Autor Tema: La axiomatización de Tarski de la geometría euclídea

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31 Octubre, 2014, 10:03 pm
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Carlos Ivorra

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Recientemente ha caído en mis manos este libro: Metamathematische Methoden in der Geometrie, de W. Schwabhäuser, W. Szmielew y A. Tarski, y es el único que conozco que desarrolla con detalle la axiomática de Tarski para la geometría euclídea.

Es la axiomatización más conocida junto con la de Hilbert, y si a la de Hilbert se le debilita uno de sus axiomas, resulta equivalente a la de Tarski. La de Tarski permite formalizar casi toda la geometría euclídea, y el "casi" es más una ventaja que un inconveniente, pues es el responsable de que se pueda demostrar que la axiomática de Tarski es consistente, completa y decidible, es decir, no se pueden demostrar contradicciones, cualquier afirmación expresable en ella es demostrable o refutable y existe un algoritmo que permite determinar si es lo uno o lo otro (sin entrar en si pueden hacer falta varios millones de años para llegar a saberlo).

Todo esto puede probarse en gran parte gracias a que la axiomática de Tarski se deja estudiar bien porque sus axiomas y conceptos primitivos son extremadamente simples. Por ejemplo, la axiomática de Hilbert tiene como términos no definidos los de punto, recta, plano y unos cuantos más, mientras que la axiomática de Tarski parte únicamente de tres conceptos no definidos: el de punto, el de "estar entre" y el de "congruencia de pares de puntos". Todos los demás conceptos geométricos (incluidos el de recta y plano) se pueden definir a partir de éstos.

Otra de sus características es que la axiomática de Tarski no depende para nada de ninguna teoría de conjuntos.

El caso es que me he puesto a digerir el libro que he citado más arriba (a pesar de que tiene demasiadas consonantes por todas partes y yo no sé ni cuatro palabras de alemán, pero como tiene muchas más fórmulas que palabras, me estoy defendiendo). Y, dado que no parece haber muchas fuentes que uno pueda consultar, por si le interesa a alguien más que sepa aún menos alemán que yo, iré contando aquí lo que vaya descifrando del "Deutsch" este rebosante de consonantes.

Toda observación, corrección o comprobación de que no estoy colando ningún teorema de contrabando en plan Euclides será bien recibida.

Voy a ir escribiendo al mismo tiempo que descifro, así que no garantizo que no quede la cosa demasiado desordenada.

Añadido:

En este mensaje he puesto un enlace a un pdf en mi página web que contiene una versión revisada y aumentada del contenido de este hilo.

31 Octubre, 2014, 10:22 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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El lenguaje de la axiomática de Tarski es especialmente austero: consta únicamente de variables, que representarán a los únicos objetos primitivos (no definidos) de la teoría, a los que llamaremos puntos, los signos lógicos, y otras dos relaciones no definidas:

  • Una relación de tres argumentos, que representaremos por \( a-b-c \), y que leeremos como que "el punto \( b \) está entre los puntos \( a \) y \( c \)",
  • Una relación de cuatro argumentos, que representaremos por \( ab\equiv cd \) y que leeremos como que "el segmento \( ab \) es congruente con el segmento \( cd \)"

Oficialmente estos tres conceptos de "punto", "entre" y "es congruente a" son conceptos sin definición, cuyas propiedades vienen determinadas por los axiomas de la teoría, pero los tres tienen una interpretación intuitiva muy concreta respecto de la cual todos los axiomas que vamos a dar son verdaderos:

  • Un punto se interpreta como lo que todo el mundo se imagina cuando se imagina un punto.

  • La relación \( a-b-c \) se interpreta como que los tres puntos están alineados y \( b \) está en medio de los otros dos (no necesariamente en el punto medio). De hecho, vamos a interpretar esta relación en términos no estrictos, con el convenio de que entre los puntos situados entre \( a \) y \( c \) se encuentran también los propios \( a \) y \( c \), de modo que las afirmaciones \( a-a-c \) y \( a-c-c \) serán siempre verdaderas (\( a \) está entre \( a \) y \( c \) e igualmente \( c \) está entre \( a \) y \( c \)).

  • La relación \( ab\equiv cd \) se interpreta como que si apoyamos los brazos de un compás en los puntos \( a \) y \( b \), respectivamente, podemos mover el compás sin cambiar su abertura para que sus brazos se apoyen en \( c \) y \( d \) respectivamente, o equivalentemente, que si copiamos los puntos \( a \) y \( b \) en un papel de calco, podemos superponer los dos puntos con \( c \) y \( d \).



Ejemplo de tres puntos que cumplen \( a-b-c \) y de cuatro puntos que cumplen \( xy\equiv zw \)


Vamos a probar (al menos si el alemán lo permite) que mediante estos tres conceptos pueden expresarse (con definiciones adecuadas a partir de ellos) "casi" todos los conceptos de la geometría euclídea, y que a partir de 11 axiomas formulados en estos términos se pueden demostrar "casi" todos los resultados de la geometría euclídea.

31 Octubre, 2014, 11:09 pm
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Presento aquí los ocho primeros axiomas de la teoría que vamos a estudiar. Además de éstos, faltarán sólo otros tres.

Convenimos en que las variables libres representan puntos arbitrarios. Por ejemplo, el primer axioma afirma que "para todos los puntos \( a \) y \( b \) se cumple que \( ab\equiv ba \):

A1  \( ab\equiv ba \)

A2  \( ab\equiv pq\land ab\equiv rs\rightarrow pq\equiv rs \)

Con estos dos axiomas podemos demostrar que la congruencia es una relación de equivalencia entre pares de puntos. En efecto, para la propiedad reflexiva fijamos dos puntos \( u \) y \( v \) y aplicamos el axioma A2 de la forma siguiente

\( ab\equiv pq\land ab\equiv rs\rightarrow pq\equiv rs \)

 \( vu\equiv uv\land vu\equiv uv\rightarrow uv\equiv uv \)

He copiado arriba el axioma tal cual está enunciado y abajo la aplicación que hago, para que se vea que la correspondencia es correcta: estoy tomando como punto \( a \) del axioma el punto \( v \), como \( b \) el punto \( u \), etc. Ahora bien, las dos premisas de la implicación (que son la misma) son casos particulares de A1, luego se cumple \( uv\equiv uv \) para todo par de puntos \( u \) y \( v \).

Para probar la simetría fijamos cuatro puntos \( a \), \( b \), \( p \), \( q \) y aplicamos como sigue el axioma A2:

\( ab\equiv pq\land ab\equiv rs\rightarrow pq\equiv rs \)

\( ab\equiv pq\land ab\equiv ab\rightarrow pq\equiv ab \)

Como la premisa \( ab\equiv ab \) se cumple por la propiedad reflexiva que ya hemos demostrado, concluimos que

\( ab\equiv pq\rightarrow pq\equiv ab \),

y esto es la propiedad simétrica.

La propiedad transitiva es esencialmente el axioma A2, pero usando la simetría ya probada podemos expresarla de la forma más habitual:

\( pq\equiv ab\land ab\equiv rs\rightarrow pq\equiv rs \)

En la relación \( ab\equiv cd \) no se excluye la posibilidad de que \( a=b \). El axioma siguiente precisa qué sucede en este caso:

A3  \( ab\equiv cc\rightarrow a=b \).

Si dos segmentos son congruentes y uno tiene los extremos iguales, el otro también.

El cuarto axioma dice que podemos construir segmentos con ciertos grados de libertad:

A4  \( \exists x(q-a-x\land ax\equiv bc) \)

En palabras: dados dos segmentos arbitrarios \( qa \) y \( bc \), existe un punto \( x \) que prolonga a \( qa \) de modo que \( ax \) sea congruente con \( bc \):


Por ejemplo, con este axioma podemos demostrar que todo par de segmentos con extremos iguales son congruentes:

Teorema 1 \( aa\equiv bb \)

Demostración: Fijados dos puntos \( a \), y \( b \), aplicamos como sigue el axioma A4:

\( \exists x(q-a-x\land ax\equiv bc) \)

\( \exists x(b-a-x\land ax\equiv bb) \)

Así pues, existe un punto \( x \) tal que \( b-a-x \) y \( ax\equiv bb \), luego por A3 tiene que ser \( a=x \), luego \( aa\equiv bb \)

El quinto axioma es conocido como el axioma de los cinco segmentos:

A5    \( a\neq b\land a-b-c\land a'-b'-c'\land ab\equiv a'b'\land bc\equiv b'c'\land ad\equiv a'd'\land bd\equiv b'd' \)\( \rightarrow cd\equiv c'd' \)


El axioma afirma que si tenemos dos figuras como las indicadas en las que los segmentos del mismo color son congruentes, entonces también se cumple que \( cd\equiv c'd' \).

La idea es que los triángulos \( abc \) y \( a'b'c' \) tienen sus tres lados iguales, luego también sus ángulos, por lo que los triángulos \( acd \) y \( a'c'd' \) tienen dos lados y un ángulo iguales, luego también el tercer lado.

No obstante, hay que señalar que la figura muestra sólo un caso particular del axioma, pues éste no exige, por ejemplo, que los cuatro puntos no sean colineales. El lector puede comprobar que todos los casos posibles del axioma son intuitivamente verdaderos.

Conviene introducir la notación:

\( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\leftrightarrow  \)\( a-b-c\land a'-b'-c'\land ab\equiv a'b'\land bc\equiv b'c'\land ad\equiv a'd'\land bd\equiv b'd' \),

(y diremos que los puntos forman una configuración exterior de cinco segmentos) de modo que el axioma A5 afirma que

\( a\neq b\land \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\rightarrow cd\equiv c'd' \).

El teorema siguiente implica esencialmente que es posible definir una suma de segmentos:

Teorema 2  \( a-b-c\land a'-b'-c'\land ab\equiv a'b'\land bc\equiv b'c'\rightarrow ac\equiv a'c' \)

Demostración: Distinguimos dos casos: si \( a\neq b \), entonces podemos aplicar A5, porque se cumple \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&a\\ a'&b'&c'&a'\end{array}\right) \) (aquí usamos el teorema 1 y el axioma A1). La conclusión es que \( ac\equiv a'c' \), como había que probar.

Si \( a=b \) no se puede aplicar A5, pero entonces tenemos que \( aa\equiv a'b' \), luego por A3 se cumple que \( a'=b' \) y entonces la congruencia \( bc\equiv b'c' \), que tenemos por hipótesis, equivale a \( ac\equiv a'c' \), que es lo que queríamos concluir.

Otra aplicación de A5 es la unicidad del axioma A4:

Teorema 3    \( q\neq a\rightarrow \exists ! x(q-a-x\land ax\equiv bc) \)

Demostración: La existencia de \( x \) la da A4. Sólo tenemos que probar la unicidad. Para ello suponemos que tenemos otro punto \( x' \) que cumple lo mismo, es decir, que

\( q-a-x\land ax\equiv bc\land q-a-x'\land ax'\equiv bc \)

El teorema 2 nos da entonces que \( qx\equiv qx' \), y la transitividad de la congruencia nos da que \( ax\equiv ax' \). Esto a su vez implica que tenemos la configuración \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}q&a&x&x\\ q&a&x&x'\end{array}\right) \). Como además tenemos por hipótesis que \( q\neq a \), podemos aplicar A5 para concluir que \( xx\equiv xx' \), luego por A3 concluimos que \( x=x' \) y la unicidad queda probada.

