\rightarrow \widehat{a'b'c}\equiv \widehat{d'ef} \)

b) \( a-b-a'\land a\neq b\neq a'\land c-b-c'\land c\neq b\neq c'\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{a'bc'} \)


Demostración: a) El teorema 32 nos da puntos \( d_0,f_0,d'_0 \) tales que \( d_0\sim_ed\land f_0\sim_ef\land d'_0\sim_ed' \) y \( ed_0\equiv bd\land df_0\equiv bc\land ed'_0\equiv ba' \), y entonces el teorema 81 implica que también \( ac\equiv d_0f_0 \), luego \( abc\equiv d_0df_0 \).

El axioma A5 implica que \( a'c\equiv d'_0f_0 \), y de nuevo el teorema 81 nos da que \( \widehat{a'b'c}\equiv \widehat{d'ef} \).

El apartado b) es consecuencia inmediata de a), pues dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios del mismo ángulo.

Probamos ahora un resultado básico sobre congruencias de ángulos (uno de los axiomas de Hilbert), y es que los ángulos se pueden trasladar, de forma única si se especifican condiciones adecuadas:

Teorema 83 \( \lnot Col(abc)\land \lnot Col(dep)\rightarrow \exists f(\widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef}\land f\sim_{ed}p) \) \( \land \forall f_1f_2(\widehat{abc}\equiv \widehat{de{}f_1}\land \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef_2}\land f_1\sim_{ed}p\land f_2\sim_{ed}p\rightarrow f_1\sim_ef_2) \)


Los datos son un ángulo \( \widehat{abc} \), una semirrecta \( \vec{ed} \) y un punto \( p \) que determina un semiplano de la recta \( \overline{ed} \), y lo que probamos es que existe una única semirrecta \( \vec{ef} \) contenida en el semiplano determinado por \( p \) tal que el ángulo \( \widehat{d{}ef} \) es congruente con el dado. Notemos que la unicidad de la semirrecta no significa la unicidad de \( f \), sino que si \( f_1 \) y \( f_2 \) cumplen lo exigido, entonces ambos determinan la misma semirrecta, es decir, \( f_1\sim_ef_2 \).

Demostración:  Por el teorema 32 existe un \( d' \) tal que \( d'\sim_ed \) y \( ed'\equiv bc \). El teorema 81 nos da un único \( f \) tal que \( f\sim_{ed}p \) y \( (abc)\equiv (d'ef) \), lo que en particular implica que \( \widehat{abd}\equiv \widehat{d{}ef} \).

Para probar la unicidad basta suponer que existe otro \( f_1 \) que cumple \( \widehat{d{}ef}\equiv \widehat{de{}f_1}\land f_1\sim_{ed}p \). Tomamos entonces \( f' \) tal que \( f'\sim_ef_1 \) y \( ef'\equiv ef \).

La congruencia de ángulos implica entonces que \( fd\equiv f'd' \), luego \( (abc)\equiv (d'ef)\equiv (d'ef') \). La unicidad de \( f \) implica entonces que \( f=f' \), luego \( f\sim_ef_1 \).

Ahora probamos que todos los ángulos rectos son congruentes y que todo ángulo congruente con un ángulo recto es recto:

Teorema 84 a)   \( Rabc\land a\neq b\neq c\land Ra'b'c'\land a'\neq b'\neq c'\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'} \)

b) \( Rabc\land \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\rightarrow Ra'b'c' \).

Demostración:  a) Podemos tomar \( a'' \) y \( b'' \) tales que \( a'\sim_{b'}a'' \), \( c'\sim_{b'c''} \), \( a''b'\equiv ab \), \( c''b'\equiv cb \). Entonces \( Rabc\land Ra''b'c'' \) y son dos triángulos rectángulos con catetos iguales, luego el  teorema 79 implica que \( ac\equiv a''c'' \), lo que a su vez implica que \(  \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'} \).

b) Tomamos \( a'' \) y \( c'' \) igual que antes. Ahora es la congruencia de los ángulos la que nos da que \( ac\equiv a''c'' \), luego \( abc\equiv a''b'c'' \), luego el teorema 56 implica que \( Ra''b'c'' \), y por el teorema 53 también \( Ra'b'c' \).

Añado un teorema que me había dejado: el teorema 60 prueba que por un punto de una recta en un plano dado pasa una perpendicular. Ahora podemos probar que es única. En el teorema siguiente \( P \) representa un plano:

Teorema 84 bis  \( x\in R\land R\subset P\rightarrow \exists ! S(S\perp R\land x\in S\land S\subset P) \)

Demostración: Sea \( c\in P\setminus R \). Por el teorema 60 existen puntos \( p,t \) tales que \( \overline{px\perp R}\land t\in R\land c-t-p \). Como \( c, t\in P \), se cumple que\( \overline{ct}\subset P \), luego \( p\in P \), luego \( S=\overline{px}\subset P \), y obviamente \( S\perp R \).

Si \( S'=\overline{xp'} \) cumple lo mismo, podemos suponer que \( p'\sim_xp \) y, fijado \( y\in R \), \( y\neq x \), tenemos que \( Ryxp\land Ryxp' \), luego \( \widehat{yxp}\equiv \widehat{yxp'} \), por el teorema anterior, luego el teorema 83 nos da que \( p\sim_xp' \), luego \( S=S' \).

Ahora es fácil probar que un ángulo es recto si y sólo si es congruente con su suplementario. Esto sirve como definición de ángulo recto cuando se cuenta de antemano con el concepto de congruencia de ángulos.

Teorema 85  \( c-b-d\land c\neq b\neq d\land a\neq b\rightarrow (Rabc\leftrightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{abd}) \)

Demostración: Sea \( c'=S_bc \). Ambos miembros equivalen a que \( ac'\equiv ac \).

Dejamos al lector la prueba de que los ángulos nulos son todos congruentes entre sí, e igualmente con los ángulos llanos:

Teorema 86  a) \( a\sim_bc\rightarrow (\widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\leftrightarrow a'\sim_{b'}c') \)

b) \( a-b-c\land a\neq b\neq c\rightarrow ((\widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\leftrightarrow a'-b'-c'\land a'\neq b'\neq c') \)

(Se sigue del teorema 15.)

13 Noviembre, 2014, 05:33 pm
Respuesta #21

Carlos Ivorra

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Demuestro aquí un último teorema sobre congruencia de ángulos que no me cabía en el mensaje anterior porque el número de figuras por mensaje es limitado.

Teorema 87  \( ((a-\overline{bp}-c\land a'-\overline{b'c'}-c)\lor (a\sim_{bp}c\land a'\sim_{b'p'}c')) \) \( \land \widehat{abp}\equiv\widehat{a'b'p'}\land \widehat{pbc}\equiv \widehat{p'b'c'}\rightarrow \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'} \)


Demostración: Distingamos los dos casos que aparecen en la hipótesis. Supongamos en primer lugar que \( a-\overline{bp}-c\land a'-\overline{b'p'}-c' \). Por definición  de separación de puntos por rectas existe \( d \) tal que \( a-d-c\land Col(bpd) \).


Observemos que en la situación de la figura el punto \( d \) cumple \( d\sim_bp \), pero esto no es necesariamete cierto en general. Puede ocurrir \( d=b \) si el ángulo \( \widehat{abc} \) es llano, o también \( d-b-p \).

Sea \( a'' \) tal que \( a''\sim_{b'}a'\land b'a''\equiv ba \). Si \( d\neq p \) el teorema 32 nos da un punto \( d'' \) tal que \( Col(b'p'd'')\land (d''\sim_{b'}p'\leftrightarrow d\sim_bp)\land b'd''\equiv bd \), es decir, tomamos \( d'' \) al mismo lado que \( p' \) respecto de \( b' \) o en el lado opuesto según la situación de \( d \) respecto de \( p \). Esto se cumple también tomando \( d''=b' \) si \( d=b \).

A su vez tomamos un punto \( c'' \) tal que \( a''-d''-c''\land d''c''\equiv dc \).

Si \( d\neq b \) entonces \( \widehat{abp}\equiv \widehat{a'b'p'} \) implica que \( ad\equiv a''d'' \) (y lo mismo vale trivialmente si \( d\neq b \), pues entonces \( b'=d'' \) y se reduce a \( ab\equiv a''b' \)).

Por lo tanto tenemos \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&d&c&b\\ a''&d''&c''&b'\end{array}\right) \), luego \( bc\equiv b'c'' \).

Ahora tenemos que \( (cbd)\equiv (c''b'd'') \), luego, si \( b\neq d \) concluimos que \( \widehat{cbd}\equiv \widehat{c''b'd''} \), y esto implica que \( \widehat{pbc}\equiv \widehat{p'b'c''} \), porque estos ángulos son iguales a los anteriores o bien son sus suplementarios (y entonces usamos el teorema 82), según que \( d \) esté al mismo lado que \( p \) respecto de \( b \) o en el opuesto. Si \( b=d \) llegamos a la misma conclusión porque \( \widehat{pbc} \) es suplementario de \( \widehat{pba} \) y \( \widehat{p'b'c''} \) es el suplementario de \( \widehat{p'b'a'} \).

Por otro lado tenemos que \( \widehat{pbc}\equiv \widehat{p'b'c''} \), y \( c' \) y \( c'' \) están ambos separados de \( a \) por \( b'p' \), luego \( c'\sim_{p'b'}c'' \). El teorema 83 implica que \( c'\sim_{b'}c'' \).

Por último, tenemos \( (abc)\equiv (a''b'c'') \), luego \( \widehat{abc}\equiv \widehat{a''b'c''}\equiv \widehat{a'b'c'} \).

Ahora suponemos el segundo caso del enunciado, es decir, que \( a\sim_{bp}c\land a'\sim_{b'c'}c' \).


Entonces tomamos puntos \( d-b-a\land d\neq b \), \( d'-b'-a'\land d'\neq b' \). Así, como \( \widehat{abp}\equiv \widehat{a'b'p'} \), también \( \widehat{dbp}\equiv \widehat{d'b'p'} \) (porque son ángulos suplementarios de los anteriores), pero ahora \( d-\overline{bp}-c\land d'-\overline{b'p'}-c' \), por lo que podemos aplicar el caso ya probado y concluir que \( \widehat{dbc}\equiv \widehat{d'b'c'} \), y pasando de nuevo a los ángulos suplementarios \( \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'} \).

13 Noviembre, 2014, 09:30 pm
Respuesta #22

Carlos Ivorra

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Dedicamos este mensaje a definir y demostrar las propiedades básicas de la ordenación de ángulos. Empezamos definiendo un concepto auxiliar:

Diremos que un punto \( p \) (o que la semirrecta \( \vec{bp} \)) está en el ángulo \( \widehat{abc} \) si

\( p \,E\, \widehat{abc}\leftrightarrow a\neq b\neq c\land p\neq b\land \exists x(a-x-c\land (x=b\lor x\sim_bp)) \)

Si se cumple esto con \( x\sim_bp \) la situación es la que muestra la figura de la izquierda:


Si \( x=b \) entonces se cumple \( a-b-c \), es decir, el ángulo es llano, y para ángulos llanos la definición la cumple cualquier \( p\neq b \).

Es obvio que la definición es simétrica en \( a \) y \( c \), de modo que \( p\,E\,\widehat{abc}\leftrightarrow p \,E\,\widehat{cba} \). Más en general, esta propiedad no se modifica si cambiamos cada punto por otro de la misma semirrecta de origen en \( b \):

Teorema 88  \( p \,E\, \widehat{abc}\land a'\sim_ba\land c'\sim_bc\land p'\sim_bp\rightarrow p' \,E\, \widehat{a'bc'} \)

Demostración:  Si \( a-b-c \), entonces también \( a'-b-c' \), y el resultado es trivial, pues la conclusión se cumple para todo \( p\neq b \). Supongamos, pues, que el ángulo no es llano, de modo que existe un \( x \) tal que \( b-p-x\land c-p-a \).

Aplicando A7 o el teorema 66 (me acabo de dar cuenta de que hay dos teoremas 66, y eso no tiene arreglo  >:( en este caso es el primero de los dos) según si \( b-a-a' \) o \( b-a'-a \), obtenemos un punto \( x' \) tal que \( a'-x'-c \) y \( b-x-x' \), luego \( b-c'-p \).

Por lo tanto \( p \,E\, \widehat{a'bc} \), luego \( p \,E\, \widehat{cba'} \), luego aplicando de nuevo lo que acabamos de probar \( p \,E\, \widehat{c'ba'} \), luego \( p \,E\, \widehat{a'bc'} \), y es trivial comprobar a partir de la definición que entonces  \( p' \,E\, \widehat{a'bc'} \).

Vamos a necesitar un resultado elemental sobre congruencias:

Teorema 89  \( (abc)\equiv (a'b'c')\land Col(acd)\rightarrow \exists d'(abcd)\equiv (a'b'c'd') \)

La última congruencia significa que cada par de puntos de la izquierda determina un segmento congruente con el correspondiente a los puntos de la derecha.

Demostración: Si \( a\neq c \), el teorema 81 nos da un punto \( d' \) tal que \( (acd)\equiv (a'c'd') \), y entonces se cumple \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}a&c&d&b\\ a'&c'&d'&b'\end{array}\right) \), luego \( bd\equiv b'd' \), luego \( (abcd)\equiv(a'b'c'd') \).

Si \( a=c \), entonces \( a'=c' \) y la existencia de \( d' \) la proporciona el teorema 19 o el teorema 81, según si \( a,b,d \) son colineales o no.

Ahora ya podemos definir la relación de orden entre ángulos:

\( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\leftrightarrow a\neq b\neq c\land d\neq e\neq f\land \exists p(p \,E\, \widehat{d{}ef}\land \widehat{abc}\equiv \widehat{dep}) \)

Observemos en primer lugar que esta relación se cumple trivialmente en el caso de ángulos nulos y llanos, en el sentido de que todo ángulo nulo es menor o igual que cualquier otro y todo ángulo llano es mayor o igual que cualquier otro:

Teorema 90  a)  \( a\sim_bc\land d\neq e\neq f\rightarrow \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef} \)

b)  \( a\neq b\neq c\land d-e-f\rightarrow \widehat{abc}\leq\widehat{d{}ef} \)

Demostración:  a) Trivialmente \( d \,E\, \widehat{d{}ef} \) y \( \widehat{ded}\equiv \widehat{abc} \), porque todos los ángulos nulos son congruentes (teorema 86). Esto prueba la desigualdad.

b) Podemos suponer que \( \widehat{abc} \) no es nulo, por la parte ya probada.

Por el teorema 83 (o trivialmente si el ángulo \( \widehat{abc} \) es llano) existe \( p \) tal que \( \widehat{abc}\equiv \widehat{dep} \), y trivialmente \( p \,E\, \widehat{d{}ef} \), luego \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef} \).

Veamos una caracterización de la definición del orden entre ángulos:

Teorema 91  \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\leftrightarrow \exists q(c \,E\, \widehat{abq}\land \widehat{abq}\equiv \widehat{d{}ef}) \)

Demostración:  Supongamos que \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef} \), con lo que existe un punto \( p \,E\, \widehat{d{}ef} \) tal que \( \widehat{abc}\equiv \widehat{dep} \).

Si \( \widehat{d{}ef} \) es llano el resultado es trivial, pues basta tomar \( q=S_ba \) (y trivialmente \( c \,E\,\widehat{abq} \)).

En caso contrario existe \( x\sim_ep \) tal que \( d-x-f \)

Tomamos \( a'\sim_ba\land ba'\equiv ed \) y \( c'\sim_bc\land bc'\equiv ex \). La congruencia \( \widehat{abc}\equiv \widehat{dep} \) implica entonces que \( c'd'\equiv xd \), luego \( (a'bc')\equiv (dex) \). El teorema 89 nos da un \( q \) tal que \( (a'bc'q)\equiv (dexf) \), luego \( a'-c'-q \) (por el teorema 15) y \( \widehat{abq}\equiv \widehat{d{ef}} \). Como \( c'\sim_bc \), concluimos que \( c\,E\,\widehat{abq} \).

Veamos ahora el recíproco:

Si \( \widehat{d{}ef} \) es llano la conclusión es trivial por el teorema anterior. Supongamos que no lo es, con lo que tampoco puede serlo \( \widehat{abq} \), luego existe \( x\sim_bc \) tal que \( q-x-a \).

Tomamos \( d'\sim_ef\land ed'\equiv ba \) y \( f'\sim_ef\land ef'\equiv bq \). De este modo, la congruencia \( \widehat{abq}\equiv \widehat{d{}ef} \) implica que \( qa\equiv f'd' \), luego \( (abq)\equiv(d'ef') \). Por el teorema 89 existe un punto \( p \) tal que \( (abqx)\equiv (d'ef'p) \). En particular \( f'-p-d' \), luego \( p\,E\,\widehat{d{}ef} \) y \( \widehat{dep}\equiv \widehat{abc} \), luego \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef} \).

Las propiedades siguientes se demuestran sin dificultad:

  • \( \widehat{abc}\leq\widehat{d{}ef}\land \widehat{abc}\equiv\widehat{a'b'c'}\land \widehat{d{}ef}\equiv\widehat{d'e'f'}\rightarrow \widehat{a'b'c'}\equiv\widehat{d'e'f'} \)

  • \( a\neq b\neq c\rightarrow \widehat{abc}\leq \widehat{abc} \)

  • \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\land \widehat{d{}ef}\leq\widehat{abc}\rightarrow \widehat{abc}\equiv\widehat{d{}ef} \)

  • \( \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\land \widehat{de{}f}\leq \widehat{ghi}\rightarrow \widehat{abc}\leq \widehat{ghi} \)

Veamos, por ejemplo, la prueba de la antisimetría (salvo congruencia):

Si los dos ángulos son llanos, sabemos que son congruentes, así que podemos suponer que uno de ellos no lo es. No perdemos generalidad si suponemos que \( \widehat{d{}ef} \) no es llano. Sea \( p\,E\,\widehat{d{}ef} \) tal que \( \widehat{ped}\equiv\widehat{abc} \). Sea \( x\sim_ep \) tal que \( f-x-d \). Entonces \( \widehat{de{}f}\leq\widehat{dex} \), luego existe un \( q\,E\,\widehat{dex} \) tal que \( \widehat{de{}f}\equiv \widehat{deq} \). (Notemos que no puede ser \( x-e-d \), pues entonces \( f-e-d \), en contra de lo supuesto).


Sea \( x'\sim_eq\land x-x'-d' \), con lo que \( \widehat{dex'}\equiv \widehat{de{}f} \). Tomamos \( f'\sim_ex' \) tal que \( ef'\equiv df \). Entonces \( (edf)\equiv (edf') \) y \( f'\sim_{ed}x'\sim_{ed}f \) (por el teorema 68), luego el teorema 81 implica que \( f=f' \), de donde \( f=x' \) y \( x=x' \), luego \( \vec{ep}=\vec{ef} \), luego \( \widehat{abc}\equiv \widehat{dep}\equiv \widehat{d{}ef} \).

La prueba de la propiedad de conexión es un poco menos obvia:

Teorema 92 \( a\neq b\neq c\land d\neq e\ne f\rightarrow \widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\lor \widehat{d{}ef}\leq \widehat{abc} \)

Demostración:  Podemos suponer que los ángulos no son nulos ni llanos, pues en tales casos la conclusión es obvia.

Por el teorema 83 existe un punto \( c' \) tal que \( c'\sim _{ba}c\land \widehat{de{}f}\equiv \widehat{abc'} \).

En particular \( c\in P(abc) \), luego, por la definición de plano, tenemos tres posibilidades:

1) \( c'\in \overline{bc} \), en cuyo caso \( \widehat{abc}\equiv\widehat{abc'}\widehat{d{}ef} \).

2) \( c'-\overline{bc}-a \), en cuyo caso existe un punto \( x\in {\overline bc} \) tal que \( c'-x-a \), luego \( c\,E\,\widehat{abc'} \), de donde \( \widehat{abc}\leq \widehat{abc'}\equiv \widehat{d{}ef} \).

3) \( c'\sim_{bc}a \), en cuyo caso, como también \( c'\sim_{ba}c \), el teorema 75 nos da que \( c-\overline{bc'}-a \) y concluimos como en el caso anterior, intercambiando los papeles de \( c \) y \( c' \).

Para terminar demostramos que al pasar a ángulos suplementarios se invierte la relación de orden:

Teorema 93  \( a-b-a'\land a\neq b\neq a'\land d-e-d'\land d\neq e\neq d'\rightarrow \) \( (\widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef}\leftrightarrow \widehat{d'ef}\leq \widehat{a'bc}) \)

Demostración: Observemos que en realidad basta probar una implicación. Supongamos que  \( (\widehat{abc}\leq \widehat{d{}ef} \). Podemos suponer que \(  \widehat{d{}ef} \) no es llano, pues en tal caso su suplementario es nulo y la conclusión es trivial.

Sea \( p\,E\,\widehat{d{}ef} \) tal que \( \widehat{dep}\equiv \widehat{abc} \). Entonces \( \widehat{d'ep}\equiv \widehat{a'bc} \). Sea \( x\sim_e p\land f-x-d \).


Por el axioma A7 existe un punto \( y \) tal que \( e-y-f\land d-y-x \). Como \( y\sim_ef \) tenemos que \( f\,E\,\widehat{d'ep} \), luego \( \widehat{d'ef}\leq \widehat{d'ep}\equiv \widehat{a'bc} \).

Ahora podemos definir los ángulos agudos y obtusos:

\( Ag(\widehat{abc})\leftrightarrow a\neq b\neq c\land \exists d{}ef(Rd{}ef\land \widehat{abc}\leq\widehat{d{}ef})\land \lnot \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef} \)

\( Ob(\widehat{abc})\leftrightarrow a\neq b\neq c\land \exists d{}ef(Rd{}ef\land \widehat{d{}ef}\leq\widehat{abc})\land \lnot \widehat{abc}\equiv \widehat{d{}ef} \)

15 Noviembre, 2014, 01:03 am
Respuesta #23

Carlos Ivorra

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Ya estamos en condiciones de demostrar los resultados básicos sobre triángulos. Empezamos demostrando que un ángulo interno de un triángulo es menor que el ángulo externo de otro cualquiera de sus vértices. En general, cuando digamos que un segmento o un ángulo es menor que otro habrá que entenderlo como que es menor o igual, pero no congruente.

Teorema 94  \( \lnot Col(abc)\land b-a-d\land d\neq a\rightarrow \widehat{acb}<\widehat{cad}\land \widehat{abc}<\widehat{cad} \)


(Los dós ángulos internos señalados en la figura de la izquierda son menores que el ángulo externo señalado también.)

Demostración:  Basta probar que \( \widehat{acb<\widehat{cad}} \), pues invirtiendo los papeles de \( b \) y \( c \) obtenemos que \( \widehat{acb} \) es menor que el ángulo opuesto por el vértice a \( \widehat{cad} \), que sabemos que es congruente con éste.

Sea \( m=M(ac) \) y \( p=S_mb \). Entonces, aplicando \( S_m \) obtenemos que  \( (acb)\equiv (cap) \), luego \( \widehat{acb}\equiv \widehat{cap} \). Por el axioma A7 existe un punto \( x \) tal que \( m-x-d\land a-x-p \). Entonces \( p\,E\,\widehat{cad} \), luego \( \widehat{acb}\leq \widehat{cad} \).

Falta probar que los ángulos no son iguales. Para ello observamos que \( p\sim_{ac}d \), pues ambos están separados de \( b \) por la recta.

Si fuera \( \widehat{acb}\equiv \widehat{cad} \), también tendríamos \( \widehat{cap}\equiv \widehat{cad} \), y el teorema 83 implicaría que \( p_\sim ad \), en particular que \( p\in \line{ad} \), pero eso no puede ser (entonces \( m=a \), luego \( c=a \)).

Otro hecho obvio es que un triángulo tiene a lo sumo un ángulo recto u obtuso:

Teorema 95  \( \lnot Col(abc)\land (Rbac\lor Ob(\widehat{cad})\rightarrow Ag(\widehat{abc})\land Ag(\widehat{acb}) \)

Demostración: Si \( d \) es como en el teorema anterior, entonces \( \widehat{cad} \) es recto o agudo, por el teorema 93, luego los otros dos ángulos, que son menores, son agudos.

Un triángulo con dos lados iguales tiene dos ángulos iguales; un ángulo de un triángulo es menor que otro si y sólo si su lado opuesto es menor que el del otro:

Teorema 96  a) \( \lnot Col(abc)\rightarrow (ab\equiv ac\leftrightarrow \widehat{acb}\equiv \widehat{abc}) \)

b) \( \lnot Col(abc)\rightarrow (ab<ac\leftrightarrow \widehat{acb}<\widehat{abc}) \)

Demostración: La implicación \( ab\equiv ac\rightarrow \widehat{acb}\equiv \widehat{abc} \) se sigue inmediatamente de las propiedades de la congruencia de ángulos.

Veamos \( ab<ac\rightarrow \widehat{acb}<\widehat{abc} \).

Por la definición de orden entre segmentos existe un punto \( c' \) tal que \( a-c'-c\land ac'\equiv ab \). Como la desigualdad es estricta \( c\neq c' \). Entonces \( c'\,E\,\widehat{abc} \), luego \( \widehat{acb}<\widehat{ac'b}\equiv \widehat{abc'}\leq \widehat{abc} \), donde hemos usado el teorema anterior, la implicación ya probada y la definición del orden entre ángulos.

Claramente entonces \( ab\leq ac\rightarrow \widehat{acb}\leq \widehat{abc} \), luego \( \widehat{abc}< \widehat{acb}\rightarrow ac<ab \), que es la implicación contraria con otras letras.

Sólo falta probar que \( \widehat{acb}\equiv \widehat{abc}\rightarrow ab\equiv ac \), pero si \( \lnot ab\equiv ac \), entonces \( ab<ac\lor ac<ab \), luego, por la parte ya probada, \( \widehat{acb}<\widehat{abc}\lor \widehat{abc}<\widehat{acb} \), luego \( \lnot \widehat{acb}\equiv \widehat{abc} \).

Por ejemplo, si un triángulo tiene un ángulo recto u obtuso, por el teorema 95 es el mayor de los tres, luego su lado opuesto será también el mayor de los tres:

\( \lnot Col(abc)\land (Rbac\lor Ob(\widehat{bac})\rightarrow ab<bc\land ac<bc \)

El teorema siguiente recoge un par de hechos sobre triángulos rectángulos que necesitaremos más adelante:

Teorema 97 a) \( Racb\land \overline{ch}\perp\overline{ab}\land h\in \overline{ab}\rightarrow a-h-b\land a\neq h\neq b \)

b) \( R adc\land c\neq d\land d-a-b\land d\neq a\neq b\rightarrow \widehat{dbc}<\widehat{dac}\land ac<bc \)


Demostración: a) Se cumple que \( a\neq h\neq b \) porque si no el triángulo \( abc \) tendría dos ángulos rectos. Por la observación precedente (aplicada a los tres triángulos rectángulos de la figura de la izquierda) \( ah<ac<ab\land bh<bc<ab \), y el teorema 28 implica que \( a-h-b \).

b) \( \widehat{dbc}<\widehat{dac} \) porque \( \widehat{dbc}\equiv \widehat{abd} \) y este ángulo es un ángulo externo del triángulo \( abc \), luego basta aplicar el teorema 94.

Para probar que \( ac<bc \) basta ver que \( \widehat{abc}<\widehat{bac} \), pero el primer ángulo es agudo, pues es un ángulo de un triángulo rectángulo (distinto del ángulo recto), mientras que el segundo es obtuso, ya que su suplementario \( \widehat{dac} \) es agudo (por la misma razón).

Por último demostramos los teoremas de congruencia de triángulos. El más elemental es que si dos triángulos tienen sus lados iguales entonces tienen sus ángulos iguales:

Teorema LLL \( \lnot Col(abc)\land ab\equiv a'b'\lad ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c'\rightarrow  \) \( \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\land \widehat{bac}\equiv \widehat{b'a'c'}\land \widehat{acb}\equiv\widehat{a'c'b'} \)

Esto se sigue trivialmente de la definición de congruencia de ángulos. En general, se dice que dos triángulos son congruentes cuando son congruentes sus lados y sus ángulos (bajo una correspondencia adecuada), y lo que tenemos es que esto equivale en realidad a que lo sean sus lados, es decir, a que \( (abc)\equiv (a'b'c') \).

También es inmediato el siguiente:

Teorema LAL  \( \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\land ba\equiv b'a'\land bc\equiv b'c'\rightarrow  \) \( (abc)\equiv (a'b'c') \).

Demostración: Sólo falta la congruencia \( ac\equiv a'c' \), que se sigue inmediatamente de la congruencia de los ángulos.

Los tres teoremas que faltan ya no son triviales:

Teorema ALA \( \lnot Col(abc)\land \widehat{bac}\equiv \widehat{b'a'c'}\land \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\land ab\equiv a'b'\rightarrow (abc)\equiv (a'b'c') \)

Teorema AAL \( \lnot Col(abc)\land \widehat{bca}\equiv \widehat{b'c'a'}\land \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\land ab\equiv a'b'\rightarrow (abc)\equiv (a'b'c') \)


Demostración: Para probar ambos teoremas tomamos \( c''\sim_{b'}c' \) tal que \( b'c''\equiv bc \). Observemos que puede ser \( b'-c''-c' \), como muestra la figura, o también \( b'-c'-c'' \). La congruencia \( \widehat{abc}\equiv\widehat{a'b'c'} \) implica que \( ac\equiv a'c'' \), luego \( (abc)\equiv (a'b'c'') \) y basta probar que \( c'=c'' \).

Caso ALA: Tenemos que \( \widehat{b'a'c'}\equiv \widehat{bac}\equiv\widehat{b'a'c''} \) y \( c''\sim_{a'b'}c' \). El teorema 83 implica que \( c''\sim_{a'}c' \), pero entonces ambos están en las rectas \( \overline{b'c'} \) y en \( \overline{a'c'} \), luego \( c'=c'' \), como había que probar.

Caso AAL:  Tenemos \( \widehat{b'c'a'}\equiv \widehat{bca}\equiv \widehat{b'c''a'} \). Supongamos que \( c'\neq c'' \).

Si es \( b'-c''-c' \), como muestra la figura, entonces \( \widehat{b'c''a'} \) es un ángulo externo del triángulo \( c''c'a' \), luego debería ser mayor que \( \widehat{b'c'a'} \). Si es \( b'-c'-c'' \) tendría que darse la desigualdad opuesta (también estricta), luego en ambos casos tenemos una contradicción.

Veamos el último teorema de congruencia:

Teorema ALL  \( \widehat{abc}\equiv\widehat{a'b'c'}\land ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c'\land bc\leq ac \) \( \rightarrow (abc)\equiv(a'b'c') \)


Sea \( a''\sim_{b'}a' \) tal que \( b'a''\equiv ba \). Así la congruencia del ángulo implica que \( ac\equiv a''c' \) y tenemos \( (abc)\equiv (a''b'c'') \). Basta probar que \( a'=a'' \). Supongamos lo contrario.

Entonces \( c'a'\equiv ca\equiv c'a'' \). Puede ocurrir \( b'-a'-a'' \) (como muestra la figura) o bien \( b'-a''-a' \). Distingamos ambos casos:

Caso 1: \( b'-a'-a'' \). El teorema vale igualmente aunque los tres vértices sean colineales. Supongamos primero que \( \lnot Col(abc) \). Entonces \( \widehat{a'b'c'}<\widehat{a''a'c'} \), porque el segundo ángulo es un ángulo externo del triángulo \( a'b'c' \). El teorema 96 nos da que \( \widehat{a''a'c}\equiv \widehat{a'a''c'} \), porque forman parte de un triángulo isósceles. Por lo tanto

\( \widehat{a''b'c'}\equiv \widehat{a'b'c'}<\widehat{a''a'c'}\equiv \widehat{a'a''c'}\equiv \widehat{b'a''c'} \), luego el teorema 96 implica que \( a''c'<b'c' \), luego \( ac<bc \), en contradicción con la hipótesis.

En el caso en que \( Col(abc) \) se tiene que \( \widehat{cba} \) es nulo, luego \( \widehat{c'b'a'} \) también es nulo, luego \( Col(a'b'c') \), luego \( c'=Ma'a'' \) (teorema 48), luego \( a'-c'-a'' \), luego \( b0-a'-c' \), luego \( a'c'\leq b'c' \) y como \( b'\neq a' \) (está implícito en la definición de congruencia de ángulos) \( a'c'<b'c' \), luego \( ac<bc \), contradicción.

El caso 2, es decir, \( b'-a''-a' \) se razona análogamente, intercambiando los papeles de \( a' \) y \( a'' \).

16 Noviembre, 2014, 04:05 pm
Respuesta #24

Carlos Ivorra

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El axioma A8 afirma que existen tres puntos no colineales, lo que significa que el espacio tiene al menos dos dimensiones. Ningún otro axioma afirma nada sobre la dimensión del espacio, de modo que toda la geometría que hemos desarrollado hasta aquí es válida para espacios de 2, 3, 4, o 156 dimensiones.

Si tomamos como axioma A9 que no existen cuatro puntos no coplanares, entonces podemos probar que existe un único plano, formado por todos los puntos del espacio, y así la dimensión del espacio queda determinada como exactamente igual a 2. Sin embargo, no es la única opción. También podemos sustituir A8 por un axioma más fuerte que afirme que existen cuatro puntos no coplanares e introducir un axioma A9 que afirme que la dimensión del espacio es exactamente igual a 3. Sin embargo, no está claro del todo cómo hacer esto último.

Vamos a introducir ahora algunos conceptos que nos permitirán enunciar axiomas que determinen que la dimensión del espacio es exactamente cualquier número natural mayor que 1 prefijado. Para ello empezamos expresando con una notación uniforme algunos de los conceptos y resultados que hemos definido o demostrado para puntos, rectas y planos. Diremos que unos puntos son afínmente independientes si cumplen:

\( I^0(a_0)\leftrightarrow a_0=a_0 \) (todo punto es afínmente independiente)

\( I^1(a_0,a_1)\leftrightarrow a_0\neq a_1 \) (todo par de puntos distintos son afínmente independientes)

\( I^2(a_0,a_1,a_2)\leftrightarrow \lnot Col(a_0a_1a_2) \) (tres puntos son afínmente independientes si no son colineales)

\( I^3(a_0, a_1, a_2, a_3)\leftrightarrow \lnot Cp(a_0a_1a_2a_3) \) (cuatro puntos son afínmente independientes si no son coplanares).

Llamaremos variedades afines de dimensión 0 a los puntos (o, más precisamente, a los conjuntos formados por un solo punto), variedades afines de dimensión 1 a las rectas y variedades afines de dimensión 2 a los planos. Más precisamente, tenemos definidas las fórmulas siguientes:

\( x\in A^0(a_0)\leftrightarrow x=a_0 \)  (\( x \) pertenece a la variedad afín de dimensión 0 generada por \( a_0 \) si y sólo si \( x=a_0 \) o, equivalentemente, la variedad afín generada por un punto es el conjunto formado por dicho punto).

\( x\in A^1(a_0a_1)\leftrightarrow I^1(a_0a_1)\land x\in \overline{a_0a_1} \) (\( x \) pertenece a la variedad afín generada por dos puntos distintos si y sólo si pertenece a la recta que pasa por ellos).

\( x\in A^2(a_0a_1a_2)\leftrightarrow I^2(a_0, a_1, a_2)\land x\in P(a_0a_1a_2) \) (\( x \) pertenece a la variedad afín generada por tres puntos no colineales si y sólo si pertenece al plano que pasa por ellos).

Con estas definiciones, podemos reformular así algunos hechos que conocemos:

A) Si \( I^n(a_0,\ldots, a_n) \), existe una única variedad afín de dimensión \( n \) que contiene a \( a_0, \ldots, a_n \), y ésta es concretamente \( A^n(a_0,\ldots, a_n) \). (Lo tenemos probado para \( n=1,2 \) y es trivialmente cierto para \( n=0 \).)

B) \( I^n(a_0,\ldots, a_n) \) si y sólo si no existen \( x_0,\ldots, x_k \) con \( k<n \) tales que \( I^k(x_0,\ldots, x_k)\land a_0,\ldots, a_n\in A^k(x_0,\ldots, x_k) \). (\( n+1 \) puntos son afínmente independientes si y sólo si no están contenidos en una variedad afín de dimensión menor que \( n \). Esto es cierto por definición para \( n=1,2,3 \).)

C) Para \( k\leq n \), si \( I^k(x_0,\ldots, x_k)\land I^n(a_0,\ldots, a_n)\land x_0, \dots, x_k\in A^n(a_0,\ldots, a_n) \), entonces \( A^k(x_0,\ldots, x_k)\subset A^n(a_0,\ldots, a_n) \). (Para \( k=0 \) es trivial, para \( k=n \) es lo mismo que A) y para \( k=1 \), \( n=2 \) se trata de que si un plano contiene dos puntos, entonces contiene la recta que pasa por ellos, cosa que tenemos demostrada.)

D) \( \exists a_0,\ldots, a_n\ I^n(a_0,\ldots, a_n) \) (Para \( n=0, 1 \) es trivial, para \( n=2 \) se trata de que existen tres puntos no colineales, lo cual es el axioma A8.)

En el próximo mensaje demostraremos que si tenemos definidas las variedades afines \( A^k(a_0,\ldots, a_n) \) para \( k\leq n \) de modo que se cumplan las cuatro propiedades anteriores, definimos \( I^{n+1} \) por la propiedad B) y suponemos que D) vale para \( n+1 \), es decir, que existen \( n+2 \) puntos afínmente independientes, entonces podemos definir una fórmula \( x\in A^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1}) \) de modo que se cumplan A) y C).

Pero antes vamos a extraer algunas consecuencias de las propiedades A), B), C), D):

  • La propiedad A) implica que \( A^n(a_0,\ldots, a_n) \) no depende de la ordenación de los puntos, pues es la única variedad afín que los contiene a todos, y esto no depende del orden.
  • La propiedad B) implica que \( I(a_0,\ldots, a_n) \) tampoco depende del orden de los puntos.

  • \( I^k(a_0,\ldots, a_k)\land a_{k+1}\notin A^k(a_0,\ldots, a_k)\rightarrow I^{k+1}(a_0, \ldots, a_{k+1}) \)

En efecto, si existiera una variedad afín \( A^r(x_0,\ldots, x_r) \) con \( r\leq k \) tal que \( a_0,\ldots, a_{k+1}\in A^r(x_0,\ldots, x_r) \), entonces \( r=k \) porque \( a_0,\ldots, a_k \) son afínmente independientes (aplicamos B), y \( A^k(x_0,\ldots, x_k)=A^k(a_0,\ldots, a_k) \) (por A), luego \( a_{k+1}\in A^k(a_0,\ldots, a_k) \), en contradicción con lo supuesto.