El sexto axioma expresa un hecho elemental:

A6   \( a-b-a\rightarrow a=b \)

En cambio, el séptimo axioma es un hecho nada trivial que Euclides asumió tácitamente. Se conoce como axioma de Pasch:

A7   \( a-p-b\land q-c-b\rightarrow \exists x(p-x-q\land c-x-a) \)


Tenemos un triángulo \( abc \) y una recta \( pq \) que pasa por el lado \( ab \) pero no por el lado \( bc \) (pues pasa por el punto \( q \) que está fuera de dicho lado). Entonces la recta tiene que pasar también por el lado \( ac \).

Nuevamente hay que tener presente que el axioma A7 incluye los casos degenerados en los que, por ejemplo, los puntos son colineales, o algunos de ellos coinciden, etc.

Por último, el octavo axioma afirma que existen puntos no colineales:

A8  \( \exists abc(\lnot a-b-c\land\lnot b-c-a\land \lnot c-a-b) \).

En el próximo mensaje extraeré las primeras consecuencias de estos últimos axiomas.

01 Noviembre, 2014, 03:08 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Los teoremas que hemos demostrado en el mensaje anterior tratan fundamentalmente sobre congruencias. Ahora demostraremos algunos resultados sobre la relación "estar entre".

Teorema 4 \( a-b-b \)

Demostración: Por A4 existe un punto \( x \) tal que \( a-b-x\land bx\equiv bb \), por A3 es \( b=x \), luego \( a-b-b \).

Teorema 5 \( a-b-c\rightarrow c-b-a \)

Demostración: Usamos el axioma A7. Para ello lo copiamos tal cual está enunciado y debajo escribimos el caso particular que empleamos:

\( a-p-b\land q-c-b\rightarrow \exists x(p-x-q\land c-x-a) \)

\( a-b-c\land b-c-c\rightarrow \exists x(b-x-b\land c-x-a) \)

Las hipótesis se cumplen por la hipótesis de este teorema y por el teorema anterior. Así pues, existe un punto \( x \) tal que \( b-x-b\land c-x-a \). Por A6 es \( x=b \), luego \( c-b-a \).

De los dos últimos teoremas se sigue obviamente:

Teorema 6   \( a-a-b \).

Quizá éste sea un buen momento para una reflexión: Que si \( b \) está entre \( a \) y \( c \) entonces está entre \( c \) y \( a \) es un hecho inmediato que no requiere ninguna demostración. Además, los axiomas que hemos usado en el teorema 5 para probar esto son mucho menos elementales que la conclusión. Pero hay que tener presente que nuestro propósito no es demostrar cosas no evidentes a partir de cosas evidentes, sino demostrar todo lo demostrable a partir de unos axiomas tan simples como sea posible desde un punto de vista conceptual, aunque esto los haga un poco artificiales y dé lugar a demostraciones completamente artificiales y retorcidas.

Los axiomas que estamos empleando tienen "condensada" la geometría de un modo artificial y "desempaquetar" toda la información que contienen es un proceso no menos artificial, pero una vez hayamos descomprimido la geometría de los axiomas en los que venía "enlatada" podremos razonar con la misma soltura que en cualquier otro hilo de este subforo, pero sabiendo que todo cuanto diremos serán consecuencias lógicas de los pocos axiomas que estamos asumiendo.

Continuamos con las propiedades de la relación "estar entre":

Teorema 7  \( a-b-c\land b-a-c\rightarrow a=b \)

Demostración: Usamos el axioma A7:

\( a-p-b\land q-c-b\rightarrow \exists x(p-x-q\land c-x-a) \)

\( a-b-c\land b-a-c\rightarrow \exists x(b-x-b\land a-x-a) \)

Con A6 deducimos que \( a=x=b \).

Teorema 8 a) \( p-a-c\land a-b-c\rightarrow p-a-b\land p-b-c \)

b) \( a-b-c\land a-c-p\rightarrow b-c-p\land a-b-p \)

c) \( a-b-c\land b-c-d\land b\neq c\rightarrow a-c-d\land a-b-d \)

Demostración: Veamos la primera parte de a). Para ello usamos A7:

\( a-p-b\land q-c-b\rightarrow \exists x(p-x-q\land c-x-a) \)

\( p-a-c\land a-b-c\rightarrow \exists x(a-x-a\land b-x-p) \)

Por A6 tenemos que \( x=a \), luego \( b-a-p \), que es equivalente a \( p-a-b \).

Ahora usamos esto para probar la primera parte de b):

\( p-a-c\land a-b-c\rightarrow p-a-b \)

\( p-c-a\land c-b-a\rightarrow p-c-b \)

El teorema 5 nos permite transformar las hipótesis de b) en el miembro izquierdo de la implicación, luego tenemos \( p-c-b \), que también por el teorema 5 equivale a \( b-c-p \).

Veamos la primera parte de c). Empezamos usando A4:

\( \exists x(q-a-x\land ax\equiv bc) \)

\( \exists x(a-c-x\land cx\equiv cd) \)

Ahora usamos la parte ya probada de b):

\( a-b-c\land a-c-p\rightarrow b-c-p \)

\( a-b-c\land a-c-x\rightarrow b-c-x \)

Tenemos \( b-c-x \) y \( b-c-d \), con \( cx\equiv cd \). Como \( b\neq c \), el teorema 3 implica que \( x=d \), luego \( a-c-d \), como había que probar.

Ahora probamos la segunda parte de a). Observemos que si \( a=b \) hay que probar \( p-a-b \), que es la parte de 1) que ya hemos probado. Supongamos, pues, que \( a\neq b \) y apliquemos la parte ya probada de 3):

\( a-b-c\land b-c-d\land b\neq c\rightarrow a-c-d \)

\( p-a-b\land a-b-c\land a\neq b\rightarrow p-b-c \)

Observemos que \( p-a-b \) lo tenemos por la parte ya probada de 1), luego tenemos la conclusión \( p-b-c \).

Ahora usamos esto para probar la segunda parte de b):

\( p-a-c\land a-b-c\rightarrow p-b-c \)

\( p-c-a\land c-b-a\rightarrow p-b-a \)

El miembro izquierdo se cumple por el Teorema 5, luego tenemos \( p-b-a \) y, por el mismo teorema, \( a-b-p \).

Por último demostramos la segunda parte de c) usando la parte ya probada:

\( a-b-c\land b-c-d\land b\neq c\rightarrow a-c-d \)

\( d-c-b\land c-b-a\land c\neq b\rightarrow d-b-a \)

Así obtenemos \( d-b-a \) y, por consiguiente, \( a-b-d \).

Teorema 9 Existen al menos tres puntos distintos.

Demostración: Por A8 existen puntos \( a \), \( b \), \( c \) que cumplen \( \lnot a-b-c\land\lnot b-c-a\land \lnot c-a-b \). Los teoremas 4 y 6 implican que tienen que ser distintos dos a dos.

Teorema 10 \( \exists c(a-b-c\land b\neq c) \)

Demostración: Por el teorema anterior podemos tomar dos puntos distintos \( u \) y \( v \), por A4 existe un punto \( c \) tal que \( a-b-c\land bc\equiv uv \), luego \( b\neq c \) por A3.

Por último:

Teorema 11  \( a-b-c\land a'-b'-c\land a-p-a'\rightarrow \exists q(p-q-c\land b-q-b') \)


Demostración: Vamos a aplicar dos veces A7. La primera vez al triángulo \( ab'a' \). Por A7, la recta \( cp \) tiene que cortar al lado \( ab' \) en un punto \( x \) que cumple \( p-x-c\land a-x-b' \). Ahora aplicamos A7 al triángulo \( abb' \). La recta \( cx \) tiene que cortar al lado \( bb' \) en un punto \( q \) que cumple \( c-q-x\land b-q-b' \).


Ahora usamos el teorema 8a):

\( p-a-c\land a-b-c\rightarrow  p-b-c \)

\( p-x-c\land x-q-c\rightarrow p-q-c \)

01 Noviembre, 2014, 12:30 pm
Respuesta #4

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Vamos a probar una variante del axioma A5, concretamente, la que parte de una configuración interior de cinco segmentos, definida como sigue:

\( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\leftrightarrow  \) \( a-b-c\land a'-b'-c'\land ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c'\land ad\equiv a'd'\land cd\equiv c'd' \)

Teorema 12   \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\rightarrow bd\equiv b'd' \)

Esto significa que si los segmentos del mismo color son congruentes, entonces también \( bd\equiv b'd' \).


Demostración: Si \( a=c \), como \( ac\equiv ac' \), por A3 también \( a'=c' \), uego por A6 \( b=c \) y \( b'=c' \), luego la hipótesis \( cd\equiv c'd' \) equivale a \( bd\equiv b'd' \), que es lo que había que probar.

Podemos suponer, pues, que \( a\neq c \). Por el teorema 10 existe un punto \( e \) tal que \( a-c-e \) y \( c\neq e \). Por A4 existe un punto \( e' \) tal que \( a'-c'-e' \) y \( c'e'\equiv ce \).


Es fácil ver que se cumple \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&c&e&d\\ a'&c'&e'&d'\end{array}\right) \), y además \( a\neq c \), luego podemos aplicar A5 para concluir que \( de\equiv d'e' \)

Sabemos que \( a-b-c \) y \( a-c-e \), luego el teorema 8b) nos da que \( b-c-e \), e igualmente \( b'-c'-e' \). Es claro entonces que se cumple \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}e&c&b&d\\ e'&c'&b'&d'\end{array}\right) \) y además \( e\neq c \), luego A5 nos da \( bd\equiv bd' \), como había que probar.

Ahora podemos probar un análogo al teorema 2:

Teorema 13    \( a-b-c\land a'-b'-c'\land ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c'\rightarrow ab\equiv a'b' \)

Demostración: Basta observar que se cumple \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&a\\ a'&b'&c'&a'\end{array}\right) \), luego por el teorema anterior \( ab\equiv a'b' \).

Conviene introducir la notación siguiente:

\( (a,b,c)\equiv (a',b',c')\leftrightarrow ab\equiv a'b'\land ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c' \)

Esto significa que las dos ternas de puntos determinan triángulos iguales (sin excluir el caso de que sean colineales).

Seguidamente probamos el análogo "interior" del axioma A4:

Teorema 14   \( a-b-c\land ac\equiv a'c'\rightarrow \exists b'(a'-b'-c'\land (a,b,c)\equiv (a',b',c')) \)

Demostración: Por el teorema 10 existe un punto \( d' \) tal que \( d'-a'-c' \), con \( d'\neq a' \). Por A4 existe un punto \( b' \) tal que \( d'-a'-b'\land a'b'\equiv ab \), y a su vez un punto \( c'' \) tal que \( d'-b'-c''\land b'c''=bc \).


(La figura no es exacta, porque no refleja que \( c'=c'' \), cosa que vamos a probar a continuación).

El teorema 8b) nos da que \( a'-b'-c'' \) y \( d'-a'-c'' \). El teorema 2 implica que \( ac\equiv a'c'' \) y el teorema 3 (con \( q=d' \)) nos da que \( c''=c' \), y entonces es claro que \( b' \) cumple todo lo requerido.