Observemos que si (según D) \( a_0,\ldots, a_n \) son puntos afínmente independientes y \( I(x_0,\ldots, x_k) \), con \( k<n \), entonces la variedad afín \( A^k(x_0,\ldots, x_k) \) no puede contener a todos los \( a_i \) (por B), luego siempre podemos tomar \( x_{k+1}=a_i \) para un \( i \) adecuado de modo que \( x_{k+1}\notin A^k(x_0,\ldots, x_k) \), luego \( I(x_0,\ldots, x_{k+1}) \).

En otras palabras: un conjunto de \( k+1 \) puntos afínmente independientes, con \( k<n \) siempre se puede extende hasta un conjunto de \( n+1 \) puntos afínmente independientes. Además los puntos añadidos siempre pueden sacarse de un conjunto prefijado de \( n+1 \) puntos afínmente independientes. En particular:

  • Para \( k<n \),   \( A^k(x_0,\ldots, x_k)\subset A^n(a_0,\ldots a_n)\rightarrow  \) \( \exists x_{k+1}\cdots x_n\in A^n(a_0,\ldots, a_n)\ A^n(a_0,\ldots, a_n)=A^n(x_0,\ldots, x_n) \)

  • \( I^{k+1}(a_0,\ldots, a_{k+1})\rightarrow I^k(a_0, \ldots, a_k) \)

El efecto,  esto equivale a que \( \lnot I^k(a_0, \ldots, a_k)\rightarrow \lnot I^{k+1}(a_0,\ldots, a_{k+1}) \). Si se cumple que \( a_0, \ldots, a_k \) son afínmente dependientes, existe una variedad afín \( A=A^r(x_0,\ldots, x_r) \) tal que \( a_0,\ldots, a_k\in A \), con \( r<k \). Si \( a_{k+1}\in A \) entonces \( \lnot I^{k+1}(a_0,\ldots, a_{k+1}) \), como queríamos probar, y en caso contrario \( I(x_0,\ldots, x_r, a_{k+1}) \) y \( A^r(x_0,\ldots, x_r)\subset A^{r+1}(x_0,\ldots, x_r, a_{k+1}) \) (por C), luego \( a_0,\ldots, a_{k+1}\in A^{r+1}(x_0,\ldots, x_r, a_{k+1}) \), con \( r+1<k+1 \), luego también \( \lnot I^{k+1}(a_0,\ldots, a_{k+1}) \).

De aquí se sigue que todo subconjunto de un conjunto afínmente independiente es afínmente independiente.

  • Si la intersección de dos variedades afines no es vacía, entonces es una variedad afín.

En efecto, Sean \( A \) y \( B \) variedades afines de dimensiones \( k\leq r \) respectivamente. Supongamos que existe un punto \( x_0\in A\cap B \).

Si es el único, entonces \( A\cap B=A^0(x_0) \), luego es una variedad afín.

Si existe \( x_1\in A\cap B \) distinto de \( x_0 \), entonces \( A^1(x_0,x_1)\subset A\cap B \) por la propiedad C). Si no se da la igualdad, entonces existe un \( x_2\in (A\cap B)\setminus A^1(x_0,x_1) \), luego \( I(x_0,x_1, x_2) \) y \( A^2(x_0,x_1,x_2)\subset A\cap B \) de nuevo por la propiedad C).

De este modo vamos obteniendo puntos \( x_0, x_1, \ldots \) y si no se ha dado la igualdad \( A^i(x_0,\ldots, x_i)=A\cap B \) para ningún \( i<k \), llegamos a que \( A^k(x_0,\ldots, x_k)\subset A\cap B \), pero ahora necesariamente \( A=A^k(x_0,\ldots, x_k) \) por la propiedad A), pues los dos miembros son variedades de dimensión \( k \) que contienen a \( x_0,\ldots, x_k \). Por lo tanto \( A\subset B \) y \( A\cap B=A \) es una variedad afín.

17 Noviembre, 2014, 02:10 am
Respuesta #25

Carlos Ivorra

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Ya tenemos determinado el objetivo de este mensaje: vamos a suponer que tenemos definidas las variedades afines hasta dimensión \( n \) (las tenemos definidas hasta dimensión \( n=2 \)) y veamos cómo definir las de dimensión \( n+1 \). Suponemos que hasta dimensión \( n \) se cumplen las propiedades A), B), C), D) enunciadas en el mensaje anterior (y, por tanto, todas las consecuencias que hemos extraído de ellas) y probaremos que también se cumplen para \( n+1 \) con la definición que daremos.

Definimos \( I^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1}) \) mediante la propiedad B), es decir, los puntos indicados son afínmente independientes si y sólo si no están contenidos en una variedad afín de dimensión \( \leq n \). De este modo, la propiedad B) se cumple por definición para \( n+1 \).

La propiedad D) no puede demostrarse, sino que tenemos que suponer que existen \( n+1 \) puntos afínmente independientes. Esto no puede demostrarse (ni refutarse) a partir de los axiomas que hemos dado hasta ahora. Por ejemplo, partiendo del caso \( n=2 \), para definir variedades tridimensionales tenemos que suponer que existen cuatro puntos no coplanares.

Así pues, lo que falta por hacer es definir las variedades afines \( n+1 \)-dimensionales y demostrar que cumplen las propiedades A) y C). El proceso es una generalización del proceso por el que hemos definido los planos.

En lo sucesivo sobrentenderemos que \( A \) representa una variedad afín \( n \)-dimensional, con \( n\geq 2 \), es decir, un conjunto de la forma \( A^n(a_0,\ldots, a_n) \), donde es irrelevante cuáles son los puntos que la generan.

Definimos \( a-A-b\leftrightarrow a\notin A\land b\notin A\land \exists t\in A\ a-t-b \).

Notemos que esta definición coincide en los casos \( n=0,1 \) con la que ya tenemos para puntos y rectas.

Trivialmente \( a-A-b\rightarrow b-A-a \).

El teorema siguiente generaliza al teorema 65:

Teorema 98  \( a-A-c\land r\in A\rightarrow \forall b(a\sim_r b\rightarrow b-A-c) \)

Demostración: Por hipótesis existe \( t\in A \) tal que \( a-t-c \). Si \( t\neq r \), llamamos \( R=\overline{rt} \) y en caso contrario tomamos cualquier recta \( R\subset A \) tal que \( r\in R \) (aquí usamos la propiedad B).


Por definición \( a-R-c\land a\sim_Rc \), y por el teorema 65 \( b-R-c \), luego existe un \( x\in R \) tal que \( b-x-c \), luego \( b-A-c \).

Definimos: \( a\sim_Ab\leftrightarrow \exists c(a-A-c\land b-A-c) \).

Nuevamente, esta definición generaliza a la que ya teníamos dada para \( n=0,1 \). El teorema siguiente generaliza al teorema 66 (al segundo de los dos  ::) ):

Teorema 99  \( a-A-c\rightarrow (b-A-c\leftrightarrow a\sim_Ab) \)

Demostración: La implicación \( \rightarrow \) es inmediata por definición. Supongamos que \( a-A-c\land a\sim_Ab \). Lo segundo significa que existen puntos \( d \) y \( x, y\in A \) tales que \( d-x-a\land d-y-b \).

Sea \( R\subset A \) tal que \( x,y\in R \) (tomamos \( R=\overline{xy} \) si \( x\neq y \) o cualquier recta que contenga a \( x \) si \( x=y \)).


A partir de aquí la situación es exactamente la misma del teorema 66. Como allí se prueba que existe un punto \( z \) tal que \( x-z-b\land y-z-a\land z\notin R \). Esto nos da que \( a\sim_y z\land z\sim_xb\land a-A-c \). El teorema anterior nos da \( z-A-c \) y en una segunda aplicación \( b-A-c \).

Las propiedades siguientes son todas elementales, y se prueban igual que en el caso \( n=1 \):

  • \( a-A-b\rightarrow \lnot a\sim_Ab \)

  • \( a\notin A\rightarrow \exists c\ a-A-c \)

  • \( a\sim_Ab\rightarrow b\sim_Aa \)

  • \( a\sim_Ab\land b\sim_Ac\rightarrow a\sim_Ac \)

El teorema siguiente generaliza al teorema 67:

Teorema 100  \( a\sim_Ab\land a-c-b\rightarrow c\sim_Aa \)

La prueba se reduce a la del teorema 67, pues obtenemos dos puntos \( x,y\in A \), tomamos una recta \( R\subset A \) que contenga a \( x,y \) y a partir de ahí vale el razonamiento bidimensional, como en los teoremas precedentes:


El teorema siguiente es el análogo al teorema 68 y la prueba no se reduce a la de éste, sino que se demuestra exactamente igual usando las propiedades análogas a las que se usan en la prueba de dicho teorema que ya hemos demostrado:

Teorema 101  a)  \( p\in A\land Col(abp)\rightarrow (a-A-b\leftrightarrow a-p-b\land a\notin A\land b\notin A) \)

b)  \( p\in A\land Col(abp)\rightarrow (a\sim_ab\leftrightarrow a\sim_pb\land a\notin A) \)


Finalmente definimos (para \( r\notin A \)):

\( A^{n+1}(A,r)=\{x\mid x\sim_Ar\lor x\in A\lor x-A-r\} \)

\( SA^{n+1}(A,r)=\{x\mid x\sim_Ar\} \).

Más explícitamente, la variedad afín generada por \( n+2 \) puntos afínmente independientes es, por definición:

\( A^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1})=A^{n+1}(A^n(a_0,\ldots, a_n),a_{n+1}) \).

El teorema siguiente es análogo al teorema 69, y su demostración es formalmente idéntica:

Teorema 102  \( r-A-r'\rightarrow A^{n+1}(A,r)=SA^{n+1}(A,r)\cup A\cup SA^{n+1}(A,r') \)

Tampoco ofrece ninguna dificultad adaptar la prueba del teorema 70 para probar:

Teorema 103  \( r\notin A\land s\notin A\land s\in A^{n+1}(A,r)\rightarrow A^{n+1}(A,r)=A^{n+1}(A,s) \)

La generalización del teorema 71 es menos obvia:

Teorema 104  Si \( A \) es una variedad afín de dimensión \( n \) y \( C \) es una variedad afín de dimensión \( k<n \), \( C\subset A \) y \( r\notin A \), entonces \( A^{k+1}(C,r)\subset A^{n+1}(A,r) \).

Demostración:  Si \( x\in SA^{k+1}(C,r) \), entonces existen puntos \( x, y \) tales que \( y-C-r\land y-C-x \), luego existen puntos \( p,q\in C\subset A \) tales que \( y-p-r\land y-q-x \), luego \( y-A-r\land y-A-x \), luego \( r\sim_Ax \), luego \( x\in SA^{n+1}(A,r) \).

Sea \( r'-C-r \) de modo que \( r'\notin A \), pues en otro caso existiría un \( c\in C \) tal que \( r'-c-r \), con lo que \( r\in \overline{r'c}\subset A \), en contra de lo supuesto.

Aplicando a \( r' \) lo que hemos probado para \( r \) resulta que \( SA^{k+1}(C,r')\subset SA^{n+1}(A,r') \). Por lo tanto

\( A^{k+1}(C,r)=SA^{k+1}(C,r)\cup C\cup SA^{k+1}(C,r')\subset  \) \( SA^{n+1}(A,r)\cup A\cup SA^{n+1}(A,r')=A^{n+1}(A,r) \).


Supongamos ahora que \( A \) y \( B \) son dos variedades afines de dimensión \( n\geq 2 \) tales que su intersección \( C=A\cap B \) es una variedad afín de dimensión \( n-1 \), digamos que \( C=A^{n-1}(x_0,\ldots, x_{n-1}) \).

Si \( r,r'\in B\setminus C \), entonces \( B=A^n(C,r)=A^n(C,r') \). En efecto, tenemos que \( B \) y \( A^n(C,r) \) son variedades afines de dimensión \( n \) y ambas contienen a \( x_0,\ldots, x_{n-1},r \), que son afínmente independientes porque \( x_0,\ldots, x_{n-1} \) lo son por hipótesis y \( r\notin C \). Por la propiedad A) se tiene la igualdad  \( B=A^n(C,r) \), e igualmente con \( r' \).

Por el teorema anterior, \( r'\in A^n(C;r)\subset A^{n+1}(A,r) \), luego \( A^{n+1}(A,r)=A^{n+1}(A,r') \), por el teorema 103.

Esto nos permite definir \( A^{n+1}(A,B)=A^{n+1}(A,r) \), para cualquier \( r\in B\setminus C \), pues acabamos de probar que la variedad \( A^{n+1}(A,r) \) no depende de la elección de \( r \).

Ahora podemos demostrar el análogo al teorema 72:

Teorema 105  Si \( A \) y \( B \) son variedades afines de dimensión \( n \) cuya intersección tiene dimensión \( n-1 \), entonces \( A\subset A^{n+1}(A,B)\land B\subset A^{n+1}(A,B)\land A^{n+1}(A,B)=A^{n+1}(B,A) \)

Demostración:  Sea \( C=A\cap B \), la inclusión \( A\subset A^{n+1}(A,B) \) es inmediata por la definición, y si \( b\in B \), entonces, o bien \( b\in A \), en cuyo caso \( b\in A^{n+1}(A,B) \) por la inclusión anterior, o bien \( b\in B\setminus A \), en cuyo caso \( b\in A^{n+1}(A,b)=A^{n+1}(A,B) \) por definición.

Por la simetría de las hipótesis basta probar que \( A^{n+1}(A,B)\subset A^{n+1}(B,A) \).

Pongamos que \( A^{n+1}(A,B)=A^{n+1}(A,r) \), con \( r\in B\setminus C \) y sea \( r'-C-r \). Notemos que \( r'\in B\setminus C \), pues existe \( c\in C\subset B \) tal que \( r'-c-r \), luego \( r'\in \overline{cr}\subset B \).

Sea \( s\in A^{n+1}(A,B) \). Si \( s\in A\lor s\in B \), entonces \( s\in A^{n+1}(B,A) \) por las inclusiones ya probadas, así que podemos suponer \( s\notin A\land s\notin B \).

En particular \( s\in SA^{n+1}(A,r)\lor s\in SA^{n+1}(A,r') \). De nuevo por simetría no perdemos generalidad si suponemos que \( s\in SA^{n+1}(A,r) \).

Entonces \( s\sim_Ar \), luego \( r'-A-s \), luego existe un \( t\in A \) tal que \( r'-t-s \).

No puede ser \( t\in B \), pues entonces \( t\in C \), luego \( t\neq r' \) y \( s\in \overline{r't}\subset B \), contradicción.

Así pues \( t\notin B \), luego \( r\neq r' \) (pues \( r'\in B \)) y podemos aplicar el teorema 104 con \( C?\{r'\}\subset B \), lo que nos da que \( \overline{r't}=A^1(r',t)\subset A^{n+1}(B,t) \), luego \( s\in\overline{r't}\subset A^{n+1}(B,t)= A^{n+1}(B,A) \), ya que \( t\in A\setminus B \).

Ya estamos en condiciones de probar que una variedad afín de dimensión \( n+1 \) no depende del orden de sus generadores. Probamos en primer lugar que podemos permutar dos de ellos:

Teorema 106  \( A^{n+1}(A^n(a_0,\ldots, a_{n-1},r'),r) = A^{n+1}(A^n(a_0,\ldots, a_{n-1},r),r') \)

Demostración: Sea \( C=A^{n-1}(a_0,\ldots, a_{n-1}) \), \( A=A^n(a_0,\ldots, a_{n-1},r') \), \( B=A^n(a_0,\ldots, a_{n-1},r) \).

Observemos que en la hipótesis está implícito que \( a_0, \ldots, a_{n-1}, r' \) son afínmente independientes y que \( r\notin A^n(a_0,\ldots, a_{n-1},r') \). Entonces, como \( C\subset A \), también \( r\notin C \), por lo que \( a_0,\ldots, a_{n-1},r \) son afínmente independientes, luego \( B \) está bien definida (estamos usando las propiedades demostradas en el mensaje anterior).

Por construcción \( C\subset A\cap B \), pero tiene que darse la igualdad, ya que si existiera un punto \( x\in (A\cap B)\setminus C \), entonces \( a_0,\ldots, a_{n-1},x \) serían afínmente independientes, y \( A^n(C,x)\subset A\cap B \), y las tres variedades tienen dimensión \( n \), luego, por la unicidad de la propiedad A), concluimos que \( A=A^n(C,x)=B \), luego \( r\in A \), en contra de lo supuesto.

Así pues, \( A\cap B=C \). En particular \( r'\notin B \), pues en caso contrario \( r'\in C \) y los generadores de \( A \) no serían afínmente independientes.

Por el teorema anterior \( A^{n+1}(A,r)=A^{n+1}(A,B)=A^{n+1}(B,A)=A^{n+1}(B,r') \).

Ahora ya sólo es cuestión de ir permutando:

Teorema 107  Si \( S \) es una variedad afín de dimensión \( n+1 \) y \( a_0,\ldots, a_{n+1}\in S \) son puntos afínmente independientes, entonces \( S=A^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1}) \)

Demostración:  En principio \( S=A^{n+1}(A,r) \), para cierta variedad afín \( A \) de dimensión \( n \) y cierto \( r\notin A \).

Digamos que \( A=A^n(x_0,\ldots, x_n) \). Si \( a_0\notin A \), entonces, por el teorema 103, tenemos que \( S=A^{n+1}(A,a_0) \), y por el teorema anterior \( S=A^{n+1}(x_0,\ldots, x_{n-1},a_0),x_n) \), luego podemos suponer que \( a_0\in A \). Como todo conjunto afínmente independiente se puede completar dentro de una variedad, podemos expresar \( A=A^n(a_0, x_1,\ldots, x_n) \) y si \( a_1\notin A \) podemos intercambiar \( a_1 \) con \( x_n \) mediante el teorema anterior para concluir que \( S=A^{n+1}(A^n(a_0,x_1,\ldots, x_{n-1},a_1),x_n) \), luego podemos suponer que \( a_0,a_1\in A \).

Repitiendo este razonamiento llegamos a que \( S=A^{n+1}(A^n(a_0,\ldots, a_n),r) \), y necesariamente \( a_{n+1}\notin A \), pues \( A \) no puede contener \( n+1 \) puntos afínmente independientes, luego el teorema 103 nos da que  \( S=A^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1}) \).

Con esto queda probado que las variedades de dimensión \( n+1 \) cumplen la propiedad A), y la propiedad C) se demuestra con la misma técnica del teorema anterior: si \( x_0,\ldots, x_k\in S \) son afínmente independientes, con \( k\leq n \) (el caso \( k=n+1 \) es el teorema anterior) entonces \( S=A^{n+1}(A,r) \), donde podemos suponer que \( x_0,\ldots, x_k\in A \), luego por la propiedad C) para dimensión \( n \) resulta que \( A^k(x_0,\ldots, x_k)\subset A\subset S \).

Con esto tenemos definido el concepto de variedad afín de dimensión \( n \) y el concepto de puntos afínmente independientes para cualquier dimensión y cualquier número de puntos (pero a partir de nuestros axiomas no podemos demostrar que existan variedades de dimensión mayor que \( 2 \), ni siquiera podemos probar que exista más de un plano). En el mensaje siguiente entraremos en esta cuestión.

17 Noviembre, 2014, 04:00 am
Respuesta #26

argentinator

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Hola Carlos.
Interrumpo, aunque puedes mover este mensaje a otra parte, si te afea la exposición.

Al principio de todo dijiste que ibas a exponer una teoría geométrica "consistente", ¿no?
Y toda tal teoría ha de tener un modelo.
Muchas veces has comentado que la geometría tridimensional tiene un modelo, que es la geometría intuitiva.

Por otra parte, ahora estás pasando por geometría de dimensión n.
¿Sigue teniendo esta teoría prueba de consistencia?
¿Cuál sería su "modelo"?


17 Noviembre, 2014, 08:29 am
Respuesta #27

Raúl Aparicio Bustillo

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Yo había oido de una axiomatización de primer orden de la geometría de Tarski, que no permite definir los números reales. ¿La de Hilbert si lo permite, pero imagino hace falta usar teoría de conjuntos en la axiomatización, ¿no? En esta de Tarski, ¿se puede demostrar que el número de puntos es infinito no numerable?

17 Noviembre, 2014, 12:55 pm
Respuesta #28

Carlos Ivorra

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Hola Carlos.
Interrumpo, aunque puedes mover este mensaje a otra parte, si te afea la exposición.

Bueno, "la exposición" no es más que lo que voy traduciendo (o adivinando) al vuelo del libro en alemán. Lo pongo aquí porque eso me fuerza a no dejar detalles sin clarificar y por si a alguien le interesa.

Al principio de todo dijiste que ibas a exponer una teoría geométrica "consistente", ¿no?
Y toda tal teoría ha de tener un modelo.
Muchas veces has comentado que la geometría tridimensional tiene un modelo, que es la geometría intuitiva.

Por otra parte, ahora estás pasando por geometría de dimensión n.
¿Sigue teniendo esta teoría prueba de consistencia?
¿Cuál sería su "modelo"?

Aquí hay muchas cosas que decir, aunque quiero advertir que todo lo que sé al respecto lo sé por algunas lecturas superficiales sobre el asunto. Precisamente, lo que intento es conocer todo esto con detalle, y el primer paso era conocer cómo se trabaja con esta axiomática, y eso es lo que estoy viendo ahora. Luego me ocuparé de las cuestiones lógicas. Así que igual algo de lo que digo no es exacto, pero más o menos es así:

En primer lugar, no hay una única geometría de Tarski, sino que está la geometría de Tarski bidimensional, la tridimesional, la cuatridimensional, etc. Se trata de una teoría axiomática distinta para cada dimensión, y se diferencian en los axiomas A8 y A9 (que aún no hemos discutido plenamente) el axioma A8 hasta ahora afirma la existencia de puntos no colineales, pero se puede sustituir por un A8\( ^n \) que afirme la existencia de \( n+1 \) puntos afínmente independientes, mientras que el A9\( ^n \) afirma que no existen \( n+2 \) puntos afínmente independientes, con lo que entre ambos afirman que el espacio es una variedad afín de dimensión exactamente \( n \).

Aunque no la hemos definido explícitamente, con lo expuesto hasta ahora ya tenemos todos los elementos necesarios para definir una relación de orden "natural" en cada recta (básicamente, el orden en una semirrecta de origen \( a \) viene dado por \( x\leq y\leftrightarrow ax\leq ay \), y pegando el orden de una semirrecta con el orden inverso de la opuesta tenemos un orden en la recta). Más adelante, cuando contemos con el axioma de las paralelas, que aún no he introducido (ya queda poco) será posible definir una suma y un producto sobre los puntos de cualquier recta, de modo que las rectas pasan a ser cuerpos ordenados, todos isomorfos entre sí.

Luego falta el axioma de continuidad. La versión de Hilbert de este axioma es esencialmente el hecho de que toda cortadura en el sentido de Dedekind tiene un punto en medio, lo cual no es expresable en la geometría de Tarski, porque es una teoría de primer orden, y no permite expresar la idea de "un subconjunto arbitrari de una recta". Podemos hablar de una recta arbitraria, o de un plano arbitrario, etc., porque decir "existe un plano tal que...", por ejemplo, equivale a decir "existen tres puntos no colineales tales que el plano que determinan cumple..." y así una afirmación sobre planos arbitrarios se reduce a una afirmación sobre puntos arbitrarios, pero no hay forma de reducir a puntos una afirmación sobre subconjuntos arbitrarios de una recta.

Por ello, el axioma de continuidad en la geometría de Tarski es un esquema axiomático, uno para cada par de fórmulas de la teoría, que afirma que si las dos fórmulas determinan una cortadura de Dedekind, entonces hay un punto en medio.

El axioma de segundo orden de Hilbert permite probar (en el contexto de la teoría de conjuntos) que las rectas son cuerpos isomorfos a \( \mathbb R \), con lo que el espacio n-dimensional es isomorfo a \( \mathbb R^n \) con los conceptos geométricos definidos de la forma usual.

En cambio, con el axioma de Hilbert, sin necesidad de teoría de conjuntos, desde dentro de la propia teoría axiomática de Tarski (de primer orden) es posible demostrar que las rectas son cuerpos realmente cerrados (real-closed, en inglés). Hay muchas caracterizaciones de este concepto, pero la idea básica es que un cuerpo ordenado es realmente cerrado si al añadirle una unidad imaginaria se vuelve algebraicamente cerrado. Así, en la teoría de conjuntos se demuestra que \( \mathbb R \) es realmente cerrado, pero también lo es el cuerpo (numerable) \( R \) de los números reales algebraicos sobre \( \mathbb Q \), que al añadirle una unidad imaginaria se convierte en la clausura algebraica de \( \mathbb Q \).

Desde el contexto de la teoría de conjuntos puede demostrarse que si \( K \) es cualquier cuerpo ordenado, entonces \( K^n \) es un modelo de los axiomas de \( T^n \) sin contar el de completitud, y que los modelos de \( T^n \) con el esquema axiomático de completitud son, salvo isomorfismo, los de la forma \( K^n \), donde \( K \) es un cuerpo ordenado realmente cerrado.

Ahora bien, sin necesidad de teoría de conjuntos, desde dentro de\( T^n \), se puede "introducir coordenadas", es decir, demostrar que cada punto del espacio tiene asignadas \( n \) coordenadas en una recta prefijada, y existe una teoría axiomática RC para los cuerpos realmente cerrados (que podríamos considerar como la geometría de Tarski unidimensional) y podemos probar que toda afirmación de \( T^n \) es equivalente a una afirmación de RC, en el sentido de que la primera es demostrable en \( T^n \) si y sólo si la segunda es demostrable en RC. La idea es que todas las afirmaciones de \( T^n \) son afirmaciones sobre puntos, y todas ellas pueden traducirse a afirmaciones sobre n-tuplas de puntos en RC.

Esto resuelve tu duda sobre la geometría de n dimensiones: la consistencia y la completitud de la geometría de n-dimensiones puede reducirse por medios puramente sintácticos (sin que intervengan modelos) a la consistencia y completitud de la geometría de una dimensión, es decir, la teoría de los cuerpos realmente cerrados. Por lo tanto, no hay ninguna diferencia esencial entre abordar el problema para dimensión 2, 3, 4 o 17. Al final el problema hay que abordarlo en dimensión 1.

Lo siguiente es que se demuestra que RC y, por lo tanto, cada teoría \( T^n \) es consistente, completa y decidible, es decir: que en ella no puede demostrarse una afirmación y su opuesta, que siempre puede demostrarse una de las dos, y que existe un algoritmo programable en un ordenador (sin necesidad de que sea inteligente  ;) ) que determina en un tiempo finito cuál de las dos se puede demostrar.

Los detalles sobre cómo se demuestra esto todavía no los conozco bien (todo llegará), y no sé hasta qué punto la teoría de modelos es esencial, o si la prueba es totalmente sintáctica (o al menos tiene una gran componente sintáctica que no depende de modelos).

Para terminar, observa que, en general, una afirmación es un teorema de una teoría de primer orden si y sólo si es verdadera en todos sus modelos, pero la completitud hace que una afirmación es demostrable en \( T^n \) si y sólo si es verdadera en uno cualquiera de sus modelos.

Yo había oido de una axiomatización de primer orden de la geometría de Tarski, que no permite definir los números reales. ¿La de Hilbert si lo permite, pero imagino hace falta usar teoría de conjuntos en la axiomatización, ¿no?

En efecto.

En esta de Tarski, ¿se puede demostrar que el número de puntos es infinito no numerable?

No es que no se pueda demostrar, es que ni siquiera se puede enunciar. En la geometría de Tarski no puedes definir los números naturales, luego mucho menos los conceptos de numerabilidad o no numerabilidad.

17 Noviembre, 2014, 01:56 pm
Respuesta #29

argentinator

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En la geometría de Tarski no puedes definir los números naturales, luego mucho menos los conceptos de numerabilidad o no numerabilidad.

No es de extrañar. Si no, no sería completa, por Teorema de Godel.  ;D

17 Noviembre, 2014, 01:59 pm
Respuesta #30

Carlos Ivorra

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En la geometría de Tarski no puedes definir los números naturales, luego mucho menos los conceptos de numerabilidad o no numerabilidad.

No es de extrañar. Si no, no sería completa, por Teorema de Godel.  ;D

Exacto, de hecho, ésa es precisamente una forma de demostrar que no hay modo posible de definir los números naturales en la teoría.

18 Noviembre, 2014, 11:43 pm
Respuesta #31

Carlos Ivorra

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Hemos definido que unos puntos \( a_0,\ldots a_n \) son afínmente independientes si no están contenidos en una variedad afín de dimensión \( n-1 \) (y entonces generan una variedad afín \( A^n(a_0,\ldots, a_n) \) de dimensión \( n \)). Y hemos visto (en la respuesta #24) que se cumple la relación recurrente

\( I^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1})\leftrightarrow I^n(a_0, \ldots, a_n)\land a_{n+1}\notin A^n(a_0,\ldots, a_n) \).

(una implicación es la tercera afirmación marcada con un \( \bullet \) y la parte no trivial de la otra es el quinto \( \bullet \)).

Podemos usar esta relación recurrente para dar una definición alternativa de \( I^n(a_0,\ldots, a_n) \) partiendo de \( I^2(a_0,a_1,a_2)\leftrightarrow \lnot a_0-a_1-a_2\land \lnot a_1-a_0-a_2\land\lnot a_0-a_2-a_1 \).

Con esta definición recurrente se cumple trivialmente (sin necesidad de apelar a ningún axioma geométrico) que \( I^n(a_0,\ldots, a_n)\rightarrow I^2(a_0,a_1,a_2) \), para todo \( n\geq 2 \).

Así, podemos definir los axiomas

\( \mbox{dim}_n^-\leftrightarrow \exists a_0\cdots a_n\ I^n(a_0,\ldots, a_n) \)  (para \( n\geq 2 \)) y

\( \mbox{dim}_n^+\leftrightarrow \lnot\exists a_0\cdots a_{n+1}\ I^{n+1}(a_0,\ldots, a_{n+1}) \).

El primero afirma que la dimensión del espacio es al menos \( n \) y el segundo que es como máximo \( n \). Observemos que \( \mbox{dim}_2^- \) es exactamente el axioma A8 y que \( \mbox{dim}_n^-\rightarrow A8 \), para todo \( n\geq 2 \).

La geometría de Tarski n-dimensional \( T^n \) (para \( n\geq 2 \)) se obtiene sustituyendo el axioma A8 por \( \mbox{dim}_n^- \) y añadiendo como axioma A9 el axioma \( \mbox{dim}_n^+ \) (junto con los dos axiomas que nos falta introducir). También podríamos considerar la teoría \( T^\infty \) que resulta de tomar como axiomas todas las sentencias \( \mbox{dim}_n^- \) y ningún axioma \( \mbox{dim}_n^+ \), pero no vamos a considerar esta geometría de dimensión infinita.

En definitiva, en la teoría \( T^n \) tenemos que existe una variedad afín \( E \) de dimensión \( n \) (la generada por los puntos afínmente independientes dados por \( \mbox{dim}_n^- \)), tal que no existen puntos fuera de ella (pues cualquier punto fuera de ella daría lugar a un conjunto de \( n+2 \) puntos afínmente independientes). En resumen: que el espacio es una variedad afín \( n \)-dimensional.

No obstante, una gran cantidad de teoremas de la geometría (entre ellos todos los que hemos demostrado hasta ahora) son independientes de la dimensión del espacio, en el sentido de que no dependen de los axiomas de dimensión salvo del axioma A8 original (\( \mbox{dim}_2^- \)). En lo sucesivo seguiremos trabajando con el axioma A8 original y sin A9, como hasta ahora, salvo que indiquemos lo contrario.

Vamos a probar algunos resultados adicionales sobre dimensión de variedades. Para el primero necesitamos algunos hechos y conceptos previos:

\( \bullet \) Dados puntos \( a_0,\ldots, a_n \) (no necesariamente afínmente independientes), existe una variedad afín \( A \) (de dimensión \( k\leq n \)) tal que \( a_0,\ldots, a_n\in A \), es la única variedad de dimensión \( k \) que cumple esto y ninguna variedad de dimensión \( <k \) cumple lo mismo.

En efecto, llamamos \( x_0=a_0 \), si existe un \( a_i\notin A^0(x_0) \), elegimos uno y lo llamamos \( x_1 \), si existe otro \( a_i\notin A^1(x_0,x_1) \) elegimos uno y lo llamamos \( x_2 \), y así sucesivamente. Tras un número finito de pasos tenemos que llegar a una lista de puntos afínmente independientes \( x_0,\ldots, x_k \) formada por parte de los \( a_i \) (o tal vez todos) de modo que \( a_0,\ldots, a_n\in A^k(x_0,\ldots, x_k) \). No puede suceder que  \( a_0,\ldots, a_n \) pertenezcan a una variedad de dimensión menor que \( k \) porque eso contradiría que \( x_0,\ldots, x_k \) son afínmente independientes, y cualquier variedad de dimensión \( k \) que contenga a \( a_0,\ldots, a_n \) contiene en particular a \( x_0,\ldots, x_k \), luego tiene que ser \( A^k(x_1,\ldots, x_k) \).

\( \bullet \) Llamaremos \( A(a_0,\ldots, a_n) \) a la variedad afín que acabamos de construir, que está definida aunque los puntos no sean afínmente independientes, y que obviamente coincide con \( A^n(a_0,\ldots, a_n) \) cuando lo son.

\( \bullet \) Es inmediato que si \( A \) es una variedad afín y \( a_0,\ldots, a_n\in A \), entonces \( A(a_0,\ldots, a_n)\subset A \).

\( \bullet \) Dadas dos variedades afines \( A \) y \( B \) existe una variedad afín \( C \) tal que \( A\subse C \), \( B\subset C \), es la única variedad de su misma dimensión que cumple esto y ninguna variedad de dimensión menor cumple esto.

En efecto, si \( A=A^m(a_0,\ldots, a_m) \) y \( B=A^n(a'_0,\ldots, a'_n) \), basta tomar \( C=A(a_0,\ldots, a_m,a'_0,\ldots, a'_n) \).

\( \bullet \) Llamaremos \( A+B \) a la variedad afín determinada por la propiedad anterior. Es claro que si \( C \) es cualquier variedad afín tal que \( A\subset C\land B\subset C \), entonces \( A+B\subset C \).

Ahora ya podemos demostrar el primer resultado sobre dimensiones. Empezamos demostrando un caso particular:

Teorema 108 Sean \( A \) y \( B \) dos variedades afines tales que \( C=A\cap B \) no sea vacía. Sea \( S=A+B \). Si \( A \) tiene dimensión \( n-1 \), \( B \) tiene dimensión \( k \) y \( S \) tiene dimensión \( n \), entonces \( C \) tiene dimensión \( k-1 \).

Demostración:  No puede suceder que \( B\subset A \), porque entonces \( S=A+B=A \), cuando tienen dimensiones distintas. Por lo tanto \( C \) está estrictamente contenido en \( B \), luego su dimensión es \( \leq k-1 \). Vamos a suponer que es menor estrictamente que \( k-1 \).

Tomemos un punto \( s\in B\setminus A \). Sea \( R=A(C,s)\subset B \). Entonces la dimensión de \( R \) es \( \leq k-1 \), luego existe un \( t\in B\setminus R \). Distinguimos tres casos:

Caso 1: \( s-A-t \). Entonces existe un punto \( q\in A \) (\( q\neq s \)) tal que \( s-q-t \). Como \( s,t\in B \), también \( q\in B \), luego \( q\in C\subset R \) y \( s\in R \), luego \( t\in R \), contradicción.

Caso 2: \( s\sim_At \). Entonces tomamos un \( s' \) tal que \( s'-C-s \) (en particular \( s'-A-s \)) y así \( s'\in R \), luego podemos razonar como en el caso 1 con \( s' \) en lugar de \( s \).

Caso 3: \( t\in A \). Entonces \( t\in C\subset R \), contradicción.

En general:

Teorema 109  Si \( A \) y \( B \) son variedades afines con intersección no vacía, entonces

\( \mbox{dim}(A+B)=\mbox{dim}(A)+\mbox{dim}(B)-\mbox{dim}(A\cap B) \).

Demostración: Sea \( S=A+B \), \( C=A\cap B \) y pongamos que \( \mbox{dim}(S)=n \), \( \mbox{dim}(A)=n-m \), \( \mbox{dim}(B)=k \). Tenemos que probar que \( \mbox{dim}(C)=k-m \).

Si \( m=0 \) es trivial, pues entonces \( B\subset S=A \), luego \( C=B \) y su dimensión es \( k \). Si \( m=1 \) se trata del teorema anterior.

Probamos el caso general por inducción sobre \( m \), de modo que lo suponemos cierto para \( m\geq 1 \) y suponemos ahora que \( \mbox{dim}(A)=n-(m+1) \).

No puede ser \( B\subset A \), pues entonces \( A=S \), pero no tienen la misma dimensión. Por lo tanto existe un punto \( a\in B\setminus A \). Sea \( A'=A(A,a) \). Así \( \mbox{dim}(A')=n-m \) y \( A'+B=A+B \).

Por otra parte, si \( C'=A'\cap B \), tenemos que \( C\subset C' \), luego \( C' \) no es vacía. Aplicamos la hipótesis de inducción a \( A' \) y \( B \), que nos da que \( \mbox{dim}(C')=k-m \).

Por otra parte, \( A+C'=A' \) y \( A\cap C'=A\cap A'\cap B = A\cap B=C \). Podemos aplicar el resultado para \( m=1 \), que nos da que

\( n-m = \mbox{dim}(A')=\mbox{dim}(A)+\mbox{dim}(C')-\mbox{dim}(C)= n-(m+1)+k-m-\mbox{dim}(C) \),

de donde concluimos que \( \mbox{dim}(C)=k-(m+1) \), como había que probar.

Un caso particular de interés (de hecho, se sigue del teorema 108) es el siguiente:

Teorema 110 Si \( P_1 \) y \( P_2 \) son planos contenidos en una variedad de dimensión 3 y tienen un punto en común, entonces tienen una recta en común.