Ahora podemos demostrar un resultado destacable:

Teorema 15   \( a-b-c\land (a,b,c)\equiv (a',b',c')\rightarrow a'-b'-c' \)

Demostración: Por el teorema anterior existe un punto \( b'' \) tal que \( a'-b''-c'\land (a,b,c)\equiv (a',b'',c') \). La transitividad de la congruencia nos da que \( (a',b',c')\equiv (a',b'',c') \), y esto implica a su vez \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a'&b''&c'&b''\\ a'&b''&c'&b'\end{array}\right) \), luego el teorema 12 nos da que \( b'b''\equiv b''b'' \), luego por A3 tiene que ser \( b'=b'' \). Concluimos que \( a'-b'-c' \).

Este teorema expresa que la congruencia determina la relación "estar entre". En otros términos, si tenemos dos conjuntos de puntos que cumplan los axiomas que estamos considerando y una biyección entre ellos conserva la congruencia de pares de puntos, también conserva necesariamente la relación "estar entre".

02 Noviembre, 2014, 12:59 am
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Tres puntos son colineales si están sobre una misma recta:

\( Col(abc)\leftrightarrow a-b-c\lor b-c-a\lor c-a-b \).

El teorema 5 implica inmediatamente que esta relación es invariante por permutaciones:

Teorema 16   \( Col(abc)\rightarrow Col(bca)\land Col(cab)\land Col(cba)\land Col(bac)\land Col(acb) \)

Por los teoremas 4 y 6 tenemos además:

Teorema 17   \( Col(aab) \)

Del teorema 15 se sigue:

Teorema 18    \( Col(abc)\land (a,b,c)\equiv (a',b',c')\rightarrow Col(a',b',c') \)

Teorema 19   \( Col(abc)\land ab\equiv a'b'\rightarrow \exists c'\ (abc)\equiv (a',b',c') \)

Demostración: Supongamos en primer lugar \( a-b-c \). Por A4 existe un punto \( c' \) tal que \( a'-b'-c'\land b'c'\equiv bc \) y por el teorema 2 \( ac\equiv a'c' \), luego \( (a,b,c)\equiv (a',b',c') \).

Si \( b-a-c \) el razonamiento es similar. Ahora tomamos un punto \( c' \) tal que \( b'-a'-c'\land a'c'\equiv ac \), por el teorema 2 también \( bc\equiv b'c' \) y entonces \( (a,b,c)\equiv (a',b',c') \).

Por último, si \( a-c-b \) basta aplicar el teorema 14.

Diremos que ocho puntos forman una configuración de cinco segmentos si cumplen

\( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\leftrightarrow \) \( Col(abc)\land (a,b,c)\equiv (a',b',c')\land ad\equiv a'd'\land bd\equiv b'd' \)

Como ilustración sirve la figura tras el axioma A5, pero ahora los tres puntos colineales \( a \), \( b \) y \( c \) pueden estar ordenados de cualquier forma. El axioma A5 y el teorema 12 se combinan ahora en el teorema siguiente:

Teorema 20   \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right)\land a\neq b\rightarrow cd\equiv c'd' \)

Demostración: Si \( a-b-c \) tenemos \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\ a'&b'&c'&d'\end{array}\right) \) y basta aplicar A5.

Si \( b-a-c \) tenemos  \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}b&a&c&d\\ b''&a'&c'&d'\end{array}\right) \) y de nuevo concluimos por A5.

Si \( a-c-b \) tenemos  \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a&c&b&d\\ a'&c'&b'&d'\end{array}\right) \) y aplicamos el teorema 12.

Conviene destacar el siguiente caso particular:

Teorema 21  \( a\neq b\land Col(abc)\land ap\equiv aq\land bp\equiv bq\rightarrow cp\equiv cq \)


Si los segmentos del mismo color son congruentes, también \( cp\equiv cq \)

Demostración: Basta observar que se cumple \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&p\\ a&b&c&q\end{array}\right) \) y aplicar el teorema anterior.

Con esto podemos probar la unicidad en el teorema 19:

Teorema 22  \( a\neq b\land Col(abc)\land ac\equiv ac'\land bc\equiv bc'\rightarrow c=c' \)

Demostración: Basta aplicar el teorema anterior con \( p=c \) y \( q=c' \). La conclusión es \( cc\equiv cc' \), luego \( c=c' \).

02 Noviembre, 2014, 01:10 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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Este mensaje está dedicado a demostrar un único teorema (y dos corolarios inmediatos) cuyo contenido intuitivo es trivial, pero que no es fácil deducir de los resultados que tenemos probados:

Teorema 23   \( a\neq b\land a-b-c\land a-b-d\rightarrow a-c-d\lor a-d-c \)

Demostración:

Por A4 existen puntos \( c' \) y \( d' \) tales que

\( a-d-c'\land dc'\equiv cd \),     \( a-c-d'\land cd'\equiv cd \).

Basta probar que \( c=c'\lor d=d' \).

Aplicando de nuevo A4 existen puntos \( b' \) y \( b'' \) tales que

\( a-d'-b''\land d'b''\equiv bd \),     \( a-c'-b'\land c'b'\equiv bc \)

La situación es la que muestra la figura siguiente, en la que hemos bifurcado la recta para reflejar únicamente las relaciones que conocemos:


Demostraremos que \( b'=b'' \), como se indica en la figura.

El teorema 8b nos da:

\( a-c-d'\land a-d'-b''\rightarrow c-d'-b'' \),               \( a-b-d\land a-d-c'\rightarrow b-d-c' \)

y el teorema 2 implica entonces que \( cb''\equiv bc' \)

Igualmente:

\( a-c-d\land a-d'-b''\rightarrow a-c-b'' \) y esto junto a \( a-b-c \) implica \( b-c-b'' \)

\( a-b-d\land a-d-c'\rightarrow a-b-c' \) y esto junto a \( a-c'-b' \) implica \( b-c'-b' \)

El teorema 2 nos da que \( bb''\equiv bb' \).

\( a-b-d\land a-d-c'\rightarrow a-b-c' \), que junto a \( a-c'-b' \) implica \( a-b-b' \)

\( a-b-c\land a-c-b''\rightarrow a-b-b'' \)

y el teorema 3 implica que \( b'=b'' \).

Ahora es inmediato que se cumple la relación \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}b&c&d'&c'\\ b'&c'&d&c\end{array}\right) \)

Podemos suponer que \( b\neq c \), pues en caso contrario, como la hipótesis \( a-b-d \) equivale a \( a-c-d \), que es lo que hay que probar. Por lo tanto podemos aplicar A5 y obtenemos que \( c'd'\equiv cd \). Aplicamos de nuevo el teorema 8b:

\( a-c'-b'\land a-d-c'\rightarrow d-c'-b' \),            \( a-c-b'\land a-c-d'\rightarrow c-d'-b' \).

Esto nos permite aplicar A7 a la situación que muestra la figura:


La conclusión es que existe un punto \( e \) tal que \( d-e-d'\land c-e-c' \)

La figura muestra la situación:


Es inmediato que se cumplen las configuraciones

\( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}d&e&d'&c\\ d&e&d'&c'\end{array}\right) \)   y     \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}c&e&c'&d\\ c&e&c'&d'\end{array}\right) \),

que nos dan, respectivamente, las congruencias \( ce\equiv ec' \)  y  \( de\equiv ed' \), que aparecen reflejadas en la figura anterior (con el criterio de representar del mismo color los segmentos congruentes).

Spongamos que \( d\neq d' \) y vamos a probar que \( c=c' \). Como los cuatro segmentos azules son congruentes, tiene que ser \( c\neq d' \), o de lo contrario \( c=d'=c'=d \).

Aplicamos tres veces A4 para obtener puntos \( p \), \( r \) y \( q \) que cumplen:

\( d-d'-p\land d'p\equiv cd' \),        \( c-d'-r\land d'r\equiv d'e \),         \( p-r-q\land rq=rp \).


Se comprueba inmediatamente la configuración \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}c&d'&r&p\\ p&d'&e&c\end{array}\right) \) y, como \( c\neq d \), el axioma A5 nos da que \( pr\equiv ce \), luego también \( rq\equiv ec' \).

A su vez esto nos da la configuración \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}c&e&c'&d'\\ p&r&q&d'\end{array}\right) \)

Podemos suponer que \( c\neq e' \), porque en caso contrario \( c=c' \), que es lo que queremos probar. Así el axioma A5 nos da que \( d'c'\equiv d'q \), luego \( d'p\equiv d'q \)

Ahora usamos repetidamente el teorema 21. Para la primera aplicación se cumple que \( d'\neq r \), pues en caso contrario \( d'=e=d \)

\( d'\neq r\land Col(cd'r)\land d'p\equiv d'q\land rp\equiv rq\rightarrow cp\equiv cq \)

\( c\neq d'\land Col(cd'b)\land cp\equiv cq\land d'p\equiv d'q\rightarrow bp\equiv bq \)

\( b\neq c\land Col(bcb')\land bp\equiv bq\land cp\equiv cq\rightarrow b'p\equiv b'q \)

\( b\neq b'\land Col(bdb')\land bp\equiv bq\land b'p\equiv b'q\rightarrow dp\equiv dq \)

\( b\neq b'\land Col(bd'b')\land bp\equiv bq\land b'p\equiv b'q\rightarrow d'p\equiv d'q \)

\( d\neq d'\land Col(dd'p)\land dp\equiv dq\land d'p\equiv d'q\rightarrow pp\equiv pq \),

de donde concluimos que \( p=q \) y, como \( pq\equiv cc' \), resulta que \( c=c' \).

Sin más que aplicar el teorema 8b a la conclusión del teorema anterior obtenemos:

Teorema 24    \( a\neq b\land a-b-c\land a-b-d\rightarrow b-c-d\lor b-d-c \)

Por último probamos la versión "interior" del teorema:

Teorema 25    \( a-b-d\land a-c-d\rightarrow a-b-c\lor a-c-b \)

Demostración:

Por el teorema 10 existe un punto \( p \) tal que \( p-a-d\land p\neq a \).

Por el teorema 8a se cumple \( p-a-b\land p-a-c \), luego por el teorema anterior \( a-b-c\lor a-c-b \).

02 Noviembre, 2014, 02:21 am
Respuesta #7

luis

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hola,

estaba pensando qué decía el axioma 4; o mejor dicho, por qué ese axioma sería más útil que poner 4a:\( \exists x (a-a-x \wedge ax \equiv bc) \), o incluso 4b:\( \exists x (ax \equiv bc) \).

con la última propuesta, la prueba del teorema 1 sería...
1. por el axioma 4b, existe \( x \) tal que \( ax \equiv bb \).
2. por el axioma 3, \( a=x \)
3. luego, \( aa=bb \)

me daba la sensación de que lo que se propone ese axioma es vincular la congruencia y el alineamiento. en principio, yo optaría por separar esos temas, y pondría un axioma 4':\( \exists y (y-d-p) \). con ese axioma adicional, puedo intentar probar el axioma original.
1. por el axioma 4b, existe \( x \) tal que \( ax \equiv bc \).
2. por el axioma 4', existe \( y \) tal que \( y-a-x \).
3. luego, existen \( x,y \) tal que \( y-a-x \wedge ax \equiv bc \).

es claro que no estoy probando el axioma 4; lo escribo solamente porque lo pensé. lo que creo es que el teorema que de plantea como uso del axioma 4 no apunta al centro de lo que plantea ese axioma. me parece que lo medular es esa vinculación que mencionaba antes.

en fin, nada. solamente pensando en lo que estás mandando, escribiendo, y gerundiando.

saludando

luis

02 Noviembre, 2014, 02:38 am
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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Hola, Luis.