En efecto, si \( S \) tiene dimensión 3 y \( P_1, P_2\subset S \), entonces \( S_1+S_2\subset S \), luego \( 3\geq \mbox{dim}(P_1+P_2)=\mbox{dim}(P_1)+\mbox{dim}(P_2)-\mbox{dim}(P_1\cap P_2)=4-\mbox{dim}(P_1\cap P_2) \), luego \( \mbox{dim}(P_1\cap P_2)\geq 1 \).

Así, una versión equivalente para el axioma \( A9 \) en la geometría tridimensional es que todo par de planos con un punto en común tiene una recta en común. En efecto, si el espacio tiene dimensión a lo sumo \( 3 \) acabamos de probar que esto es cierto, y si esto es cierto el espacio tiene dimensión a lo sumo \( 3 \), porque si existieran cinco puntos afínmente independientes \( a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 \), entonces \( P_1=A^2(a_0,a_1,a_2) \) y \( P_2=A^2(a_0,a_3,a_4) \) son dos planos tales que \( \mbox{dim}(P_1+P_2)=4 \), luego tiene que ser \( \mbox{dim}(P_1\cap P_2)=0 \).

20 Noviembre, 2014, 10:50 am
Respuesta #32

Carlos Ivorra

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Diremos que dos rectas son paralelas si son coplanares y, o bien son iguales, o bien no tienen puntos en común:

\( R\parallel S\leftrightarrow Cp(R, S)\land (R=S\lor \lnot\exists x(x\in R\land x\in  S)) \)

Por ejemplo, dos rectas perpendiculares a una misma recta (en un mismo plano) son paralelas:

Teorema 111 \( Cp(R, S, T)\land R\perp T\land S\perp T\rightarrow R\parallel S \)

En efecto, sean \( r \) y \( s \) los puntos de corte de \( R \) y \( S \) con \( T \). Si \( r=s \) entonces \( R=S \) por la unicidad de las perpendiculares (teorema 84 bis, que acabo de añadir), luego \( R\parallel S \), y si \( r\neq s \), entonces \( R\neq S \) (pues cortan a \( T \) en puntos distintos), y si existiera \( a\in R\cap S \), entonces el triángulo \( axy \) tendría dos ángulos rectos, lo cual es imposible. Por lo tanto \( R\parallel S \) igualmente.

Como consecuencia, toda recta tiene una paralela que pasa por un punto arbitrario:

Teorema 112  \( \exists S(S\parallel R\land a\in S) \)

Demostración: Si \( a\in R \) basta tomar \( S=R \), mientras que si \( a\notin R \) por el teorema 58 existe \( T \) tal que \( R\perp T\land a\in T \), y por el teorema 84 bis existe una recta \( S \) contenida en el plano \( P(R, T) \) tal que \( S\perp T\land a\in S \). Entonces \( R \) y \( S \) son perpendiculares a \( T \) en un mismo plano, luego \( R\parallel S \) por el teorema anterior.

Es evidente que la relación de paralelismo es reflexiva y simétrica:

\( R\parallel R \)

\( R\parallel S\rightarrow S\parallel R \)

En cambio, la transitividad del paralelismo es una propiedad nada trivial. De hecho, no es demostrable a partir de los axiomas que estamos suponiendo:

Teorema 113 Las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) \( \exists! S(R\parallel S\land a\in S) \) (por cada punto existe una única paralela a una recta dada)

b) \( R\parallel S\land S\parallel T\rightarrow R\parallel T \) (transitividad del paralelismo)

c) \( a-d-t\land b-d-c\land a\neq d\rightarrow \exists xy(a-b-x\land a-c-y\land x-t-y) \)


La última afirmación es algo técnica, pero tiene el interés de que sólo aparecen en ella los conceptos primitivos (no definidos) de la teoría.

Demostración: a) \( \rightarrow \) b)  Supongamos que \( R\parallel S\land S\parallel T \) y distingamos dos casos:

Caso 1: \( R \) y \( T \) son coplanares.

Si \( R=T \) son paralelas por definición. En caso contrario, si existiera \( a\in R\cap T \) tendríamos que \( R \) y \( T \) serían dos paralelas a \( S \) por el punto \( a \), luego por hipótesis tendrían que ser iguales.

Caso 2: \( R \) y \( T \) no son coplanares (en particular las tres rectas son distintas dos a dos, pues \( R \) y \( S \) son coplanares, al igual que \( S \) y \( T \).

Llamemos \( P \) al plano que contiene a \( R, S \). Como \( T\not\subset P \), podemos tomar un punto \( t\in T\setminus P \). Llamemos \( P_R=P(R, t) \) y \( P_S=P(S,t) \).

Observemos que \( P_R\neq P_S \), pues si fueran el mismo plano, éste contendría a \( R \) y a \( S \), luego sería \( P \), pero entonces \( t\in P \).

Por otra parte \( P_R, P_S\subset A^3(P, t) \), que es una variedad de dimensión 3, y \( t\in P_R\cap P_S \), luego el teorema 109 implica que \( P_R\cap P_S=T' \), para cierta recta \( T' \).


\( T' \) no puede cortar a \( P \), porque si \( x\in T'\cap P \) entonces \( x\in (T'\cap P_R)\cap (T'\cap P_S)=R\cap S \), que son paralelas distintas.

En particular \( T' \) no corta ni a \( R \) ni a \( S \) y es coplanar con ambas, luego \( T'\parallel R\land T'\parallel S \),

pero entonces \( T' \) y \( T \) son paralelas a \( S \) que pasan por \( t \), luego la hipótesis implica que \( T'=T \), luego \( R\parallel T \).

b) \( \rightarrow \) c) Si \( \overline{at}=\overline{bc} \) es fácil probar la conclusión sin necesidad de la hipótesis. Supongamos, pues, que son rectas distintas.

Claramente \( a\neq t \). Si \( t=d \) entonces sirven \( x=b\land y=c \), así que podemos suponer que \( t\neq d \), luego \( t\notin \overline{bc} \)

Por el teorema 112 existe \( R\parallel \overline{bc} \) tal que \( t\in R \). Entonces \( R \) está en el plano \( P(bct) \), al cual pertenece también \( a \). En particular \( R \) es coplanar con \( \overline{ab} \), luego si \( R \) no cortara a \( \overline{ab} \) sería \( R\parallel \overline{ab} \), luego por la transitividad \( \overline{ab}\parallel \overline{bc} \), lo cual es absurdo, pues ambas rectas se cortan en \( b \) (no puede ser \( \overline{ab}=\overline{bc} \), porque entonces \( \overline{at}=\overline{bc} \)).

Así pues, existe \( x\in R\cap \overline{ab} \), y el mismo argumento nos da un punto \( y\in R\cap \overline{ac} \).

Como \( R=\overline{xt}=\overline{ty} \) no corta a \( \overline{bc} \), tenemos que \( x\sim_{ac}t\land y\sim_{bc}t \), pero \( a\sim\overline{bc}-t \), luego \( a\overline{bc}-x\land a\overline{bc}-y \), y esto equivale a \( a-b-x\land a-c-y \).

Por otra parte \( t\sim_{ax}d\sim_{ax}c\sim_{ax}y \) e igualmente \( t\sim_{by}x \), luego el teorema 75 nos da que \( x-t-y \).

c) \( \rightarrow \) a)   Supongamos que \( S \) y \( T \) son paralelas a \( R \) por \( a \). Si \( a\in R \) necesariamente \( S=T=R \), luego podemos suponer que \( a\notin R \).

Tomemos \( r\in R \) y tomemos \( t'\in T \) tal que \( r-S-t' \). Esto es posible, porque siempre podemos tomar \( t_1, t_2\in T \) tales que \( t_1-a-t_2 \), y  uno de los dos sirve.

Sea \( s\in S \) tal que \( r-s-t' \)y sea \( t\in T \) tal que \( t'-a-t\land a\neq t \).


Por el axioma A7 aplicado al triángulo \( rat' \) existe un punto \( d \) tal que \( s-d-t\land r-d-a \).

Tiene que ser \( s\neq a \), pues en caso contrario \( \overline{t's}=\overline{t'a}=T \), luego \( r\in T \).

Además \( a\notin \overline{st} \), pues en caso contrario \( \overline{st}=\overline{at}=T \), luego \( s\in S\cap T \), luego \( s=a \).

Por lo tanto \( a\neq d \). Por la hipótesis c) existen puntos \( x, y \) tales que \( a-s-x\land a-t-y\land x-r-y \), pero esto es imposible. Por un lado \( x-R-y \), pero por otro \( \overline{ax},\overline{ay} \) no cortan a \( R \), luego \( x\sim_Ra\sim_Ry \), contradicción.

El axioma A10 de la geometría de Tarski es la afirmación c) del teorema anterior (aunque podemos tomar cualquiera de las otras dos, en particular el axioma de las paralelas).

Todos los teoremas que pueden demostrarse sin A10 son válidos igualmente para la geometría euclídea y para la geometría hiperbólica.

Otra forma equivalente de A10 es el teorema siguiente:

Teorema 114 Si \( R, S, T \) son rectas coplanares y \( R\parallel S\land \exists x\ T\cap R=\{x\}\rightarrow \exists y\ T\cap S=\{y\} \)

(Si una recta corta a otra, entonces corta a todas sus paralelas en el mismo plano.)

Demostración: Si \( T\cap S=\emptyset \), entonces \( T\parallel S \), luego \( T\parallel R \).

Vemos ahora algunos resultados sobre paralelogramos:

Teorema 115  a) \( p=Mac=Mcd\land a\neq b\rightarrow \overline{ab}\parallel \overline{cd} \)

b) \( ab\equiv cd\land bc\equiv de\land \lnot Col(abc)\land b\neq d\land Col(apc)\land Col(bpd) \) \( \rightarrow \overline{ab}\parallel \overline{cd}\land \overline{bc}\parallel \overline{ad}\land b-\overline{ac}-d\land a-\overline{bd}-b \)

c) \( \lnot Col(abc)\land \overline{ab}\parallel \overline{cd}\land \overline{bc}\parallel \overline{da}\rightarrow \) \( ab\equiv cd\land bc\equiv de\land b-\overline{ac}-d\land a-\overline{bd}-c \)

d) \( \overline{ab}\parallel \overline{cd}\land ab\equiv cd\land b-\overline{ac}-d\rightarrow  \) \( \overline{bc}\parallel \overline{da}\land bc\equiv da\land a-\overline{bd}-c \)


Observemos que las dos primeras propiedades no requieren A10.

Demostración:

a) Si \( Col(abp) \) entonces \( \overline{ab}=\overline{cd} \) y la conclusión es trivial. Supongamos, pues, que \( \lnot Col(abp) \) y sea \( R \) la perpendicular a \( \overline{ab} \) por \( p \) Sea \( e \) el punto en el que corta a \( \overline{ab} \). Sea \( f=S_pb \), entonces aplicando \( S_p \) obtenemos que \( R\perp \overline{cd} \), luego \( \overline{ab}\parallel \overline{cd} \) por el teorema 111.

b) Por el teorema 49 tenemos que \( p=Mac=Mbd \), y basta aplicar el apartado a).

c) Llamemos \( p=Mac \) y sea \( d'=S_pb \). Entonces, aplicando que \( S_p \) conserva la congruencia, concluimos que \( ab\equiv cd'\land bc\equiv d'a \).

Como \( p=Mac=Mbd' \), el apartado a) nos da que \( \overline{ab}\parallel \overline{cd'} \), luego \( \overline{cd'}\parallel \overline{cd} \), luego \( \overline{cd'}=\overline{cd} \), e igualmente \( \overline{ad}=\overline{ad'} \). Entonces \( d \) y \( d' \) son ambos la intersección de \( \oveline{ad} \) con \( \overline{cd} \), luego \( d=d' \), y la conclusión es inmediata.

d) Como \( b-\overline{ac}-d \) sabemos que \( \lnot Col(abc) \). Sea \( b' \) tal que \( b'-a-b\land b'\neq a \). Tenemos que \( d\sim_{ab}c \) porque las rectas \( \overline{ab} \) y \( \overline{cd} \) son paralelas, luego una no puede separar puntos de la otra. Por otro lado \( b'-\overline{ac}-b\land d-\overline{ac}-b \), luego \( b'\sim_{ac}d \).


El teorema 75 implica que \( b'-\overline{ad}-c \), lo que unido a \( b'-\overline{ad}-b \) nos da que \( b\sim_{ad}c \).

Sea \( R \) la paralela a \( \overline{ad} \) que pasa por \( b \). Como corta a \( \overline{ab} \), también tiene que cortar a la paralela \( \overline{dc} \) en un punto \( c' \).

Por el apartado c) concluimos que \( dc'\equiv ab \), luego \( dc'\equiv dc \), y además \( c'\sim_{ad}b \) (porque \( \overline{bc'} \) es paralela a \( \overline{ad} \)) y \( b\sim_{ad}c \), luego \( c\sim_{ad}c' \), luego \( c'\sim_dc \).

El teorema 32 implica que \( c=c' \), luego \( \overline{ad}\parallel \overline{bc} \) y concluimos aplicando c).

He aquí otras consecuencias del axioma de las paralelas (que de hecho son equivalentes). La primera es el quinto postulado de Euclides:

Teorema 116  a) \( b-\overline{ac}-d\rightarrow (\overline{ab}\parallel \overline{cd}\leftrightarrow \widehat{bac}\equiv \widehat{dca}) \)  (dos rectas son paralelas si y sólo si determinan ángulos alternos internos iguales)

b) \( a\sim_pc\land b\sim_{pa}d\rightarrow (\overline{ab}\parallel \overline{cd}\leftrightarrow \widehat{bap}\equiv \widehat{dcp}) \)

c) \( \lnot Col(abc)\rightarrow \exists b'c'(b-\overline{ac}-b'\land c\overline{ab}-c'\land b'-a-c'\land \widehat{abc}\equiv \widehat{bac'}\land \widehat{acb}\equiv \widehat{cab'}) \)


Las demostraciones son sencillas. Por ejemplo, para probar a) no perdemos generalidad si suponemos que \( ab\equiv cd \), y entonces podemos aplicar el teorema anterior. La propiedad b) se deduce de a) considerando el ángulo opuesto por el vértice de \( \widehat{bap} \). Por último, c) es consecuencia de a).

No hemos definido la suma de ángulos, pero si la hubiéramos definido c) equivaldría a que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano.

21 Noviembre, 2014, 06:19 pm
Respuesta #33

Carlos Ivorra

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Nuestro objetivo a medio plazo es definir una suma y un producto en los puntos de una recta que determinen una estructura de cuerpo. Para ello son necesarios dos resultados geométricos clásicos: el teorema de Papos-Pascal y el teorema de Desargues. En este mensaje presentamos los resultados previos que nos permitirán demostrar el primero de ellos en el mensaje siguiente.

Todos los resultados que probamos aquí requieren únicamente los axiomas básicos, hasta A8, sin el axioma de las paralelas ni los que determinan la dimensión del espacio.

Teorema 117  \( \lnot Col(abc)\land p=Mbc\land q=Mca\land r=Mab \) \( \rightarrow \exists R\in \mathcal R(r\in R\land R\perp \overline{ab}\land R\perp\overline{pq}) \)

Por el punto medio de un lado de un triángulo pasa una perpendicular a la recta que une los puntos medios de los otros dos lados (en particular dicha recta es paralela al lado y si suponemos el axioma de las paralelas ambas afirmaciones son equivalentes).


Demostración: Sea \( c'\in \overline{pq} \) tal que \( \overline{cc'}\perp \overline{pq} \). Sea \( a'=S_qc' \) y \( b'=S_pc' \).

Aplicando \( S_q \) obtenemos que \( aa'\equiv cc' \) y aplicando \( S_p \) que \( cc'\equiv bb' \).

Además, como \( \overline{cc'}\perp\overline{c'b'} \), al aplicar \( S_p \) resulta que \( \overline{bb'}\perp \overline{c'b'}=\overline{pq} \). Igualmente \( \overline{a'a}\perp\overline{pq} \).

Sea \( x=Ma'b' \) y sea \( R \) la recta perpendicular a \( \overline{pq} \) que pasa por \( x \) y que está contenida en el plano \( P(abc) \) (que contiene a todos los puntos que estamos considerando).

Entonces \( b'=S_Ra' \) y tomamos \( b''=S_Ra \), de modo que \( Ra'b'b'' \), \( aa'\equiv b'b'' \) (luego \( bb'\equiv b''b' \)) y \( b''\sim_{pq}a \), porque \( \overline{b''a}\parallel \overline{b'a'}=\overline{pq} \) (ya que \( R \) es una perpendicular común).

Pero también \( Ra'b'b \) y \( b\sim_{pq}a \), pues \( \overline{pq}\parallel \overline{ab} \), luego \( b\sim_{b'}b'' \). Esto implica que \( b=b'' \) (pues tenemos dos puntos en la misma semirrecta de origen \( b' \) a la misma distancia de \( b' \)). Por lo tanto \( b=S_Ra \) y concluimos que \( r=Mab\in R \).

Teorema 118  \( c-\overline{ab}-d\land Rbca\land Rbda\land Col(cde)\land\overline{ae}\perp \overline{cd} \) \( \rightarrow \widehat{bac}\equiv \widehat{dae}\land \widehat{bad}\equiv\widehat{cae}\land c-e-d \)


Este teorema afirma que si tenemos dos triángulos rectángulos con la hipotenusa común, entonces la perpendicular a \( \overline{cd} \) por \( a \) divide al ángulo \( \widehat{dac} \) en dos ángulos que son los mismos en los que lo divide \( \overline{ab} \), pero en orden inverso.

Demostración: De \( c\overline{ab}-d \) se sigue inmediatamente que \( b\,E\,\widehat{dac} \), y a su vez de aquí que \( \widehat{bac}\leq \widehat{dac} \). Esto a su vez implica que existe un punto \( e' \) tal que \( d-e'-c \) tal que \( \widehat{dae'}\equiv \widehat{bac} \). Usando el teorema 87 concluimos que \( \widehat{e'ac}\equiv \widehat{dab} \).

Basta probar que \( e'=e \), para lo cual a su vez basta ver que \( \overline{ae'}\perp \overline{cd} \). Llamemos \( R=\overline{ae'} \)

Llamamos \( c'=S_cb \) y \( d'=S_db \). Entonces las hipótesis sobre los ángulso rectos implican que \( ac'\equiv ab\equiv ad' \), luego \( \widehat{bac}\equiv\widehat{c'ac} \) y \( \widehat{bad}\equiv \widehat{d'ad} \).

Usando de nuevo el teorema 87 concluimos que \( \widehat{c'ae'}\equiv\widehat{e'ad'} \) (pues ambos son la suma de un ángulo rojo y uno verde).

Es claro que \( c'\neq d' \) (por ejemplo, porque \( c'-\overline{ab}-d' \)) y la unicidad del transporte de ángulos implica que la única posibilidad para que dos ángulos congruentes compartan un lado sin ser iguales es que \( c'-R-d' \) y además, como \( ac'\equiv ac' \), llamando \( x \) al punto en que \( \overline{c'd'} \) corta a \( R \), se cumple que \( c'x\equiv xd' \), luego \( x=Mc'd' \), y \( Raxc' \), luego \( d'=S_Rc' \).

Finalmente aplicamos el teorema anterior al triángulo \( bc'd' \) para concluir que \( R \) es perpendicular a \( \overline{dc} \), como había que probar.

La forma más natural de demostrar el teorema de Papos-Pascal es usando álgebra lineal, pero eso está fuera de nuestro alcance, así que vamos a tener que diseñar algunas herramientas "caseras" que nos sirvan de ayuda. Concretamente, vamos a definir una trigonometría rudimentaria:

Llamaremos longitud de un segmento \( ab \) a

\( [ab]=\{(x,y)\mid xy\equiv ab\} \).

Debemos insistir en que estamos desarrollando una geometría libre de teoría de conjuntos, de modo que esta definición debe entenderse como que la fórmula \( (x,y)\in [ab] \) será una mera abreviatura de la fórmula \( xy\equiv ab \) (que tiene pleno sentido en nuestra teoría).

En realidad, no puede decirse que "abrevie" nada, pues es incluso más larga, pero su finalidad no es escribir menos, sino servir de base a otras abreviaturas. Concretamente, podemos hablar de una "longitud" \( l \), sin especificar ningún par de puntos, de modo que cuando digamos "para toda longitud \( l \) se cumple..." habrá que entender "para todo par de puntos \( a,b \), la longitud \( l=[ab] \) cumple..."

Observemos que todos los pares \( (a,a) \) forman una misma longitud, a la que podemos llamar longitud nula y que podemos representar por \( 0 \).

Igualmente definimos un ángulo como

\( [abc]=\{(x,y,z)\mid \widehat{xyz}\equiv \widehat{abc}\} \).

Aquí hay que entender que \( a\neq b\neq c \), es decir, que estamos definiendo

\( (x,y,z)\in [abc]\leftrightarrow a\neq b \neq c\land \widehat{xyz}\equiv \widehat{abc} \),

o también, que cuando hablemos de un ángulo \( \alpha \) arbitrario, habrá que entender que \( \alpha = [abc] \) con \( a\neq b\neq c \).

Observemos que todas las ternas \( (a,b,c) \) con \( a\sim_bc \) forman un mismo ángulo, que podemos llamar ángulo nulo y lo representaremos por \( 0 \), mientras que las ternas \( (a,b,c) \) con \( a-b-c \) forman un mismo ángulo que podemos llamar ángulo llano y lo representaremos por \( \pi \).

También podemos definir \( \pi/2 \) como el ángulo formado por todas las ternas que determinan ángulos rectos.

De este modo, si \( l=[uv] \) es una longitud y \( \alpha = [abc] \) es un ángulo, podemos definir la longitud \( \alpha l \) mediante la construcción siguiente:

1) Si \( l=0 \) definimos \( \alpha l = 0 \)

2) Si \( \alpha = 0 \) o \( \alpha = \pi \) definimos \( \alpha l = l \).

3) Si no se dan los casos anteriores, tomamos cualquier terna de puntos \( (a,b,c)\in \alpha \) (en particular \( a\neq b\neq c \))

4) Sobre la semirrecta \( \vec{bc} \) tomamos un punto \( c' \) tal que \( bc'\in l \). Esto es posible por el teorema sobre transporte de segmentos.

5) Al haber exceptuado los casos triviales, tenemos que \( b\neq c' \) y que \( \overline{bc}\neq \overline{ba} \), luego \( c'\notin \overline{ba} \) y podemos considerar la única perpendicular a \( \overline{ba} \) que pasa por \( c' \) y que cortará a \( \overline{ba} \) en un punto \( a' \).

6) Definimos \( \alpha l = [ba'] \).


Observemos que la definición de \( \alpha l \) no depende de la elección de los representantes de la longitud o del ángulo con los que realizamos la construcción, pues dos triángulos con dos ángulos iguales (el ángulo dado y un ángulo recto) y la hipotenusa igual, son congruentes, luego tienen los catetos iguales. (Hay un caso que tratar aparte, que es el caso en que \( \alpha = \pi/2 \), en el que es claro que \( \alpha l=0 \) independientemente de \( l \), porque se cumple \( a'=b \).)

Técnicamente, toda la construcción que acabamos de describir se puede expresar mediante una fórmula

\( (x,y)\in [abc] [uv] \)

que no involucra más que conceptos expresables en la teoría que estamos desarrollando, y se demuestra que si \( xy\equiv x'y'\land \widehat{abc}\equiv \widehat{a'b'c'}\land uv\equiv u'v' \) entonces \( (x,y)\in [abc] [uv]\leftrightarrow (x',y')\in [a'b'c'] [u'v'] \).

Y la interpretación de todo esto debería estar clara: \( \alpha l \) es una versión casera de lo que en términos generales sería \( l\cos \alpha \).

Teorema 119 Si \( \alpha\neq \pi/2 \) es un ángulo y \( l, l' \) son longitudes, entonces \( \alpha l =\alpha l'\rightarrow l=l' \).

Demostración: El resultado es trivial si \( \alpha = 0\lor \alpha =\pi \), por definición. Supongamos que no se da ninguno de estos casos.

Según la definición de \( \alpha l \), podemos tomar tres puntos \( (a, b, c)\in \alpha \) de modo que \( (b,c')\in l \) y \( (b,a')\in \alpha l \). Además, como el ángulo \( \widehat{cba} \) no es recto, la recta \( \overline{bc} \) no es perpendicular a \( \overline{ab} \), luego la recta perpendicular a \( \overline{ab} \) que pasa por \( c' \) no es \( \overline{ac} \), luego el punto \( a' \) en el que corta a \( \overline{ba} \) no es \( b \), por lo que \( \lnot Col(a'bc') \) y tenemos un triángulo rectángulo.

Si realizamos la misma construcción con \( l' \) en lugar de \( l \) obtenemos un segundo triángulo rectángulo que tiene en común con el primero un ángulo (además del recto) y un cateto (el correspondiente a \( \alpha l = \alpha l' \)), luego ambos triángulos son congruentes y en particular tienen la misma hipotenusa, lo cual se traduce en que \( bc' \) es congruente al segmento correspondiente del otro triángulo, de donde \( l=l' \).

El resultado fundamental sobre esta trigonometría rudimentaria es el siguiente:

Teorema 120 \( \alpha \beta l = \beta \alpha l \)

La interpretación es que \( l\cos\beta \cos\alpha=l\cos\alpha\cos \beta \).

Demostración: Si alguno de los ángulos es \( 0, \pi/2 \) o \( \pi \) el resultado es trivial a partir de la definición, así que suponemos que no se da el caso, lo cual significa que en la construcción de los productos se forman triángulos rectángulos no degenerados.

Concretamente, tenemos un triángulo rectángulo \( Racb \) cuya hipotenusa \( ab \) tiene longitud \( l \) y cuyo cateto \( ac \) tiene longitud \( \alpha l \). A su vez, podemos construir el triángulo rectángulo \( Radb \) que determina \( \beta l \) de modo que su hipotenusa sea también \( ab \), pero de modo que el vértice opuesto \( d \) cumpla \( c-\overline{ab}-d \), y entonces el cateto \( ad \) tiene longitud \( \beta l \).

La situación es exactamente la que muestra la parte izquierda de la segunda figura de este mensaje, la que ilustra el teorema 118, donde el ángulo verde es ahora \( \alpha \) y el rojo es \( \beta \). Consideramos el punto \( e \) dado por el teorema, y vemos que determina dos triángulos rectángulos, de modo que \( \widehat{cae} \) es \( \beta \) y la hipotenusa \( ac \) es \( \alpha l \), luego el cateto \( ae \) es \( \beta\alpha l \). Pero igualmente razonamos que \( ae \) es \( \beta\alpha l \), luego tenemos la igualdad.

Nos falta un último resultado previo:

Teorema 121  \( Col(opq\land Col(ouv\land u\neq 0\neq v\land Rpuo\land Rqvo \) \( \rightarrow (p\sim_oq\leftrightarrow u\sim_ov) \)

Si dos paralelas cortan a dos rectas secantes en puntos \( u, p \) y \( v,q \) respectivamente (y son perpendiculares a una de ellas), entonces los cortes con una recta están al mismo lado del punto de corte \( o \) entre las rectas si y sólo si lo están los puntos de corte con la otra recta.


Demostración: Sea \( R \) la perpendicular a \( \overline{ou} \) que pasa por \( o \) y está contenida en el plano que contiene a las dos rectas. Como la perpendicular a \( \overline{ou} \) por \( p \) corta a la recta en \( u\neq o \), dicha recta no puede ser \( R \), luego \( p\notin R \), e igualmente \( q\notin R \). Además \( R\parallel \overline{up} \) y \( R\parallel \overline{vq} \) porque son perpendiculares a \( \overline{ou} \). Esto implica que \( p\sim_Ru\land q\sim_Rv \), porque una recta no separa puntos de otra paralela. Por consiguiente \( p\sim_Rq\leftrightarrow u\sim_Rv \), que a su vez equivale a \( p\sim_oq\leftrightarrow u\sim_o v \).

22 Noviembre, 2014, 12:47 am
Respuesta #34

Carlos Ivorra

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El teorema de Papos-Pascal es en realidad un teorema de la geometría proyectiva y, como suele suceder con tales teoremas, tiene traducciones distintas a la geometría afín que parecen muy diferentes entre sí, debido a que en geometría proyectiva no hay diferencia entre rectas paralelas y secantes. Aquí demostraremos dos variantes, y se podrían enunciar varias más.

En palabras, el teorema (en la versión que vamos a probar) afirma lo siguiente:

Consideramos dos rectas que se corten en un punto \( o \), seleccionamos tres puntos \( a, b, c \) en una de ellas y otros tres \( a',b',c' \) en la otra (todos distintos de \( o \)). Los unimos para formar un "hexágono" \( ab'ca'bc'a \). Si dos pares de lados opuestos (opuestos en el sentido en que serían opuestos si se tratara de un hexágono regular, es decir, un lado es opuesto al siguiente del siguiente del siguiente) son paralelos, digamos \( bc'\parallel cb'\land ca'\parallel ac' \), entonces el tercer par de lados opuestos también es paralelo: \( ab'\parallel ba' \).


Incidentalmente, el teorema de Papos-Pascal es un caso particular del teorema de Pascal, que afirma que esto es válido para todo hexágono inscrito en una cónica (en particular en una circunferencia). Un par de rectas forman una cónica degenerada.

Podemos dar una demostración que no dependa del axioma de las paralelas a cambio de usar una definición más fuerte de rectas paralelas:

Diremos que dos rectas son paralelas respecto de un punto \( o \) si

\( R\parallel_0 S\leftrightarrow \exists T(o\in T\land T\perp R\land T\perp S) \)

Es claro que, admitiendo el axioma de las paralelas, dos rectas coplanares \( R \) y \( S \) son paralelas si y sólo si cumplen \( R\parallel_0 S \) para cualquier punto \( o \) del plano que las contiene, ya que por \( o \) pasa una perpendicular a \( R \), que será también perpendicular a \( S \) si y sólo si \( R\parallel S \).

Teorema de Papos-Pascal (versión absoluta)  \( \lnot Col(oaa')\land Col(oabc)\land b\neq o\neq c\land Col(oa'b'c')\land b'\neq o\neq c' \) \( \land \overline{bc'}\parallel_o \overline{cb'}\land \overline{ca'}\parallel_o\overline{ac'}\rightarrow \overline{ab'}\parallel_o\overline{ba'} \)

Por la observación precedente, si suponemos el axioma de las paralelas este resultado equivale a:

Teorema de Papos-Pascal (versión euclídea)  \( \lnot Col(oaa')\land Col(oabc)\land b\neq o\neq c\land Col(oa'b'c')\land b'\neq o\neq c' \) \( \land \overline{bc'}\parallel \overline{cb'}\land \overline{ca'}\parallel\overline{ac'}\rightarrow \overline{ab'}\parallel\overline{ba'} \)

Demostración:  Por hipótesis existe una perpendicular común a \( \overline{bc'} \) y a \( \overline{b'c} \) que pasa por \( o \). Llamemos \( l \) y \( l^* \) a los puntos donde corta a estas rectas respectivamente. Similarmente, existe una perpendicular común a \( \overline{ca'} \) y a \( \overline{c'a} \) que pasa también por \( o \). Llamamos \( m \) y \( m^* \) a los puntos de corte correspondientes. Por último, tomamos una perpendicular a \( \overline{ab'} \) que pase por \( o \) y llamamos \( n \) al punto de corte.


Definimos además los ángulos siguientes:

\( \lambda = [loc']=[l^*ob'] \)  (ángulo rojo en la figura de la izquierda)

\( \lambda' = [lob]=[l^*oc] \)   (ángulo verde en la figura de la izquierda)

\( \mu=[moa']=[m^*oc'] \)      (ángulo azul claro en la figura de la izquierda)

\( \mu' = [moc]=[m^*oa] \)     (ángulo azul oscuro en la figura de la izquierda)

\( \nu' = [noa] \)                      (ángulo rojo en la figura de la derecha)

\( \nu=[nob'] \)                        (ángulo azul en la figura de la derecha)

Por otra parte, adoptamos el convenio de llamar con la misma letra a cada punto \( a, b, c, a', b', c' \) y la longitud correspondiente \( oa, ob, oc, \) etc.

De este modo, de la propia definición de producto de ángulo por longitud obtenemos:

1) \( \lambda' b = \lambda c' (= l) \)

2) \( \mu' c=\mu a' (= m) \)

3) \( \nu' a = \nu b'  (= n) \)

4) \( \lambda' c=\lambda b' (= l^*) \)

5) \( \mu' a=\mu c' (= m^*) \)

y vamos a demostrar:

6) \( \nu' b=\nu a' \).

En efecto, usando repetidamente el teorema 120:

\( \lambda'\nu' b=\nu'\lambda' b =_{(1)} \nu'\lambda c' \), luego \( \mu\lambda'\nu'b = \mu\nu'\lambda c'=\nu'\lambda\mu c' =_{(5)}\nu'\lambda\mu' a=\lambda\mu'\nu' a =_{(3)}\lambda\mu'\nu b' \) \( =\mu'\nu\lambda b'=_{(4)}\mu'\nu\lambda' c=\nu\lambda'\mu' c=_{(2)}\nu\lambda'\mu a'=\mu\lambda'\nu a' \)

Finalmente usamos el teorema 119 concluimos que \( \nu' b=\nu a' \), como queríamos probar. Notemos que el ángulo \( \mu \) no puede ser recto, porque forma parte del triángulo rectángulo \( Roma' \), salvo que \( \overline{om}=\overline{ma'} \), en cuyo caso \( \mu=0\lor \mu = \pi \).

Sean \( n^* \) y \( n^*' \) los puntos de \( \overline{on} \) por donde pasa la perpendicular por \( b \) o por \( a' \), respectivamente. Basta probar que \( n^*=n^*' \), pues entonces \( \overline{a'b} \) es perpendicular a \( \overline{on} \), luego \( \overline{a'b}\parallel \overline{ba'} \).

Por definición \( \nu' b = n^*\land \nu a' = n^*' \), luego por 6) tenemos que \( on^*\equiv on^*' \). Por lo tanto, basta probar que \( n^*\sim_o n\leftrightarrow n^*'\sim_o n \), pues entonces la unicidad del transporte de segmentos hace que \( n^*=n^*' \).

A su vez basta probar que \( a\sim_ob\leftrightarrow a'\sim_ob' \), pues entonces, aplicando varias veces el teorema 121, \( n^*\sim_on\leftrightarrow b\sim_oa\leftrightarrow a'\sim_ob'\leftrightarrow n^*'\sim_o n \).

Aplicando nuevamente el teorema 121 vemos que \( c\sim_oa\leftrightarrow m\sim_o m^*\leftrightarrow c'\sim_oa' \) e igualmente \( c\sim_ob\leftrightarrow l^*\sim_ol\leftrightarrow c'\sim_0b' \).

Como \( (a\sim_oc\lor a-o-c)\land (b\sim_0c\lor b-o-c) \), podemos distinguir cuatro casos, y en los cuatro se cumple la conclusión que buscamos.

Por ejemplo, si \( a\sim_oc\land b\sim_oc \), por las equivalencias precedentes \( a'\sim_oc'\land b'\sim_oc' \), luego \( a\sim_ob\land a'\sim_oc' \).

Si \( a\sim_oc\land b-o-c \), entonces también \( a'\sim_oc'\land b'-o-c' \), luego en este caso \( a-o-b\land a'-o-b' \).

Igualmente, en los dos casos restantes llegamos a que los dos pares \( a, b \) y \( a',b' \) están ambos al mismo lado de \( o \) o bien están ambos en lados opuestos de \( o \).

La segunda versión que necesitamos del teorema de Papos-Pascal es la correspondiente al caso en que las dos rectas son paralelas en vez de secantes. En este caso es necesario el axioma de las paralelas:

Teorema de Papos-Pascal (para rectas paralelas)  \( \overline{oa}\parallel \overline{o'a'}\land Col(oabc)\land Col(o'a'b'c')\land \overline{bc'}\parallel \overline{cb'}\land \overline{ca'}\parallel \overline{ac'}\rightarrow \overline{ab'}\parallel \overline{ba'} \)


Demostración: Observemos en primer lugar que si dos de los puntos \( a, b, c \) son iguales la conclusión es trivial. Por ejemplo, si \( a=b \) entonces \( \overline{cb'}\parallel \overline{bc'}=\overline{ac'}\parallel \overline{ca'} \), de donde \( a'=b' \).

Si \( a=c \) entonces \( \overline{ac'}\parallel \overline{cc'} \), luego \( a'=c' \) y la hipótesis \( \overline{cb'}\parallel \overline{bc'} \) equivale a la conclusión. Igualmente si \( b=c \).

Por lo tanto podemos suponer que los tres puntos \( a,b,c \) son distintos, y por simetría también que \( a',b',c' \) son distintos.

Sea \( R \) la paralela a \( \overline{a'b} \) que pasa por \( a \). Entonces \( R \) corta a \( \overline{cb'} \), pues en otro caso tendríamos que \( \overline{a'b}\parallel R\parallel \overline{cb'}\parallel \overline{bc'} \), luego \( a'=c' \).

Sea \( b'' \) el punto de corte de \( R \) con \( \overline cb' \). Basta probar que \( b''=b \). Supongamos lo contrario.

No puede ser \( b''=a' \), pues si \( a'\in\overline{cb'} \) entonces \( a'=b' \). Sea \( S=\overline{ab''}\neq \overline{a'b'} \).

Como \( \overline{cb'}\parallel \overline{bc'} \) y \( S \) corta a \( \overline{cb'} \), también corta a \( \overline{bc'} \) en un punto \( c''\neq c' \). Igualmente, \( S \) tiene que cortar a \( \overline{ab} \) en un punto \( o^* \).

Sucede entonces que los puntos \( a, b, c \) y \( a',b'',c'' \) están en las hipótesis del teorema de Papos-Pascal para rectas secantes:


Tenemos que \( \overline{ba'}\parallel \overline{ab''}\land \overline{cb''}\parallel \overline{c''b} \), luego concluimos que \( \overline{ca'}\parallel \overline{ac''} \), luego \( \overline{ac''}\parallel \overline{ac'} \), luego \( \overline{ac''}=\overline{ac'} \) y el punto de corte de esta recta con \( \overline{bc'}=\overline{bc''} \) es \( c'=c'' \), contradicción.