Gracias por tu mensaje. No veo que puedas separar el contenido de A4 en dos axiomas. Lo que dice A4 no es únicamente que puedes trasladar un segmento \( bc \) para que tenga uno de sus extremos en un punto arbitrario \( a \), sino que además puedes girarlo para que esté en cualquier recta prefijada que pase por \( a \) o, más exactamente aún, en cualquier semirrecta de extremo \( a \). Esto es una información mucho más fuerte.

A menudo, en una demostración, estás trabajando con los puntos de una recta y quieres copiar un segmento precisamente en esa recta, y no te vale que la copia se te tuerza y se salga de la recta. Los axiomas que propones no llegan a probar eso. Es verdad que para el teorema 1 la elección de q es irrelevante, pero en muchos otros casos no pasa lo mismo.

02 Noviembre, 2014, 02:52 am
Respuesta #9

luis

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estoy de acuerdo...

llegué a esa conclusión después de un rato.

saludos

luis

02 Noviembre, 2014, 11:16 am
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Ahora podemos definir la ordenación de segmentos, en el sentido de que uno es más corto que el otro:

Definición   \( ab\leq cd\leftrightarrow \exists y(c-y-d\land ab\equiv cy) \)

La interpretación geométrica es obvia: \( ab \) es más corto que \( cd \) si \( cd \) se puede cortar hasta un segmento congruente con \( ab \). Alternativamente, esto equivale a que \( ab \) se pueda prolongar hasta un segumento congruente con \( cd \):

Teorema 26   \( ab\leq cd\leftrightarrow \exists x(a-b-x-\land ax\equiv cd) \)

Demostración:  Supongamos que \( ab\leq cd \) y sea \( y \) según la definición, es decir, tal que \( c-y-d\land ab\equiv cy \). Por el teorema 19 existe un punto \( x \) tal que \( (c,y,d)\equiv (a,b,x) \), y por el teorema 15 se cumple \( a-b,x \) (y obviamente \( ax\equiv cd \)).

Recíprocamente, si existe un punto \( x \) tal que \( a-b-x\land ax\equiv cd \), por el teorema 19 existe un \( y \) tal que \( (a,x,b)\equiv (c,d,y) \), y por el teorema 15 se cumple \( c-y-d \) (y obviamente \( ab\equiv cy \)), luego \( ab\leq cd \).

Observemos que de la definición se sigue que \( ab\leq cd\leftrightarrow ba\leq cd \), mientras que el teorema anterior implica que \( ab\leq cd\leftrightarrow ab\leq dc \).

Otro hecho elemental es que esta relación es compatible con la congruencia de segmentos en el sentido siguiente:

Teorema 27   \( ab\leq cd\land ab\equiv a'b'\land cd\equiv c'd'\rightarrow a'b'\leq c'd' \)

Demostración: Sea \( y \) tal que \( c-y-d\land ab\equiv cy \). Por el teorema 19 existe un punto \( y' \) tal que \( (c,d,y)\equiv (c',d',y') \), y por el teorema 15 se cumple \( c'-y'-d' \), y además \( a'b'\equiv ab\equiv cy\equiv c'y' \), luego \( a'b'\leq c'd' \).

Veamos ahora las propiedades básicas de esta relación:

  • \( ab\leq ab \)
  • \( ab\leq cd\land cd\leq ab\rightarrow ab\equiv cd \)
  • \( ab\leq cd\land cd\leq ef\rightarrow ab\leq cd \)
  • \( aa\leq cd \)
  • \( ab\leq cd\lor cd\leq ab \)

Demostración: Probaremos únicamente la segunda y la quinta. Las otras son fáciles y las dejamos como ejercicio.

Como \( ab\leq cd \) existe un punto \( y \) tal que \( c-y-d\land ab\equiv cy \). Como \( cd\leq ab \), por el teorema 26 existe un \( x \) tal que \( c-d-x\land ab\equiv cx \). Por el teorema 8b tenemos que

\( c-y-d\land c-d-x\rightarrow c-y-x\land y-d-x \)

Por el teorema 13:

\( a-b-b\land c-y-x\land ab\equiv cy\land ab\equiv cx\rightarrow bb\equiv yx \),

luego \( y=x \) y como \( y-d-x \), el axioma A6 nos da que \( y=d \), luego \( ab\equiv cy\equiv cd \).

La quinta propiedad es fácil de probar, pero la demostramos para destacar que la prueba se basa en el teorema 24, que a su vez se basa en el teorema 23, cuya demostración no ha sido trivial en absoluto:

Dados dos puntos \( a \) y \( b \), por el teorema 10 existe un punto \( p \) tal que \( p-a-b\land p\neq a \). Por A4 existe un \( x \) tal que \( p-a-x\land ax\equiv cd \). Por el teorema 24

\( p-a-b\land p-a-x\rightarrow a-b-x\lor a-x-b \)

Es claro que esto implica \( ab\leq cd\lor cd\leq ab \).

Por último demostramos que la relación de orden determina a la relación "estar entre":

Teorema 28   \( Col(abc)\rightarrow (a-b-c\leftrightarrow ab\leq ac\land bc\leq ac) \)

Demostración: Si \( a-b-c \) entonces se cumple \( ab\leq ac\land bc\leq ac \) sin más que tomar \( y=b \) en la definición.

Si se cumple \( ab\leq ac\land bc\leq ac \) pero no \( a-b-c \), entonces \( a-c-b\lor b-a-c \). Suponemos el primer caso, pues el segundo se trata igualmente. Por la parte ya probada \( ac\leq ab \), luego por la antisimetría \( ab\equiv ac \). Por el teorema 13:

\( a-c-b\land a-c-c\land ac\equiv ac\land ab\equiv ac\rightarrow cb\equiv cc \),

luego \( b=c \) luego \( a-b-c \), en contradicción con lo supuesto.

Para terminar definimos la relación estricta:

\( ab<cd\leftrightarrow ab\leq cd\land \lnot ab\equiv cd \)

cuyas propiedades se deducen trivialmente de las de la relación no estricta.

02 Noviembre, 2014, 09:00 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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Diremos que dos puntos \( a \) y \( b \) están al mismo lado del punto \( p \) si cumplen:

\( a\sim_p b\leftrightarrow a\neq p\land b\neq p\land (p-a-b\lor p-b-a) \)

Vamos a dar varias caracterizaciones de esta relación. La primea dice que equivale a que los puntos sean colineales pero \( p \) no esté en medio:

Teorema 29   \( a\sim_pb\leftrightarrow Col(apb)\land \lnot a-p-b \)

Demostración: Si \( a\sim_pb \), entonces \( p-a-b\lor p-b-a \). Si fuera \( a-p-b \), el teorema 7 implicaría \( a=p\lor b=p \), lo que contradice la definición de \( a\sim_p b \).

La otra implicación es consecuencia inmediata de las definiciones y los teoremas 4 y 6.

Teorema 30   \( a\neq p\land b\neq p\land c\neq p\land a-p-c\rightarrow (a\sim_pb\leftrightarrow b-p-c) \)

Este teorema afirma que los puntos que están al mismo lado que \( a \) respecto de \( p \) son los que están en el lado opuesto a \( c \).

Demostración: Si se cumple \( a\sim_p b \), entonces \( p-a-b\lor p-b-a \). En ambos casos llegamos a la misma conclusión:

\( b-a-p\land a-p-c\rightarrow b-p-c \) por el teorema 8c.

\( a-b-p\land a-p-c\rightarrow b-p-c \) por el teorema 8b.

Para la implicación contraria basta usar el teorema 24:

\( c-p-a\land c-p-b\rightarrow p-a-b\lor p-b-a \), y esto implica \( a\sim_p b \).

Una variante de la misma idea:

Teorema 31   \( a\sim_pb\leftrightarrow a\neq p\land b\neq p\land \exists c(c\neq p\land a-p-c\land b-p-c) \)

Demostración: Si \( a\sim_pc \), tenemos por definición las desigualdades \( a\neq p\land b\neq p \). Por el teorema 10 existe un punto \( c \) tal que \( a-p-c\land p\neq c \), luego \( a\neq c \), por A6. El teorema anterior nos da que \( b-p-c \).

La implicación contraria es consecuencia inmediata del teorema anterior.

La relación que estamos considerando es una relación de equivalencia:

  • \( a\neq p\rightarrow a\sim_p a \)
  • \( a\sim_p b\rightarrow b\sim_pa \)
  • \( a\sim_p b\land b\sim_p c\rightarrow a\sim_pc \)

Demostramos únicamente la transitividad, pues las otras dos propiedades son inmediatas. Por el teorema 10 existe un punto \( x \) tal que \( a-p-x\land x\neq p \). Entonces, como \( a\sim_p b \), el teorema 30 nos da que \( b-p-x \) (el punto \( b \) está también en el lado opuesto a \( x \), como \( a \)), y aplicando de nuevo dicho teorema a \( b-p-x\land b\sim_p c \) obtenemos que \( c-p-x \). Por último, el teorema 31 nos da que \( c-p-x\land a-p-x\rightarrow a\sim_p c \).

Veamos ahora una variante del teorema 3:

Teorema 32   \( r\neq a\land b\neq c\rightarrow \exists! x(x\sim_ar\land ax\equiv bc) \)

Demostración: Sea \( p \) tal que \( p-a-r\land q\neq a \) (teorema 10). Por A4 existe un \( x \) tal que \( p-a-x\land ax\equiv bc \).

Como \( p-a-x\land p-a-r \), el teorema 31 nos da que \( x\sim_ar \). Esto prueba la existencia. Si un punto \( x' \) cumplen lo mismo, entonces \( x\sim_a x' \) y por el teorema 30 \( p-a-x' \), luego \( x=x' \) por el teorema 3.

Ahora refinamos la condición de antisimetría de la relación de orden entre segmentos:

Teorema 33   \( a\sim_pb\land pa\leq pb\land pb\leq pa\rightarrow a=b \)

Demostración: En principio sabemos que \( pa\equiv pb \) y por el teorema anterior \( a=b \).

Por último probamos:

Teorema 34   \( a\sim_p b\rightarrow (pa\leq pb\leftrightarrow p-a-b) \)

Demostración:  Si \( p-a-b \) tenemos que \( pa\leq pb \) por el teorema 28.

Si \( pa\leq pb \), entonces \( a\sim_p b\rightarrow p-a-b\lor p-b-a \).

Si se da el caso \( p-b-a \), entonces \( pb\leq pa \), luego por el teorema anterior \( a=b \) y también \( p-a-b \).