24 Noviembre, 2014, 02:29 am
Respuesta #35

Carlos Ivorra

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Demostramos ahora el segundo y último resultado que necesitamos para seguir definiendo los conceptos geométricos básicos. El teorema de Desargues es también un teorema de la geometría proyectiva, luego tiene varias traducciones al caso afín. La prueba requiere el axioma de las paralelas. La versión básica es la siguiente:

Teorema de Desargues  \( \lnot Col(abc)\land Cp(abca')\land \overline{ab}\parallel \overline{a'b'}\land \overline{ab}\neq \overline{a'b'}\land \overline{ac}\parallel \overline{a'c'}\land \overline{ac}\neq\overline{a'c'}\land  \) \( Col(oaa')\land Col(obb')\land Col(acc')\rightarrow \overline{bc}\parallel \overline{b'c'} \)


Si dos triángulos tienen sus vértices sobre rectas concurrentes coplanares, y los lados coloreados en la figura son paralelos, entonces los lados restantes también son paralelos.

Demostración:  Se cumple que \( o\notin \overline{ab} \), pues en caso contrario la recta \( R=\overline{ob}=\overline{ab} \) contendría también a \( b' \) y a su vez a \( a' \), luego \( \overline{ob}=\overline{a'b'} \), en contra de lo supuesto. Igualmente se concluye que \( o\notin \overline{ac} \).

Por otro lado, si  \( o\in \overline{bc} \) concluimos igualmente que \( \overline{bc}=\overline{b'c'} \), y en particular \( \overline{bc}\parallel \overline{b'c'} \), que es lo que queremos probar. Por lo tanto podemos suponer que \( o\notin \overline{bc} \).

En definitiva, las rectas \( \overline{aa'} \), \( \overline{bb'} \) y \( \overline{cc'} \) son distintas dos a dos y su único punto común es \( o \).

Distinguimos dos casos:

Caso 1: \( \lnot \overline{ob}\parallel \overline{ac} \).

Entonces la paralela a \( \overline{ob} \) por \( a \) no es \( \overline{ac} \), luego no es paralela a \( \overline{a'c'} \) (pues su única paralela por \( a \) es \( \overline{ac} \)) luego la corta en un punto \( l \).

Sea \( m \) el punto de corte de \( \overline{al} \) y \( \overline{oc} \) (existe porque \( \overline{oc} \) corta a \( \overline{ob} \), luego también a \( \overline{al} \), por ser paralela.

Sea \( n \) el punto de corte de \( \overline{b'l} \) y \( \overline{ab} \). (Si no hubiera punto de corte significaría que \( \overline{b'l} \) sería la paralela a \( \overline{ab} \) por \( b' \), pero ésta es \( \overline{a'b'} \), luego tendríamos que \( l=a' \), pues ambos serían el punto de corte de esta recta con \( \overline{a'c'} \), pero entonces \( \overline{al}=\overline{aa'} \) no sería paralela a \( \overline{ob} \), contradicción.)


Podemos aplicar el teorema de Papos-Pascal al hexágono que muestra la figura de arriba a la derecha (tanto si las rectas que contienen a sus vértices son paralelas o secantes, pues tenemos probadas las dos versiones), y la conclusión es que \( \overline{on}\parallel \overline{a'l} \).

Seguidamente lo aplicamos al hexágono indicado en la figura de la segunda fila a la izquierda, lo que nos da que \( \overline{mn}\parallel \overline{bc} \).

Por último el hexágono de la segunda fila a la derecha nos da que \( \overline{nm}\parallel \overline{b'c'} \). Concluimos que \( \overline{bc}\parallel \overline{mn}\parallel \overline{b'c'} \).

Caso 2: \( \overline{ob}\parallel \overline{ac} \). Por reducción al absurdo, supongamos que \( \lnot \overline{bc}\parallel \overline{b'c'} \). Entonces una de las dos rectas, \( \overline{bc} \) o bien \( \overline{b'c'} \) no es paralela a \( \overline{oa} \). Por la simetría de las hipótesis no perdemos generalidad si suponemos que es \( \overline{bc} \).

Consideramos la paralela a \( \overline{bc} \) por \( b' \), que tiene que cortar a \( \overline{oc} \) en un punto \( c'' \), porque \( \overline{oc} \) corta a \( \overline{bc} \), luego también a sus paralelas.

Además \( c''\neq c' \), porque estamos suponiendo que \( \ovelline{b'c'} \) no es paralela a \( \overline{bc} \).

Ahora los puntos \( b-a-c-b'-a'-c'' \) cumplen el caso 1 en lugar de \( a-b-c-a'-b'-c' \), es decir, tenemos dos triángulos con vértices sobre rectas concurrentes con dos pares de lados paralelos y \( \overline{oa} \) no es paralela a \( \overline{bc} \). La conclusión es que \( \overline{ac}\parallel \overline{a'c''} \), pero entonces \( \overline{a'c'}\parallel \overline{a'c''} \) y \( c'=c'' \), contradicción.


Ahora probamos algunas variantes:

Teorema de Desargues (variantes) Supongamos \( \lnot Col(abc)\land Cp(abca')\land \overline{ab}\parallel \overline{a'b'}\land \overline{ab}\neq \overline{a'b'}\land \overline{ac}\parallel \overline{a'c'}\land \overline{ac}\neq \overline{a'c'} \). Entonces:

a)    \( \overline{bc}\parallel \overline{b'c'}\land \overline{bc}\neq \overline{b'c'}\land Col(oaa')\land Col(obb')\rightarrow Col(occ') \)

b)    \( \overline{bc}\parallel \overline{b'c'}\land \overline{bc}\neq \overline{b'c'}\land \overline{aa'}\parallel \overline{bb'}\rightarrow \overline{cc'}\parallel \overline{aa'}\land \overline{cc'}\parallel \overline{bb'} \)

c)    \( \overline{aa'}\parallel \overline{bb'}\land \overline{aa'}\parallel \overline{cc'}\rightarrow \overline{bc}\parallel \overline{b'c'} \)

El apartado a) es el recíproco del teorema anterior: Si suponemos que los lados de los triángulos son paralelos dos a dos y que dos pares de vértices están sobre rectas secantes, entonces el tercer par de vértices está sobre una recta concurrente con las otras dos.

El apartado b) es lo mismo que a) pero cambiando concurrentes por paralelas.

El apartado c) es el análogo a la versión que hemos probado del teorema de Desargues pero con rectas paralelas en vez de concurrentes.


Demostración: a) La recta \( \overline{oc} \) corta a \( \overline{bc} \), luego también a su paralela \( \overline{b'c'} \) en un punto \( c'' \). Entonces \( a, b, c, a', b', c'' \) están en las condiciones del teorema de Desargues ya demostrado: como \( \overline{bc}\parallel \overline{b'c''} \) y \( \overline{ba}\parallel \overline{b'a'} \), concluimos que \( \overline{ac}\parallel \overline{a'c''} \), luego \( \overline{a'c''} \) es la paralela a \( \overline{ac} \) por \( a' \), luego es \( \overline{a'c''}=\overline{a'c'} \), luego \( c''=c' \), porque ambos son el corte de esta recta con \( \overline{b'c'} \), luego \( \overline{cc'}=\overline{0c''} \) pasa por \( o \).

b) Si \( \overline{cc'} \) no es paralela a \( \overline{aa'} \), ambas rectas se cortan en un punto \( o \), pero entonces estamos en las condiciones de a), lo que implica que \( Col(obb') \), en contradicción con que \( \overline{bb'} \) es paralela a\( \overline{aa'} \).

c) Si \( \overline{bc} \) no es paralela a \( \overline{bc'} \) podemos considerar la paralela a \( \overline{bc} \) por \( c' \), que cortará a \( \overline{bb'} \) en un punto \( b'' \), pero entonces \( a, b, c, a', b'', c' \) están en las condiciones de b), luego \( \overline{bb''}\parallel \overline{aa'} \), luego \( \overline{bb''} \) es la paralela a \( \overline{cc'} \) por \( b \), luego es \( \overline{bb'} \), luego \( b'=b'' \) y tenemos que \( \overline{bc} \) sí que es paralela a \( \overline{b'c'} \), contradicción.

24 Noviembre, 2014, 10:59 pm
Respuesta #36

Carlos Ivorra

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Para terminar con el teorema de Desargues me falta una consecuencia que necesitaremos más adelante:

Teorema 122   \( Cp(R,S)\land a,c,a¡,c'\in R\setminus S\land b,d,b',d'\in S\setminus R\land  \) \( \overline{ab}\parallel \overline{a'b'}\land \overline{ad}\parallel \overline{a'd'}\land \overline{bc}\parallel \overline{b'c'}\rightarrow \overline{cd}\parallel \overline{c'd'} \)

En las condiciones que muestra la figura, donde las líneas del mismo color son paralelas, también se cumple que \(  \overline{cd}\parallel \overline{c'd'} \).


Demostración:  Si \( b=d \) el paralelismo implica que \( b'=d' \) y la conclusión es una de las hipótesis. Igualmente se razona si \( a=c \), de modo que podemos suponer que los puntos \( a, b, c, d \) son distintos dos a dos. También podemos suponer que \( a\neq a' \) pues en caso contrario concluimos que \( d=d', b=b', c=c' \) y de nuevo la conclusión es trivial.

Supongamos que \( \lnot \overline{cd}\parallel \overline{c'd'} \). Entonces una de las dos rectas no es paralela a \( \overline{ab} \), luego tampoco a \( \overline{a'b'} \). No perdemos generalidad si suponemos que es \( \overline{cd} \) la que no es paralela. Llamemos \( e \) al punto de corte entre \( \overline{ab} \) y \( \overline{cd} \).

Si \( R \) y \( S \) son secantes, sea \( T \) la recta que pasa por el punto de corte y por \( e \). Si son paralelas, sea \( T \) la paralela a ambas que pasa por \( e \). Como \( \overline{ab} \) corta a \( T \), también lo hace su paralela \( \overline{a'b'} \) en un punto \( e' \).


Ahora aplicamos dos veces el teorema de Desargues (sea en la versión para rectas coincidentes o paralelas) en las situaciones que indica la figura:


La primera aplicación nos da que \( \overline{ed}\parallel \overline{a'd'} \) y la segunda que \( \overline{ed}=\overline{ec}\parallel \overline{e'c'} \). Por lo tanto \( \overline{e'd'} \) y \( \overline{e'c'} \) son ambas la paralela a \( \overline{ec} \) por \( e' \), luego \( \overline{e'c'}=\overline{ec}=\overline{c'd'} \) es paralela a \( \overline{ec}=\overline{cd} \).

27 Noviembre, 2014, 01:17 am
Respuesta #37

Carlos Ivorra

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Necesitamos un último resultado preliminar: la definición y un par de caracterizaciones de los planos paralelos. La definición de planos paralelos resulta de subir una dimensión la definición de rectas paralelas:

Diremos que dos planos \( P_1 \) y \( P_2 \) son paralelos si están contenidos en una variedad tridimensional y, o bien son iguales, o bien son disjuntos.

Obviamente, si incluimos los axiomas que afirman que el espacio es tridimensional, entondes dos planos son paralelos si y sólo si son disjuntos, pero sin este axioma tenemos que suponer que ambos están contenidos en una variedad tridimensional, igual que la definición de rectas paralelas exige que sean coplanares.

El teorema que necesitamos es el siguiente:

Teorema 123 Dados dos planos \( P_1 \) y \( P_2 \), las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) \( P_1\parallel P_2 \)

b) Para todo plano \( Q \), si \( R=P_1\cap Q \) es una recta y \( P_2\cap Q\neq \emptyset \), entonces \( P_2\cap Q \) es una recta paralela a \( R \).

c) Existen dos pares de rectas secantes \( R_1, R_2\subset P_1 \) y \( S_1, S_2\subset P_2 \) tales que \( R_1\parallel S_1 \) y \( R_2\parallel S_2 \).

Demostración:  a) \( \rightarrow \) b)    Sea \( p\in Q\cap P_2 \). Si \( P_1=P_2 \) la conclusión es trivial, luego podemos suponer que \( P_1\cap P_2=\emptyset \). Sea \( A \) una variedad tridimensional tal que \( P_1, P_2\subset A \). Entonces \( R\subset A \) y \( p\in A \) (pero \( p\notin R \)) luego \( Q\subset A \) y por el teorema 110 tenemos que \( S=Q\cap P_2 \) es una recta. Como \( R, S\subset Q \) tenemos que son rectas coplanares, y \( R\cap S=\emptyset \), pues en caso contrario la intersección estaría en \( P_1\cap P_2=\emptyset \). Por lo tanto \( R\parallel S \), como había que probar.

b) \( \rightarrow \) c)  Podemos suponer que \( P_1\neq P_2 \). Tomemos un punto \( p\in P_2\setminus P_1 \) y sean \( R_1, R_2\subset P_1 \) dos rectas secantes cualesquiera.

Por a), los planos \( Pl(R_1, p) \) y \( Pl(R_2, p) \) cortan a \( P_2 \) en rectas \( S_1 \) y \( S_2 \) paralelas a \( R_1 \) y \( R_2 \), respectivamente, que contienen a \( p \), luego son secantes (no pueden ser iguales, ya que entonces \( R_1 \) y \( R_2 \) tendrían que ser paralelas). Por lo tanto se cumple c).

c) \( \rightarrow \) a) Sea \( p\in R_1\cap R_2 \) y \( q\in S_1\cap S_2 \).

Si \( p=q \) entonces \( R_1=S_2 \) y \( R_2=S_2 \), luego \( P_1=P_2 \). Podemos suponer, pues, que \( p\neq q \).

Si \( R_1=S_1 \), entonces \( Pl(R_2, S_2) \) contiene a \( p, q \), luego a \( R_1=\overline{pq} \), luego de nuevo \( P_1=Pl(R_2, S_2)=P_2 \).

Así pues, podemos suponer que \( R_1\neq S_1 \) y, por simetría, que \( R_2\neq S_2 \).

Sea \( Q_1=Pl(R_1, S_1) \), \( Q_2=Pl(R_2, S_2) \). Así \( Q_1\cap Q_2=\overline{pq} \) (notemos que si fuera \( Q_1=Q_2 \) también tendríamos que \( P_1=P_2 \)). Entonces \( A=Q_1+Q_2 \) tiene dimensión 3 por el teorema 109, y ciertamente \( P_1, P_2\subset A_3 \).

Falta probar que \( P_1\cap P_2=\emptyset \). En caso contrario (y suponiendo además que \( P_1\neq P_2 \)) el teorema 110 implica que \( C=P_1\cap P_2 \) es una recta. Como no puede ser paralela tanto de \( R_1 \) como de \( R_2 \), podemos suponer que no es paralela a \( R_1 \), y por lo tanto tampoco a \( S_1 \). Pero \( C, R_1\subset P_1 \) son coplanares, luego secantes, e igualmente \( C \) y \( S_1 \). Más aún, \( P_1=Pl(C, R_1) \), \( P_2=Pl(C, S_1) \).

Ahora bien, \( S_1 \) es la paralela a \( R_1 \) por cierto punto de \( C \), luego el plano que las contiene a las dos es \( P_1 \), luego \( S_1\subset P_1 \), luego \( P_2\subset P_1 \) y, de hecho, \( P_2=P_1 \), contradicción.

28 Noviembre, 2014, 09:27 pm
Respuesta #38

Carlos Ivorra

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Imaginemos que quisiéramos demostrar el teorema de Tales, o el de Pitágoras (cosa que nos queda algo lejos). Para ello necesitaríamos definir primero la longitud de un segmento (para poder hablar de cuadrado de la hipotenusa, etc.) y eso se suele hacer por comparación con una unidad: fijado un segmento unidad, otro segmento tiene longitud \( p/q \) si es posible dividir el segmento unidad en \( q \) partes iguales y unir \( p \) de ellas hasta formar un segmento de la longitud del que queremos medir. Luego se ve que hay segmentos cuya longitud no puede expresarse de este modo respecto a la longitud del segmento unitario, pero los números racionales \( r \) tales que los segmentos de longitud \( r \) son menores que el segmento dado forman una cortadura de \( \mathbb Q \) que determina un número real \( \mathbb R \), y dicho número real se toma como definición de la longitud del segmento.

En la geometría de Tarski no podemos asociar un número real a cada segmento, porque no podemos definir el concepto de número real, pero sí que podemos definir geométricamente una suma y un producto sobre los puntos de la recta, de modo que los propios puntos puedan representar el papel de números y tenga sentido hablar del cuadrado de la hipotenusa en el teorema de Pitagoras, o de las razones entre los lados de un triángulo en el teorema de Tales.

En este mensaje vamos a definir la suma geométrica en una recta.

Conviene introducir algunas notaciones auxiliares. Por ejemplo, diremos que unos puntos \( a_1,\ldots, a_n \) están en posición aritmética respecto de unos puntos \( o \) y \( e \) si se cumple

\( Ar_{oe}a_1,\ldots, a_n\leftrightarrow 0\neq e\land Col(o, e, a_1, \ldots, a_n) \),

es decir, si \( o \) y \( e \) son puntos distintos y todos los demás están en la recta que determinan. Diremos que los puntos están en posición aritmética respecto de \( o \) y \( e \) con punto auxiliar \( e' \) si

\( Ar_{oe}^{e'}a_1,\ldots, a_n\leftrightarrow \lnot Col(oee')\land Col(o, e, a_1, \ldots, a_n) \),

lo que supone exigir que los tres puntos \( o \), \( e \) y \( e' \) no sean colineales (y en particular que sean distintos).

Además escribiremos

\( Par(abcd)\leftrightarrow a\neq b\land (c\neq d\rightarrow \overline{ab}\parallel \overline{dc}) \).

Esto significa que \( a \) y \( b \) son distintos y \( d \) está en la paralela a \( \overline{ab} \) que pasa por \( c \).

Ahora podemos definir la suma de dos puntos con respecto a tres puntos dados \( o, e, e' \):

\( Su_{oe}^{e'}(abc)\leftrightarrow Ar_{oe}^{e'}abc\land  \) \( \exists a'a''(Par(ee'aa')\land Col(oe'a')\land Par(oea'a'')\land Par(oe'ba'')\land Par(ee'a''c)) \)


Más detalladamente, tenemos una recta \( R \) en la que hemos seleccionado un origen \( o \), una unidad \( e \) y aparte un punto auxiliar \( e' \) fuera de \( R \), tomamos dos puntos \( a, b \) en \( R \) y definimos su suma (respecto a \( o, e, e' \)) como el punto de \( R \) construido de este modo:

1) Trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( a \) y consideramos el punto \( a' \) en el que corta a \( \overline{oe'} \). Dicho punto existe porque \( \overline{oe'} \) corta a \( \overline{ee'} \), luego también a todas sus paralelas. En el caso en que \( a=o \) entonces \( a'=o \) por definición y si \( a=e \) entonces \( a'=e' \).

2) Trazamos la paralela a \( \overline{oe} \) por \( a' \) y la paralela a \( \overline{oe'} \) por \( b \). Ambas rectas se cortarán en un punto \( a'' \), porque como la segunda recta corta a \( \overline{oe} \), también corta a sus paralelas. Si \( a=o \) entonces \( a'=0 \), la primera recta es la propia \( R=\overline{oe} \) y \( a''=b \) por definición.

3) Trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( a'' \) y llamamos \( c \) (la suma) al punto donde corta a \( R \) (que será el propio \( b \) si \( a=o \)).

Es claro que esta construcción determina un único punto \( c \), es decir, que se cumple:

\( Ar_{oe}^{e'}ab\rightarrow \exists! c\ Su_{oe}^{e'}abc \)

Usaremos la notación \( c=a+b \) cuando no sea necesario especificar las elecciones de \( o, e, e' \).