03 Noviembre, 2014, 12:22 am
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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Después de treinta y pico teoremas estamos en condiciones de descubrir que, aparte de puntos, en geometría se puede hablar de unos objetos muy interesantes llamados rectas.    ::)

He señalado al principio que una de las características más interesantes de la axiomática de Tarski es que es independiente de toda teoría de conjuntos, pero las rectas son conjuntos de puntos. Sin embargo, podemos hablar de rectas (y de otros conjuntos de puntos) de tal forma que toda afirmación sobre ellas pueda reducirse a una afirmación sobre puntos. Veamos cómo:

Definimos

\( x\in \overline{pq}\leftrightarrow p\neq q\land Col(xpq) \)

Leeremos esto como "el punto \( x \) pertenece a la recta determinada por \( p \) y \( q \)" o como "la recta que pasa por \( p \) y \( q \) pasa también por \( x \)", etc. Pero, aunque podamos pensarlo como una afirmación sobre un punto y una recta, lo cierto es que no es más que una afirmación sobre tres puntos, los puntos \( x \), \( p \) y \( q \).

Igualmente podemos definir

\( \overline{pq}=\overline{rs}\leftrightarrow \forall x(x\in \overline{pq}\leftrightarrow x\in \overline{rs}) \)

Donde el miembro izquierdo no debe entenderse como una igualdad entre dos objetos (dos rectas) sino como una abreviatura de una afirmación sobre cuatro puntos, la que aparece en el miembro derecho.

Gracias a estas dos definiciones, cualquier afirmación que hagamos sobre rectas podrá reinterpretarse trivialmente como una afirmación (exclusivamente) sobre puntos. Y esto no está reñido con que pensemos en las rectas como conjuntos de puntos.

Por ejemplo, es inmediato que \( p\neq q\rightarrow p\in \overline{pq}\land q\in \overline{pq}\land \overline{pq}=\overline{qp} \)

Igualmente podemos introducir el concepto de semirrecta:

\( x\in \vec{pq}\leftrightarrow x\sim_p q \)

\( \vec{pq}=\vec{rs}\leftrightarrow \forall x(x\in \vec{pq}\leftrightarrow x\in \vec{rs}) \)

Podemos leer esto como "\( x \) pertenece a la semirrecta de origen \( p \) que pasa por \( q \)", etc.

Veamos otro ejemplo del uso de este lenguaje conjuntista:

Teorema 35   \( p\neq q\land p\neq s\rightarrow (\vec{pq}=\vec{ps}\leftrightarrow q\sim_p s) \)

Observemos que este teorema puede interpretarse como una afirmación exclusivamente sobre puntos:

 \( p\neq q\land p\neq s\rightarrow (\forall x(x\sim_p q\leftrightarrow x\sim_p s)\leftrightarrow q\sim_p s) \)

Y una vez visto así, la demostración es trivial, teniendo en cuenta que \( \sim_p \) es una relación de equivalencia.

Más aún, podemos utilizar mucha más notación conjuntista con un significado obvio. Por ejemplo:

Teorema 36  \( p\neq q\land p\neq r\land q-p-r\rightarrow \overline{pq}=\vec{pq}\cup\{p\}\cup \vec{pr} \)

Podemos pensar que esto afirma que toda recta se descompone en unión de dos semirrectas opuestas, pero literalmente hay que entenderlo como una afirmación sobre puntos:

\( p\neq q\land p\neq r\land q-p-r\rightarrow \forall x(x\in \overline{qr}\leftrightarrow x\in \vec{pq}\lor x=p\lor x\in \vec{pr}) \),

donde a su vez la pertenencia a la recta o a las semirrectas se puede expresar como sabemos en términos de puntos.

Demostración:  Supongamos que \( x\in \overline{pq} \). Si \( x=p \) no hay nada que probar, así que podemos suponer \( x\neq p \).

La hipótesis es \( Col(pqx) \), que por definición equivale a \( p-q-x\lor p-x-q\lor x-p-q \).

En los dos primeros casos se cumple \( x\sim_pq \), luego \( x\in \vec{pq} \), mientras que en el tercero \( x\sim_pr \) por el teorema 30.

Esto prueba una implicación. La otra es inmediata.

Teorema 37   \( p\neq q\land s\neq p\land s\in \overline{pq}\rightarrow \overline{pq}=\overline{ps} \)

Demostración:    La hipótesis \( s\in\overline{pq} \) equivale a \( Col(spq) \) y a su vez a \( s-p-q\lor p-s-q\lor p-q-s \).

Si \( s-p-q \), entonces \( \overline{pq}=\vec{pq}\cup\{p\}\cup\vec{ps}=\overline{ps} \), donde hemos usado dos veces el teorema anterior.

En los otros dos casos se cumple \( s\sim_p q \), luego tomando un \( r\neq p \) tal que \( r-p-s \), se cumple también \( r-p-q \) y \( \overline{pq}= \vec{pq}\cup\{p\}\cup\vec{pr}=\vec{ps}\cup\{p\}\cup\vec{pr}=\overline{ps} \), donde hemos usado el teorema 35.

El teorema anterior era un paso intermedio para probar el resultado fundamental:

Teorema 38  \( p\neq q\land a\neq b\land a\in \overline{pq}\land b\in \overline{pq}\rightarrow \overline{ab}=\overline{pq} \)

Demostración:   Como \( p\neq q \), tiene que ser \( a\neq p\lor a\neq q \). Suponemos, sin pérdida de generalidad, que \( a\neq q \). Entonces, por el teorema anterior, como \( a\in \overline{ab}=\overline{pq} \), se cumple \( \overline{pq}=\overline{aq} \). Igualmente, como \( b\in \overline{ab}=\overline{aq} \), también \( \overline{aq}=\overline{ab} \), y en definitiva \( \overline{pq}=\overline{ab} \).

Así pues, hemos probado que la recta determinada por dos puntos de una recta es esa misma recta.

En muchos resultados sobre rectas no importa cuáles son los puntos que las determinan, y no hay ningún inconveniente en hablar de rectas sin especificar dichos puntos. Para ello introducimos el convenio de llamar \( \mathcal R \) al conjunto de todas las rectas, lo cual, dicho así, no significa nada en concreto, pero podemos precisar esto mediante el convenio de que escribir \( \forall R\in \mathcal R \) ha de entenderse como

\( \forall xy(x\neq y\rightarrow \cdots) \)

donde los puntos suspensivos son lo que siga en la fórmula dada cambiando \( R \) por \( \overline{xy} \), e igualmente con los demás cuantificadores.

Por ejemplo, en estos términos el teorema anterior puede expresarse así:

Teorema 38  \( \forall R\in \mathcal R(a\neq b\land a\in R\land b\in R\rightarrow R=\overline{ab}) \)

Otro ejemplo, ahora podemos enunciar y demostrar que por dos puntos distintos pasa una única recta. En principio esto puede expresarse así:

Teorema 39    \( \exists!R\in \mathcal R (a\in R\land b\in R) \)

Si desarrollamos la unicidad, esto es:

\( \exists R\in \mathcal R(a\in R\land b\in R)\land \forall RS\in \mathcal R(a\in R\land b\in R\land a\in S\land b\in S\rightarrow R=S)  \)

y, a su vez, eliminando las variables que representan rectas, esto sería:

\( \exists xy(x\neq y\land a\in \overline{xy}\land b\in \overline{xy})\land \forall xyx'y' \)\( (x\neq y\land x'\neq y'\land a\in \overline{xy}\land b\in \overline{xy}\land a\in \overline{x'y'}\land b\in \overline{x'y'}\rightarrow \overline{xy}=\overline{x'y'}) \)

A su vez, sabemos cómo eliminar la definición de recta de esta afirmación para dejar una afirmación exclusivamente sobre puntos. Pero no necesitamos llegar a este nivel para demostrar el teorema:

Demostración: La existencia es trivial. Basta tomar \( R=\overline{ab} \) (o, en la versión desarrollada, basta tomar \( x=a\land y=b \)). Para probar la unicidad, suponemos dos rectas \( R \) y \( S \) tales que \( a\in R\land b\in R\land a\in S\land b\in S \). Por el teorema anterior \( R=\overline{ab}=S \).

¡38 teoremas previos para demostrar esto!    ::)

Una forma alternativa de decir esto mismo es que si dos rectas son distintas entonces tienen a lo sumo un punto en común.

Ahora podemos probar que "colineal" tiene el significado que realmente debía tener:

Teorema 40   \( Col(abc)\leftrightarrow \exists R\in \mathcal R(a\in R\land b\in R\land c\in R) \)

Demostración:

Si \( Col(abc) \), entonces \( c\in \overline{ab} \), y trivialmente \( b\in \overline{ab}\land c\in \overline{ab} \), luego basta tomar \( R=\overline{ab} \).

Si se cumple el miembro derecho, entonces \( R=\overline{ab} \) por el teorema 38, luego \( c\in \overline{ab} \), lo cual significa \( Col(abc) \).

03 Noviembre, 2014, 01:03 pm
Respuesta #13

Carlos Ivorra

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Introducimos ahora el concepto de simetría puntual. Para ello empezamos definiendo el concepto de punto medio de un segmento:

\( M(amb)\leftrightarrow a-m-b\land am\equiv mb \)

Obviamente se cumple:

\( M(amb)\rightarrow M(bma) \)

\( M(ama)\leftrightarrow m=a \)

Ahora el lector esperará la demostración de que el punto medio de un segmento existe y es único, pero eso es un hecho demasiado profundo para que podamos demostrarlo ya mismo.   ::)

Pero podemos probar algo más fácil:

Teorema 41  \( \exists ! p'\ M(pap') \)

Demostración: Si \( p=a \) se cumple con \( p'=a \) y la unicidad es clara.

Si \( p\neq a \) la existencia de \( p' \) la da A4, y si \( p'' \) cumple lo mismo, es decir, si \( p-a-p'\land p-a-p''\land p'a\equiv pa\land p''a\equiv pa \), entonces \( p'\sim_a p'' \) por el teorema 30 y \( p'=p'' \) por el teorema 32.

Esto nos permite definir \( S_ap \) como el único punto \( p' \) que cumple \( M(apS_ap) \) (y lo llamaremos el punto simétrico de \( p \) respecto de \( a \)).

Los hechos siguientes son inmediatos:

  • \( S_ap=p'\leftrightarrow M(pap') \)
  • \( S_aS_ap=p \)
  • \( \exists ! p  S_ap=p' \)
  • \( S_ap=p\leftrightarrow p=a \)

Ahora probamos que las simetrías son isometrías:

Teorema 42    \( S_apS_aq\equiv pq \)

Demostración:  Llamemos \( p'=S_ap \)  y  \( q'=S_aq \).

Si \( p=a \) entonces \( p'=a \) y lo que hay que probar es que \( aq\equiv aq' \), lo cual es cierto por definición de simetría. Suponemos, pues, que \( p\neq a \).

Usando repetidamente A4 podemos obtener puntos que cumplan:

\( p'-p-x\land px\equiv qa \)     \( x-p'-x'\land p'x'\equiv qa \)

\( q'-q-y\land qy\equiv pa \)     \( y-q'-y'\land q'y'\equiv pa \)


Omitimos las aplicaciones rutinarias del teorema 8 que prueban que se cumplen todas las relaciones "estar entre" que muestra la figura.

Se comprueba    \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}x&a&x'&y'\\ y'&a&y&x\end{array}\right) \) y además \( p\neq a \) implica que \( x\neq a \), luego por A5 \( x'y'\equiv xy \).

A su vez,  \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}y&q&a&x\\ y'&q'&a&x'\end{array}\right) \), luego \( xq\equiv x'q' \).

Igualmente \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}x&p&a&q\\ x'&p'&a&q'\end{array}\right) \), luego \( pq\equiv p'q' \), como había que probar.

Ahora el teorema 15 implica inmediatamente:

Teorema 43  \( p-q-r\rightarrow S_ap-S_aq-S_ar \).

La mera transitividad de la congruencia implica:

Teorema 44   \( pq\equiv rs\rightarrow S_apS_aq\equiv S_arS_as \)

Ahora podemos probar, ya que no la existencia, al menos la unicidad del punto medio:

Teorema 45   \( M(pap')\land M(pbp')\rightarrow a=b \).

Demostración:   Por definición \( p=S_ap' \). Por el teorema 42:

\( pb\equiv p'b\equiv pS_ab \), e igualmente  \( p'b\equiv p'S_ab \).

Ahora el teorema 22 aplicado a \( p-b-p' \) (con \( c=b \) y \( c'=S_ab \)) nos da que \( b=S_ab \), luego \( a=b \).

Como consecuencia:

Teorema 46  \( S_ap=S_bp\rightarrow a=b \)

Demostración:  Tenemos \( M(paS_ap)\land M(pbS_bp) \), luego basta aplicar el teorema anterior.

Veamos ahora que las simetrías no conmutan salvo casos triviales:

Teorema 47   \( S_aS_bp=S_bS_ap\leftrightarrow a=b \)

Demostración: Llamemos \( p'=S_ap \). Si \( S_aS_bp=S_bp' \), entonces \( M(S_bp, a, S_bp') \).

Ahora observamos que, como las simetrías conservan las congruencias y la relación "estar entre", transforman puntos medios en puntos medios, luego aplicando \( S_b \) obtenemos \( M(p,S_ba,p') \), pero también \( M(pap') \), luego por la unicidad del punto medio, \( S_ba=a \), luego \( a=b \).

La otra implicación es trivial.

La condición de que el punto medio tiene que estar entre los dos puntos de los que es punto medio es redundante salvo en el caso trivial:

Teorema 48   \( Col(amb)\land ma\equiv mb\rightarrow a=b\lor M(amb) \)

Demostración: La colinealidad significa que \( a-m-b\lor m-a-b\lor m-b-a \). En el primer caso se cumple la definición de \( M(amb) \), en el segundo \( m-a-b\land m-b-b\rightarrow ab\equiv bb\rightarrow a=b \) por el teorema 13. El tercer caso es análogo a éste.

Probamos ahora dos resultados técnicos sobre puntos medios que vamos a necesitar más adelante. El primero viene a decir que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, pero decirlo así sería demasiado fácil (o demasiado difícil, sin saber nada de paralelas):

Teorema 49  \( \lnot Col(abc)\land b\neq d\land ab\equiv cd\land bc\equiv da\land Col(apc)\land Col(bpd) \) \( \rightarrow Mapc\land Mbpd \)


Por el teorema 19 existe un punto \( p' \) tal que \( (b,d,p)\equiv (d,b,p') \). Así se cumple claramente \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}b&d&p&a\\ d&b&p'&c\end{array}\right) \). Como además suponemos \( b\neq d \) concluimos que \( pa\equiv p'c \).

A su vez, \( \mbox{Conf5}\left(\begin{array}{cccc}b&d&p&c\\ d&b&p'&a\end{array}\right) \), luego \( pc\equiv p'a \)

Con esto tenemos \( (a,b,c)\equiv (c,p',a) \), luego el teorema 18 nos da \( Col(acp') \). Igualmente concluimos \( Col(bdp') \), pero entonces \( p \) y \( p' \) están en las rectas \( \overline{ac} \) y \( \overline{bd} \), que son distintas porque \( \lnot Col(abc) \), luego \( p=p' \).

Por lo tanto \( pa\equiv pc \) y, como \( a\neq c \) (porque \( \lnot Col(abc) \), el teorema anterior nos da que \( M(apc) \).

Por otra parte, tenemos que \( (b,d,p)\equiv (d,b,p) \), luego \( dp\equiv bp\land d\neq b \) (si \( d=b=p \) \( a, b, c \) serían colineales) y el teorema anterior implica también que \( M(bpd) \).

El teorema siguiente es un poco más sofisticado:

Teorema 50   \( a_1-c-a_2\land b_1-c-b_2\land ca_1\equiv cb_1\land ca_2\equiv cb_2\land M(a_1m_1b_1)\land M(a_2m_2b_2) \)\( \rightarrow m_1-c-m_2 \)


La figura de la izquierda ilustra el enunciado.

Demostración:  Se cumple \( ca_1\leq ca_2\lor ca_2\leq ca_1 \). Por la simetría de las hipótesis, no perdemos generalidad si suponemos que \( ca_1\leq ca_2 \).

Si \( a_1=c \), entonces \( b_1=c=m_1 \) y la conclusión es trivial, así que podemos suponer que \( a_1\neq c \), y en consecuencia \( a_2\neq c \).

Llamemos \( a=S_ca_2 \) y \( b=S_cb_2 \). Entonces \( m=S_cm_2 \) cumple \( M(bma) \). La figura de la derecha muestra estos puntos.

Como \( a_2-c-a\land a_2-c-a_1 \), tenemos \( a_1\sim_ca \), luego \( ca_1\leq ca\rightarrow c-a_1-a \), por el teorema 34. Igualmente \( c-b_1-b \).

Ahora el teorema 11 nos da un punto \( q \) tal que \( m-q-c\land a_1-q-b_1 \). El teorema 8 nos da que

\( m-q-c\land m-c-m_2\rightarrow q-c-m_2 \).

Basta probar que \( q=m_1 \), pues entonces tenemos \( m_1-c-m_2 \), que es lo que hay que probar.

Se comprueba que \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}a&a_1&c&m\\ b&b_1&c&m\end{array}\right) \), luego \( ma_1\equiv mb_1 \). El teorema 21 nos da:

\( m\neq c\land m-q-c\land ma_1\equiv mb_1\land ca_1\equiv cb_1\rightarrow qa_1\equiv qb_1 \)

Pero la hipótesis \( m\neq c \) es superflua, ya que si \( m=c \) entonces \( q=m \) y la conclusión es obvia.

Por definición de punto medio, \( M(a_1qb_1) \), pero también \( M(a_1m_1b_1) \), luego por la unicidad \( q=m_1 \), como había que probar.

Finalmente demostramos la existencia de punto medio en un caso particular:

Teorema 51  \( ca\equiv cb\rightarrow \exists x\ M(axb) \)

Demostración: Si \( Col(abc) \), el teorema 48 nos da que \( a=b \) (en cuyo caso sirve \( x=a \)) o bien \( M(acb) \) (en cuyo caso sirve \( x=c \)). Por lo tanto, podemos suponer \( \lnot Col(abc) \).

Por el teorema 10 existe un punto \( p \) tal que \( c-a-p\land a\neq p \), por A4 existe un punto \( q \) tal que \( c-b-q\land bq\equiv ap \). La figura muestra estos dos puntos junto con otros dos puntos \( r \) y \( x \) que obtenemos por aplicaciones sucesivas de A7:


El punto \( r \) cumple \( a-r-q\land b-r-p \), y sale de aplicar A7 al triángulo \( pcb \): la recta \( \overline aq \) corta al lado \( pc \) pero no a \( cb \), luego tiene que cortar a \( pb \).

El punto \( x \) cumple \( a-x-b\land r-x-c \), y sale de aplicar A7 al triángulo \( pcr \), pues la recta \( \overline{ab} \) corta al lado \( pc \), pero no a \( pr \), luego tiene que cortar a \( rc \).

Ahora comprobamos \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}c&a&p&b\\ c&b&q&a\end{array}\right) \), luego \( pb\equiv qa \).

El teorema 19 nos da un punto \( r' \) tal que \( (b,p,r)\equiv (a,q,r') \), y el teorema 15 nos da que \( a-r'-q \). Entonces \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}b&r&p&a\\ a&r'&q&b\end{array}\right) \), luego \( ar\equiv br' \).

A su vez \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}b&r&p&q\\ a&r'&q&p\end{array}\right) \), luego \( qr\equiv pr' \).

Tenemos entonces que \( (a,r,q)\equiv (b,r',p) \) (usamos que \( (b,r,p)\equiv (a,r',q) \)) y el teorema 18 implica que \( Col(br'p) \).

Pero entonces \( r \) y \( r' \) están en las rectas \( \overline{aq} \) y \( \overline{bp} \), que son distintas, pues si suponemos que son iguales llegamos a \( Col(abc) \), luego \( r=r' \), luego \( ra\equiv rb \).

Por último, el teorema 21 nos da que:

\( r\neq c\land Col(rxc)\land ra\equiv rb\land ca\equiv cb\rightarrow ax\equiv xb \)

Sólo falta comprobar que \( r\neq c \), pero en caso contrario \( x=c \) y \( Col(abc) \).

Concluimos que \( M(axb) \).


06 Noviembre, 2014, 12:24 am
Respuesta #14

Carlos Ivorra

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Veamos ahora cómo definir el concepto de rectas perpendiculares. En la axiomática de Hilbert es fácil, porque uno de sus conceptos primitivos es el de congruencia de ángulos, y entonces basta definir un ángulo recto como un ángulo congruente con su suplementario. Nosotros hemos necesitado definir el concepto de simetría puntual, que ahora aprovechamos:

Diremos que tres puntos \( a, b, c \) determinan un ángulo recto (de vértice \( b \)) si:

\( R abc\leftrightarrow ac\equiv aS_bc \)

No es difícil probar, pero no es inmediato, que

\( Rabc\leftrightarrow Rcba \)


El miembro izquierdo significa que \( ac\equiv aS_bc \), mientras que el miembro derecho significa que \( ac\equiv c aS_ba \), pero por el teorema 42  \( aS_bc\equiv S_ba c \), luego la equivalencia es clara.

Conviene observar cómo se comporta la definición que hemos dado en los casos degenerados. Por una parte, es obvio que se cumple

\( Rabb \)

Y en cambio:

\( Raba\rightarrow a=b \)

pues por definición equivale a que \( aa\equiv aS_ba \), luego a que \( a=S_ba \) y esto implica que \( a=b \).

También es inmediato por la definición que el suplementario de un ángulo recto es recto:

Teorema 52   \( Rabc\rightarrow RabS_bc \)

Una propiedad elemental que usaremos a menudo es que \( Rabc \) no depende exactamente de \( a \), sino más bien de la recta \( \overline{ab} \) (e igualmente con \( c \)):

Teorema 53   \( Rabc\land a\neq b\land Col(baa')\rightarrow Ra'bc \)

La prueba es una aplicación obvia del teorema 21.

Como primera aplicación: tres puntos que determinen un ángulo recto no pueden ser colineales salvo casos triviales:

Teorema 54   \( Rabc\land Col(abc)\rightarrow a=b\lor c=b \)

Demostración:  Si \( a\neq b \) el teorema anterior nos da que \( Rcbc \), luego \( b=c \).