Al detallar la definición de suma hemos destacado el caso particular \( a=o \), y hemos visto que \( o+b=b \).

También es claro que \( a+o=a \), porque en este caso, una vez hemos obtenido el punto \( a' \), la paralela a \( \overline{oe'} \) que pasa por \( b=o \) es \( \overline{oe'} \), luego \( a''=a' \), la paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( a''=a' \) es de nuevo \( \overline{aa'} \), luego \( c=a \).

Así pues, la suma que acabamos de definir tiene a \( o \) por elemento neutro. Otra propiedad elemental es que \( a+b=a+\bar b\rightarrow b=\bar b \), pues las paralelas a \( \overline{oe'} \) por \( b \) y \( \bar b \) serán rectas distintas, que cortarán a la paralela a \( \overline{oe} \) por \( a' \) en dos puntos distintos \( a'' \) y \( \bar a'' \), luego las paralelas a \( \overline{ee'} \) por dichos puntos serán dos rectas distintas que cortarán a \( \overline{oe} \) en dos puntos distintos \( a+b\neq a+\bar b \).

Veamos que la suma es conmutativa:

Teorema 124 \( Ar_{oe}^{e'}ab\rightarrow a+b=b+a \).

Demostración: Lo tenemos ya probado si \( a=0 \) o si \( b=0 \), y es trivial si \( a=b \), luego podemos descartar estos casos. La figura siguiente muestra la construcción de \( a+b \) y la de \( b+a \):


Observemos que \( a\neq b \) implica que \( a'\neq b' \), luego las paralelas \( \overline{a'a''} \) y \( \overline{b'b''} \) son distintas, luego \( a''\neq b'' \).

El punto \( c \) se obtiene, por una parte, como el corte con \( \overline{oe} \) de la paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( a'' \) y como el corte con  \( \overline{oe} \) de la paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( b'' \). Para probar que se trata del mismo punto basta demostrar \( \overline{a''b''}\parallel \overline{ee'} \), pues así la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( a'' \) es la misma que la paralela por \( b'' \).

Para ello llamamos \( d \) al corte entre \( \overline{ba''} \) y \( \overline{b'b''} \) (existe, porque \( \overline{ba''} \) corta a \( \overline{a'a''} \), que por construcción es paralela a \( \overline{oe} \), luego a \( \overline{b'b''} \), y si una recta corta a otra, corta a todas sus paralelas.

Igualmente podemos considerar el punto \( f \) donde \( \overline{ab''} \) corta a \( \overline{a'a''} \).

Ahora aplicamos el recíproco del teorema de Desargues a los triángulos \( aa'f \) y \( bb'd \). Por construcción tienen sus lados paralelos dos a dos, y las rectas \( \overline{a'b'} \) y \( \overline{ab} \) se cortan en \( o \), luego concluimos que \( \overline{fd} \) también pasa por \( o \).

En segundo lugar aplicamos el teorema de Desargues a los triángulos \( b'bo \) y \( b''a''f \). Las rectas \( \overline{b'b''} \), \( \overline{ba''} \) y \( of \) se cortan en \( d \) y los triángulos tienen dos pares de lados paralelos. Concluimos que el tercer par también es paralelo, es decir, que \( \overline{bb'}\parallel \overline{a''b''} \), luego \( \overline{a''b''}\parallel \overline{ee'} \), como había que probar.

Ahora demostramos la asociatividad:

Teorema 125 \( Ar_{oe}^{e'}abc\rightarrow a+(b+c)=(a+b)+c \)

Demostración: Como ya hemos probado la conmutatividad, esto equivale a \( (b+a)+c=(b+c)+a \).

Si alguno de los puntos es \( o \) la conclusión se sigue de la conmutatividad ya demostrada. Lo mismo vale en el caso \( a=c \), luego podemos suponer que \( a\neq c \), luego \( b+a\neq b+c \). Además ambos son distintos de \( b \), o de lo contrario \( a=o \) o bien \( b=o \), porque ya hemos probado que la suma es simplificable.

La figura siguiente muestra la construcción de \( (b+a)+c \) y de \( (b+c)+a \). En ambos casos obtenemos el punto \( x \), y para probar que esto no es casual tenemos que demostrar que \( \overline{b''a''}\parallel \overline{ee'} \).


Ahora bien, la parte de la figura por encima de la horizontal que pasa por \( b' \) es idéntica a la figura 2, con exactamente las mismas hipótesis (con \( b' \) en lugar de \( o \)), luego aplicando exactamente igual el teorema de Desargues llegamos a la conclusión. (Llegamos a que \( \overline{b''a''}\parallel \overline{(b+a)'(b+a)} \), luego también \( \overline{b''a''}\parallel \overline{ee'} \).

Teorema 126 \( Ar_{oe}^{e'}a\rightarrow \exists ! c\ c+a=o \).

Demostración: La unicidad es inmediata porque ya hemos probado que la suma es simplificable: si \( c+a=\bar c+a=0 \), entonces \( c=\bar c \). Para probar la existencia de \( c \) podemos suponer que \( a\neq o \), pues en caso contrario sirve \( c=o \).

Entonces tomamos \( c=S_oa \). La figura muestra la construcción de \( c+a \). Trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( c \) y la cortamos con \( \overline{oe'} \) en \( c' \), luego trazamos la paralela a \( \overline{oe} \) por \( c' \) y la cortamos en \( c'' \) con la paralela a \( oe' \) por \( a \). Finalmente trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( c'' \), que es la línea roja, y tenemos que probar que pasa por \( o \).


Para ello observamos que \( c-\overline{oc'}-a \)y que \( a\sim_{oc'}-c'' \), porque la recta \( \ovelrine{ac''} \) es paralela a \( \overline{oc'} \), luego ésta no puede separar puntos de aquélla. Por lo tanto \( c-\overline{oc'}-c'' \), y así podemos aplicar el teorema 115 d):

\( \overline{oc}\parallel \overline{c'c''}\land oc\equiv c'c''\land c-\overline{cc'}-c''\rightarrow \overline{oc''}\parallel \overline{cc'} \), luego \( \overline{oc''}\parallel \overline{ee'} \), y así se trata de la recta paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( c'' \), como había que probar.

Con esto hemos dotado a cada recta de una estructura de grupo.

Teorema 126 La suma en una recta no depende de la elección de \( e' \).

Demostración: Tomamos otro punto \( e'' \) tal que \( \lnot Col oee'' \) y vamos a probar que \( a+b \) es el mismo tanto si lo calculamos con \( e' \) como con \( e'' \). Si \( a=o\lor b=o \) es inmediato, así que suponemos lo contrario. También podemos suponer que \( e'\neq e'' \).


Distinguimos dos casos:

Caso 1: Los puntos \( o, e, e', e'' \) son coplanares.

La figura muestra la construcción de las dos sumas. Podemos suponer que \( a'\neq a'' \), pues en caso contrario \( b'=b'' \) y la suma \( c \) es la misma en las dos construcciones. Hay que probar que al trazar la paralela a \( \overline{e'e''} \) por \( b'' \) cortamos a \( \overline{oe} \) en el mismo punto \( c \) donde la corta la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( b' \).

Distinguimos dos subcasos:

Caso 1a: \( \lnot \overline{a'a''}\parallel \overline{oe} \)

Esto implica que las paralelas a \( \overline{oe} \) por \( a' \) y \( a'' \) son distintas, como muestra la figura. Podemos aplicar la versión del teorema de Desargues para rectas paralelas a los triángulos \( oa'a'' \) y \( bb'b'' \) y concluir que \( \overline{a'a''}\parallel \overline{b'b''} \) (no podemos aplicarlo si \( Col(oa'a'') \), pero eso equivale a \( Col(oe'e'') \), y entonces la paralela a \( \overline{oe'} \) por \( b \) es la misma que la paralela a \( \overline{oe''} \) por \( b \), luego también son colineales \( b, b', b'' \) y también concluimos que \( \overline{a'a''}\parallel \overline{b'b''} \)).

Ahora aplicamos el teorema de Desargues a los triángulos \( aa'a'' \) y \( cb'b'' \) para concluir que \( \overline{b''c}\parallel \overline{a''a} \), luego \( \overline{b''c} \) es la paralela a \( \overline{ee''} \) por \( b'' \), como había que probar.

Caso 1b:  \( \overline{a'a''}\parallel \overline{oe} \)

En este caso \( \overline{a'a''}=\overline{b'b''} \) y podemos aplicar el teorema 122.

Caso 2: Los puntos \( o, e, e', e'' \) no son coplanares. (Este caso lo ilustra igualmente la figura anterior, imaginándola tridimensional.)

Entonces las rectas \( \overline{oa'}, \overline{oa''}, \overline{bb'}, \overline{bb''} \) cumplen el teorema 123 c), luego \( Pl(oaa')\parallel Pl(bb'b'') \). Llamemos \( P_1 \) y \( P_2 \) a estos planos.

Por otra parte, las rectas \( \overline{a'b'} \) y \( \overline{a''b''} \) son paralelas (pues lo son a \( \overline{ab} \)) y el plano \( P \) que las contiene corta a \( P_1 \) y \( P_2 \) en \( \overline{a'a''} \) y \( \overline{b'b''} \). El teorema 123 b) implica que estas rectas son paralelas.

Por la parte c) de dicho teorema, aplicado a las rectas \( \overline{aa'},\overline{a'a''},\overline{cb'},\overline{b'b''} \), obtenemos que los planos \( Q_1=Pl(aa'a'') \) y \( Q_2=Pl(cb'b'') \) son paralelos, luego el plano \( Q \) que contiene a las paralelas \( \overline{ac} \) y \( \overline{a''b''} \) corta a estos planos en \( \overline{aa''} \) y \( \overline{cb''} \), luego concluimos que estas rectas son paralelas, luego \( \overline{cb''} \) es la paralela a \( \overline{ee''} \) por \( b'' \), luego ésta corta a \( \overline{oe} \) en \( c \), como había que probar.

Como consecuencia:

Teorema 127 La suma en una recta tampoco depende de la elección de \( e \).

Demostración: Consideremos tres puntos \( o, e, \bar e \) colineales distintos. Fijemos un punto \( e' \) no colineal con ellos y sea \( \overline e' \) el punto en el que la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( \bar e \) corta a \( \overline{oe'} \).

Ahora basta observar que en la definición de la suma, los puntos \( e \) y \( e' \) sólo se usan para determinar paralelas, por lo que la suma definida con \( e \) y \( e' \) es la misma que la definida con \( \bar e \) y \( \bar e' \), pues ambas tienen las mismas paralelas, que a su vez es la misma que la definida con \( \bar e \) y \( e' \), por el teorema anterior.

Obviamente la suma sí que depende de la elección del origen \( o \), ya que éste es el elemento neutro.

Terminamos con un resultado que necesitaremos después:

Teorema 128  \( c=(a+b)_{oe}^{e'}\land Ar_{oe'}(a'b'c')\land Par(ee'aa')\land Par(ee'bb')\land Par(ee'cc') \) \( \rightarrow c'=(a'+b')_{oe'}^e \).

Esto significa que la proyección paralela de la recta \( \overline{oe} \) en la recta \( \overline{oe'} \), es decir, la aplicación que a cada punto \( a \) le asigna el punto \( a' \) donde la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( a \) corta a \( \overline{oe'} \) es un isomorfismo de grupos.


Demostración: Sin más que aplicar las definiciones se comprueba trivialmente que si \( c=(a+b)_{oe}^{e'} \) entonces \( c'=(b'+a')_{oe'}^e \).

29 Noviembre, 2014, 02:43 pm
Respuesta #39

Carlos Ivorra

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Definimos ahora una multiplicación en una recta respecto a un origen \( o \), una unidad \( e \) y un punto auxilar \( e' \):

\( Pr_{oe}^{e'}abc\leftrightarrow Ar_{oe}^{e'}abc\land \exists b'(Par(ee'bb')\land Col(oe'b)\land Par(e'ab'c)) \)

En palabras, la construcción del producto de los puntos \( a \) y \( b \) se realiza como sigue:


1) Trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( b \) y consideramos el punto \( b' \) donde corta a \( \overline{oe'} \) (si \( b=o \) será \( b'=o \))

2) Trazamos la paralela a \( \overline{ae'} \) por \( b' \) y el producto es el punto \( c \) donde ésta corta a \( \overline{oe} \) (que será \( o \) si \( b=b'=o \)).

Si consideramos que \( \overline{oe} \) tiene longitud 1, entonces el teorema de Tales implica que \( \dfrac{oc}{oa}=\dfrac{ob'}{oe'}=\dfrac{ob}{oe}=ob \), luego la longitud de \( oc \) es el producto de las longitudes de \( oa \) y \( ob \).

Pero aquí no contamos con el teorema de Tales, por lo que no nos vale esta demostración, sino que tomamos esta construcción como definición de producto y, por ello, no será de extrañar que más adelante podamos demostrar el teorema de Tales.

Es claro que la construcción que hemos definido determina un único punto \( c \) para cada par de puntos \( a \) y \( b \), luego podemos escribir \( c=ab \) cuando no sea necesario destacar los puntos \( o, e, e' \) respecto a los que se realiza la construcción.

Ya hemos observado que \( a\cdot o = o \), y también es trivial que \( o\cdot b=o \), porque entonces la paralela a \( \overline{ae'}=\overline{oe'} \) que pasa por \( b' \) es \( \overline{oe'} \) y corta a \( \overline{oe} \) en \( c=o \).

También es inmediato que \( ae=ea=a \). Por ejemplo, si \( b=e \) la paralela a \( \overline{ee'} \) por \( b=e \) es \( \overline{ee'} \), que corta a \( \overline{oe'} \) en \( b'=e' \), luego la paralela a \( \overline{ae'} \) por \( b' \) es \( \overline{ae'} \), y corta a \( \overline{oe} \) en \( c=a \).

En particular vemos que, a diferencia de lo que sucedía con la suma, el producto sí que depende de la elección de \( e \), pues éste actúa como elemento neutro.

Teorema 129 El producto geométrico no depende de la elección del punto auxiliar \( e' \).

Demostración: Consideramos otro punto \( e'' \) tal que \( \lnot Col(oee'') \). La figura siguiente muestra la construcción del producto de dos puntos \( a \) y \( b \) respecto de ambos puntos auxiliares:


Caso 1: Los puntos \( o, e, e', e'' \) son coplanares.

Podemos suponer que \( e'\neq e'' \). Sea  \( c \) el producto respecto de \( e' \) y vamos a probar que también es el producto respecto de \( e'' \). Esto equivale a probar que la paralela a \( \overline{ae''} \) por \( b'' \) es \( \overline{b''c} \).

Caso 1a: Si \( \lnot Col(oe'e'') \), aplicamos el teorema de Desargues a los triángulos \( ee'e'' \) y \( bb'b'' \), que tienen dos pares de lados paralelos, luego también \( \overline{e'e''}\parallel \overline{b'b''} \).

A su vez esto nos permite aplicar el teorema a los triángulos \( ae'e'' \) y \( cb'b'' \), que también tienen dos pares de lados paralelos, luego \( \overline{b''c}\parallel \overline{ae''} \), como había que probar.

Caso 1b: Si \( Col(oe'e'') \), entonces \( \overline{oe'}=\overline{oe''} \) y basta aplicar el teorema 122.

Caso 2: Si los puntos \( o, e, e',e'' \) no son coplanares, podemos pensar en la figura anterior como una figura tridimensional en la que las rectas \( \overline{ee'} \) y \( \overline{ee''} \) son paralelas a \( \overline{bb'} \) y \( \overline{bb''} \) respectivamente, luego el teorema 123 implica que los planos \( Pl(ee'e'') \) y \( Pl(bb'b'') \) son paralelos.

El plano \( Pl(oe'e'') \) corta a dichos planos en las rectas \( \overline{e'e''} \) y \( \overline{b'b''} \), luego son paralelas por el teorema 123.

A su vez, las rectas \( \overline{e'e} \) y \( \overline{e'e''} \) son paralelas a \( \overline{b0c} \) y \( \overline{b'b''} \) respectivamente, luego los planos \( Pl(ae'e'') \) y \( Pl(cb'b'') \) son paralelos, y el plano \( Pl(oee'') \) los corta en las rectas \( \overline{ae''} \) y \( \overline{cb''} \), que son, por lo tanto, paralelas, como había que probar.

Veamos la asociatividad del producto:

Teorema 130 \( Ar_{oe}^{e'}abc\rightarrow a(bc)=(ab)c \)

Demostración:  Podemos suponer que \( b\neq o \), pues en otro caso la conclusión es trivial. Llamamos \( d=ab \), \( f=bc \) y \( g=dc \), de modo que lo que hay que probar es que \( af=g \).

La figura siguiente muestra la construcción de todos estos puntos:


Para que \( g=af \) sólo hace falta que la paralela a \( ae' \) por \( f' \) pase por \( g \), es decir, que la recta \( \overline{f'g} \) sea roja.

Es inmediato comprobar por la propia definición que \( Pr_{ob}^{e'}(dfg) \), luego también \( Pr_{ob}^{b'}(dfg) \), puesto que hemos visto que podemos cambiar el punto auxiliar. Esto implica que \( \overline{b'd}\parallel \overline{f'g} \), como había que probar.

La conmutatividad del producto es el teorema de Papos-Pascal:

Teorema 131  \( Ar_{oe}^{e'}ab\rightarrow ab=ba \)

Demostración: Podemos suponer que \( a\neq o\neq b \).  La figura muestra la construcción de \( c=ab \):


Para que se cumpla \( c=ba \) sólo hace falta que la paralela a \( \overline{be'} \) por \( a' \) pase por \( c \), es decir, que la recta \( \overline{a'c} \) sea verde. Pero eso es justo lo que afirma el teorema de Papos-Pascal.

La existencia de inverso es fácil de probar:

Teorema 132  \( Ar_{oe}^{e'}a\land a\neq o\rightarrow \exists b\ ba=e \)

Demostración: Trazamos la paralela a \( \overline{ee'} \) que pasa por \( a \), que cortará a \( \overline{oe'} \) en un punto \( a'\neq o \). Luego trazamos la paralela a \( \overline{ea'} \) por \( e' \) que cortará a \( \overline{oe} \) en un punto \( b \). Es inmediato comprobar que es el inverso de \( a \).

Por último probamos la propiedad distributiva:

Teorema 133  \( Ar_{oe}^{e'}abc\rightarrow a(b+c)=ab+ac \)

Demostración:  Podemos suponer que \( a\neq o \). Llamamos \( d=b+c \).


El teorema 128 nos da \( d'=(b'+c')_{oe'}^e \). Como la suma no depende del punto auxiliar, \( d'=(b'+c')_{oe'}^a \). De nuevo por el teorema 128 \( d''=(b''+c'')_{oa}^{e'} \), donde \( b''=ab \), \( c''=ac \) y \( d''=ad \). En principio, la doble prima representa la proyección paralela a \( \overline{e'a} \), pero por construcción se tienen las tres igualdades indicadas.

Como la suma tampoco depende del punto unidad, \( d''=(b''+c'')_{oe}^{e'} \). En definitiva, hemos probado que \( ad=ab+ac \), como había que probar.

Con esto tenemos probado que cada par de puntos distintos \( (o,e) \) determinan una estructura de cuerpo en la recta \( \overline{oe} \) cuyo elemento neutro para la suma es \( o \) y cuyo elemento neutro para el producto es \( e \).