El teorema siguiente viene a decir que un triángulo no puede tener un ángulo igual a dos ángulos rectos:

Teorema 54    \( Rabc\land Ra'bc\land a-c-a'\rightarrow b=c \)

Demostración: El caso \( a=a' \) es trivial, pues implica que \( a=c \), luego \( b=c \). Supongamos, pues, que \( a\neq a' \).

Si llamamos \( c'=S_bc \), tenemos

\( ac\equiv ac'\land a'c\equiv a'c'\land Col(aca')\land a\neq a'\rightarrow c=c' \),

por el teorema 22, luego \( b=c \).

También podemos probar que un triángulo no puede tener dos ángulos rectos:

Teorema 55    \( Rabc\land Racb\rightarrow b=c \)


Demostración:   En la figura hemos representado el punto \( a \) en dos sitios distintos porque la situación es imposible (salvo en el caso degenerado \( b=c \)).  Llamamos \( c'=S_bc \) y \( a'=S_ca \).

De \( Rabc \) se sigue que \( ac\equiv ac' \), mientras que \( Racb \) implica \( Racc' \) por el teorema 53 (suponiendo que \( b\neq c \)).

Por lo tanto, \( a'c\equiv ac\equiv ac' \), y esto significa que \( Ra'bc \). Por el teorema anterior

\( Rabc\land Ra'bc\land a-c-a'\rightarrow b=c \).

Las isometrías conservan los ángulos rectos:

Teorema 56   \( Rabc\land (a,b,c)\equiv (a',b',c')\rightarrow Ra'b'c' \)

Demostración:   Si \( b=c \) entonces \( b'=c' \), luego \( Ra'b'c' \). Por lo tanto, podemos suponer que \( b\neq c \). Llamemos \( d=S_bc \) y \( d'=S_{b'}c' \). Entonces es claro que \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}c&b&d&a\\ c'&b'&d'&a'\end{array}\right) \), luego \( ad\equiv a'd' \), luego \( a'c'\equiv ac\equiv ad\equiv a'd' \), luego \( Ra'b'c' \).

Finalmente definimos el concepto de perpendicularidad:

\( \overline{ab}\perp \overline{cd}\leftrightarrow a\neq b\land c\neq d\land \exists x(x\in \overline{ab}\land x\in \overline{cd}\land \forall u\in \overline{ab}\ \forall v\in \overline{cd}\ Ruxv) \)

En otras palabras, dos rectas son perpendiculares si y sólo si tiene un punto \( x \) en común tal que todo punto de una de ellas forma un ángulo recto de vértice \( x \) con cualquier punto de la otra.

Observemos que una recta no puede ser perpendicular a sí misma, pues entonces tendríamos tres puntos colineales distintos que formarían ángulo recto, en contra del teorema 54. Así pues, el punto \( x \) que aparece en la definición es único, pues es el único punto en que se cortan ambas rectas.

En principio, la definición anterior es una propiedad sobre cuatro puntos, pero como realmente depende únicamente de las rectas que determinan cada par de ellos, cuando no necesitemos destacar los puntos escribiremos \( R\perp R' \), donde \( R \) y \( R' \) representan rectas.

Por ejemplo, trivialmente \( R\perp R'\rightarrow R'\perp R \).

Del teorema 53 se sigue inmediatamente que para que dos rectas sean perpendiculares basta con que un punto de una (distinto del punto de intersección) forme ángulo recto con un punto de la otra:

Teorema 57    \( R\perp R'\leftrightarrow \exists x(x\in R\land x\in R'\land \exists u\in R\exists v\in R'(u\neq x\land v\neq x\land Ruxv)) \)

Terminamos demostrando un profundo resultado sobre perpendiculares:   ::)   Por un punto exterior a una recta pasa una única perpendicular.

Teorema 58   \( c\notin R\rightarrow \exists !x\in R\ R\perp \overline{xc} \)

Demostración:  Veamos primero la unicidad: si \( x_1\in R\land x_2\in R\land R\perp \overline{x_1c}\land R\perp \overline{x_2c} \), entonces \( Rcx_1x_2\land Rcx_2x_1 \), luego \( x_1=x_2 \) por el teorema 55.

Para probar la existencia pongamos que \( R=\overline{ab} \), con \( a\neq b \). Por A4 existe un punto \( y \) tal que \( y-a-b\land ay\equiv ac \), por el teorema 51 existe \( p \) tal que \( M(ypc) \), luego \( Rapy \).

Consideramos puntos que cumplan las condiciones siguientes:

\( a-y-z\land yz\equiv yp \),   \( p-y-q\land yq\equiv ya \),     \( q'=S_zq \),   \( q'-y-c'\land yc'\equiv yc \)


Se comprueba inmediatamente que \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}a&y&z&q\\ q&y&p&a\end{array}\right) \) y como claramente \( a\neq y \) (porque \( c\notin R \)) concluimos que \( qz\equiv ap \), luego \( (a,p,y)\equiv (q,z,y) \), luego \( Rapy\rightarrow Rqzy \) (por el teorema 56), luego \( yq\equiv yq' \).

Como \( yc\equiv yc' \), el teorema 51 implica que el segmento \( cc' \) tiene punto medio, digamos \( x \), de modo que \( Mcxc' \), luego \( Ryxc \).

El teorema 50 implica que \( z-y-x \). Por construcción \( y,z\in R \), y además \( y\neq z \), pues en caso contrario \( c=p=y\in R \). Por lo tanto \( x\in R \), luego \( \overline{cx}\perp R \).


07 Noviembre, 2014, 12:15 am
Respuesta #15

Carlos Ivorra

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Con 58 teoremas a nuestras espaldas, ya casi podemos sentirnos con fuerzas como para demostrar algo tan profundo como la existencia del punto medio de un segmento.   ::)

Pero necesitamos dos resultados previos:

Teorema 59  \( Rabc\land MS_ac\, p\, S_bc\rightarrow Rbap\land(b\neq c\rightarrow a\neq p) \)


Demostración:  Llamemos \( d=S_bc \), \( b'=S_ab \), \( d'=S_ad \), \( p'=S_ap \).

Entonces \( Rb'bc \), bien por el teorema 53 o trivialmente si \( a=b \). Esto implica que \( b'c\equiv b'c \), luego aplicando \( S_a \) llegamos a que \( bc'\equiv bd' \). Es claro entonces que

\( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}c'&p&d&b\\ d'&p'&c&b\end{array}\right) \), luego \( bp\equiv bp' \), y esto significa que \( Rbap \).

Si se cumple \( a=p \), entonces \( c=S_ac'=S_pC'=d \), luego \( b=d \).

El teorema 58 prueba la existencia de perpendicular por un punto exterior a una recta. Ahora probamos la existencia de perpendicular por un punto de una recta, con una condición adicional que, en esencia, garantiza la unicidad:

Teorema 60   \( a\neq b\rightarrow \exists pt(\overline{ab}\perp \overline{pa}\land Col(abt)\land c-t-p) \)


Demostración:   Supongamos en primer lugar \( \lnot Col(abc) \). Sea \( x\in \overline{ac} \) el punto por el que pasa la perpendicular a \( \overline{ab} \) por \( c \) (que existe por el teorema 58). Así \( Raxc \), luego \( aS_xc\equiv ac\equiv aS_ac \). El teorema 51 nos da que existe \( p \) tal que \( M S_xc\,p\,S_ac \). El teorema anterior implica entonces que \( Rxap \) y, como \( x\neq c \) (porque \( x\in \overline{ab} \) y \( c\notin \overline{ab} \)), el teorema implica también que \( a\neq p \).

El teorema 11 implica que existe un \( t \) tal que \( c-t-p\land x-t-a \). En particular \( Col(abt) \).

Si \( x\neq a \), entonces, como \( Rxap \), se cumple \( \overline{ab}\perp \overline{pa} \), mientras que si \( x=a \), entonces \( \overline{pa}=\overline{pt}=\overline{cx} \), luego también \( \overline{ab}\perp\overline{pa} \).

Consideremos ahora el caso en que \( Col(abc) \). Tomamos cualquier punto \( c' \) tal que \( \lnot Col(abc') \) y por el caso ya probado existe un punto \( p \) tal que \( \overline{ab}\perp\overline{pa} \). Basta tomar \( t=c \).

Finalmente:

Teorema 61   \( \exists ! x\ Maxb \)

Demostración: La unicidad está probada en el teorema 45. Si \( a=b \) el punto medio es \( x=a \), luego podemos suponer que \( a\neq b \).

Por el teorema anterior (aplicado a cualquier \( c\notin \overline{ab} \)) existe \( q\notin \overline{ab} \) tal que \( \overline{bq\perp\overline{ab}} \). Volvemos a aplicar el teorema anterior, pero esta vez a \( q \), con lo que existe un punto \( p \) tal que \( \overline{ap}\perp\overline{ab} \) y \( p-t-q \) para cierto \( t\in \overline{ab} \).


Por la simetría de las hipótesis podemos suponer que \( ap\leq bq \). Sea entonces \( r \) tal que \( b-r-q\land ap\equiv br \). Por el axioma A7 aplicado al triángulo \( tbq \) existe un punto \( x \) tal que \( t-x-b\land r-x-p \). En particular \( Col(abx) \).

Basta probar que \( bp\equiv ar \), pues entonces el teorema 49 nos da que \( Maxb\land Mpxr \).

Se cumple que \( x\neq a \), pues en caso contrario \( Col(par) \) y \( a=b \).

Sea \( p'=Sap \) y sea \( r' \) tal que  \( p'-x-r'\land xr'\equiv xr \). El teorema 51 nos da que existe \( m \) tal que \( Mrmr' \).



Entonces \( Rrmx \). Por otra parte tenemos que \( Rxap \) (porque \( \overline{ap}\perp\overline{ab} \)) luego \( xp\equiv xp' \)

Podemos aplicar el teorema 50, que nos da que \( a-x-m \), luego \( m\in \overline{ax}=\overline{ab} \).


De este modo, \( \overline{rm} \) es la perpendicular a \( \overline{ab} \) por \( r \), pero ésa es también la perpendicular a \( \overline{ab} \) por \( q \), pero la primera corta a \( \overline{ab} \) en \( m \) y la segunda en \( b \), luego \( m=b \), luego \( Mrbr' \).

Finalmente observamos que \( \mbox{Int}\left(\begin{array}{cccc}p'&a&p&r\\ r&b&r'&p'\end{array}\right) \), luego \( ra\equiv p'b \). Por otra parte, \( Rbap \) implica \( bp\equiv bp' \), luego \( bp\equiv ar \), como había que probar.

Conviene observar que en la demostración del teorema anterior hemos probado lo siguiente:

Teorema 62   \( \overline{pa}\perp\overline{ab}\land \overline{qb}\perp\overline{ab}\land Col(abt)\land p-t-q\land b-r-q\land ap\equiv br \) \( \rightarrow \exists x(Maxb\land Mpxr) \).

08 Noviembre, 2014, 02:55 am
Respuesta #16

Carlos Ivorra

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Ahora necesitamos estudiar el concepto siguiente de separación de puntos por rectas:

\( a-\overline{pq}-b\leftrightarrow p\neq q\land a\notin \overline{pq}\land b\notin \olverline{pq}\land \exists t(t\in \overline{pq}\land a-t-b) \)

En principio, se trata de una propiedad que involucra a cuatro puntos, pero en realidad no depende de \( p \) y \( q \), sino de la recta que pasa por ellos, así que cuando no necesitemos especificar estos puntos escribiremos \( a-R-b \), donde \( R \) representa a una recta.

En palabras: una recta \( R \) separa a dos puntos \( a \) y \( b \) si corta al segmento \( ab \).

Es inmediato que \( a-R-b\rightarrow b-R-a \).

Para obtener las propiedades básicas de este concepto de separación necesitamos dos resultados técnicos. La hipótesis sobre el punto medio en el teorema siguiente es innecesaria, como veremos luego:

Teorema 63  \( a-R-c\land m\in R\land Mamc\land r\in R\rightarrow \forall b(a\sim_rb\rightarrow b-R-c) \)

Demostración: Si \( a\sim_r b \), entonces \( r-b-a\lor r-a-b \).


Si \( r-b-a \) aplicamos el axioma A7 al triángulo \( rab \), con lo que existe un \( t \) tal que \( b-t-c\land m-t-r \), y esto implica que \( b-R-c \).

Si \( r-a-b \) llamamos  \( b'=S_mb \), \( r'=S_mr \), con lo que \( r'-c-b' \) y, por la parte ya probada, como  \( b'-R-b\land Mb'mb \), se cumple \( c-R-b \).

Teorema 64   \( a-R-c\land r\in R\land R\perp \overline{ar}\land s\in R\land R\perp \overline{cs}\rightarrow  \) \( Mrms\rightarrow \forall u(u\sim_ra\leftrightarrow S_mu\sim_sc))\land \forall uv(u\sim_ra\land v\sim_sc\rightarrow u-R-v) \)


Demostración: Sea \( t\in R \) tal que \( a-t-c \). Supongamos en primer lugar que \( r\neq s \) (con lo que \( t\neq r \)). Por la simetría de las hipótesis podemos suponer que \( sc\leq ra \), con lo que existe un punto \( b \) tal que \( r-b-a\land rb\equiv sc \).

Aplicamos A7 al triángulo \( art \), que nos da que \( bc \) corta a \( rt \), luego a \( R \). Esto nos sitúa en las hipótesis del teorema 62, luego existe un \( m \) tal que \( Mrms\land Mbmc \). Por la unicidad del punto medio, se trata del \( m \) del enunciado.

Como \( a\sim_rb \), tenemos que \( u\sim_ra\leftrightarrow u\sim_rb\leftrightarrow S_mu\sim_sc \), pues el teorema 43 implica que \( S_m \) transforma la relación \( \sim_r \) en \( \sim_s \) y viceversa.

Esto prueba la primera parte. Para la segunda suponemos \( u\sim_ra\land v\sim_sc \) y por la parte ya probada \( u'=S_mu\sim_sc \), luego \( u'\sim_xv \).

Como \( u'-R-u\land Mumu'\land u'\sim_sv \), el teorema anterior nos da \( v-R-u \).

Supongamos ahora que \( r=s \), con lo que \( \overline{ac}=\overline{ar}=\overline{cs} \), luego \( t=r=s=m \), ya que \( t \) y \( r \) son ambos el punto de corte de \( R \) y \( \overline{ac} \). El teorema se reduce a:

\( \forall u(u\sim_ta\leftrightarrow S_tu\sim_tc)\land \forall uv(u\sim_ta\land v\sim_tc\rightarrow u-R-v) \)

Esto es consecuencia de los hechos que ya conocemos sobre separación de puntos por puntos en una recta.

Por ejemplo, el teorema 36 nos da que \( \overline{ac}=\vec{ta}\cup\{t\}\cup\vec{tc} \). Si \( u\sim_ta \), como \( \lnot u\sim_tS_tu \), tiene que ser \( S_tu\sim_t c \), e igualmente se prueba la implicación contraria.

Si Si \( u\sim_ta\land v\sim_tc \), entonces \( \lnot u\sim_tv \), luego \( u-t-v \), luego \( u-R-v \).

Finalmente podemos probar un resultado sin hipótesis redundantes:

Teorema 65 \( a-R-c\land r\in R\rightarrow \forall b(a\sim_rb\rightarrow b-R-c) \)

Demostración: Sean \( x \), \( y \), \( z \) los puntos donde las perpendiculares por \( a \), \( b \), \( c \) cortan a \( R \) y sea \( m \) el punto medio \( Mxmz \). Sea \( d=S_ma \).


La primera parte del teorema anterior nos da que \( d\sim_zc \) y la segunda que \( a-R-d \). El teorema 63 implica que \( b-R-d \) y la segunda parte del teorema anterior (aplicada ahora a las rectas \( \overline{by} \) y \( \overline{cd} \)) implica que \( b-R-c \).

Ahora estamos en condiciones de demostrar una variante del axioma A7:

Teorema 66 \( a-p-c\land q-c-b\rightarrow \exists x(a-x-b\land q-p-x) \)

La figura muestra la situación de este teorema (a la izquierda) y la de A7 (a la derecha):


Demostración: Supongamos en primer lugar \( Col(pqc) \). A su vez distinguimos dos subcasos:

Si \( q-p-c \), como \( q-c-b \), también \( q-p-b \), y basta tomar \( x=b \).

Si \( \lnot q-p-c \), entonces \( q\sim_pc \). Como \( c-p-a \), \( q \) está en la semirrecta opuesta a \( a \) respecto de \( p \), luego \( q-p-a \). Basta tomar \( x=a \).

Pasamos ahora al caso en que \( \lnot Col(pqc) \), de modo que \( R=\overline{pq}\neq \overline{cp} \). Distinguimos también dos subcasos:

Si \( a\in R \), entonces \( a=p \), porque ambos están en \( R \) y en \( \overline{cp} \). Basta tomar \( x=a=p \).

Por último suponemos que \( a\notin R \).

Como \( c-p-a \), tenemos \( c-R-a\land q\in R\land c\sim_qb \), luego el teorema anterior implica \( b-R-a \). Por lo tanto existe un \( x\in R \) tal que \( b-x-a \).

Ahora aplicamos el axioma A7 al triángulo \( abc \). El segmento \( qx \) debe cortar a \( ac \), luego existe un punto \( t \) tal que \( q-t-x\land a-t-c \). Pero entonces \( t \) y \( p \) están en \( \overline{ac} \) y en \( \overline{qx}=R \), que son rectas distintas, luego \( p=t \). Esto implica que \( x \) cumple lo pedido.

08 Noviembre, 2014, 11:42 pm
Respuesta #17

Carlos Ivorra

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Tras haber definido lo que es que una recta separe a dos puntos, podemos definir cuándo dos puntos están al mismo lado de una recta:

\( a\sim_{pq}b\leftrightarrow p\neq q\land \exists c(a-\overline{pq}-c\land b-\overline{pq}-c) \),

Se trata de una fórmula que depende de cuatro variables que representan puntos, pero como \( p,q \) sólo intervienen a través de la recta que determinan, cuando no sea relevante destacar dos puntos de la recta escribiremos simplemente:

\( a\sim_Rb\leftrightarrow \exists c(a-R-c\land b-R-c) \).

En definitiva, dos puntos están al mismo lado de una recta si ésta los separa de un mismo punto \( c \). Más precisamente, dicho punto \( c \) podemos fijarlo de antemano:

Teorema 66 \( a-R-c\rightarrow (a\sim_Rb\leftrightarrow b-R-c) \)

Demostración: Suponemos \( a-R-c \). Entonces, si se cumple \( b-R-c \) tenemos \( a\sim_Rb \) por definición.

Supongamos \( a\sim_Rb \). Esto significa que existe un punto \( d \) tal que \( a-R-d\land b-R-d \), y a su vez esto significa que existen puntos \( x, y\in R \) tales que \( a-x-d\land b-y-d \). Además las definiciones exigen que \( a,b,c,d\notin R \).

Por el axioma A7 aplicado al triángulo \( yxa \), existe un \( z \) tal que \( x-z-b\land y-z-a \).


Podemos suponer que \( z\notin R \), pues si \( z\in R \), entonces \( z \) es tanto la intersección de \( R \) con \( \overline{bx} \) como con \( \overline{ay} \), luego \( z=x=y \), luego \( Col(abx) \) (y, más concretamente, \( x-a-b\lor x-b-a \), pues \( a\sim_Rb \)) y entonces basta tomar \( z'=a \) o bien \( z'=b \) para que se cumpla igualmente \( x-z'-b\land y-z'-a \), pero ahora \( z'\notin R \).

Así pues, tenemos que \( a\sim_yz\land z\sim_xb\land a-R-c \). El teorema 65 implica que \( z-R-c \) y, en una segunda aplicación, \( b-R-c \).

Ahora podemos probar algunos hechos básicos sobre esta relación:

  • \( a-R-b\rightarrow \lnot a\sim_Rb \)

Porque si \( a\sim_Rb \) el teorema anterior implica \( b-R-b \), que lleva trivialmente a un absurdo.

  • \( a\notin R\rightarrow \exists c\ a-R-c \)

Basta tomar cualquier \( t\in R \) y a su vez un \( c \) tal que \( c-t-a \) con \( c\neq a \).

  • \( a\notin R\rightarrow a\sim_Ra \)           (Por la propiedad anterior.)
  • \( a\sim_Rb\rightarrow b\sim_Ra \)
  • \( a\sim_Rb\land b\sim_Rc\rightarrow a\sim_Rc \)

En efecto, si \( a\sim_R b \) existe un \( d \) tal que \( d-R-a\land d-R-b \) y por el teorema 66 \( d-R-c \), luego \( a\sim_Rc \) por definición.

Veamos un resultado de convexidad: si dos puntos están al mismo lado de una recta, todos los puntos intermedios cumplen lo mismo.

Teorema 67 \( a\sim_Rb\land a-c-b\rightarrow c\sim_R a \)

Demostración: Por definición de \( \sim_R \) existe un punto \( d \) tal que \( d-R-a\land d-R-b \), luego existen puntos \( x,y\in R \) tales que \( d-x-a\land d-y-b \). El teorema 11 nos da un punto \( t \) tal que \( x-t-y\land d-t-c \),


Consecuentemente \( c-R-d \) (aquí usamos que \( c\notin R \), porque en otro caso \( a-R-b \), y entonces \( \lnot a\sim_Rb \)).

Así pues, tenemos \( c-R-d\land a-R-d \), luego \( c\sim_Ra \).

Para terminar relacionamos las dos relaciones que hemos definido para rectas con las análogas para puntos:

Teorema 68 a) \( p\in R\land Col(abp)\rightarrow (a-R-b\leftrightarrow a-p-b\land a\notin R\land b\notin R) \)

b) \( p\in R\land Col(abp)\rightarrow (a\sim_Rb\leftrightarrow a\sim_pb\land a\notin R) \)

Demostración: a) Si \( a-R-b \) existe un \( t \) tal que \( a-t-b\land t\in R \), pero necesariamente \( t=p \), pues ambos puntos son la intersección de \( R \) y \( \overline{ab} \). Por lo tanto \( a\sim_p b \). La otra implicación es obvia.

b) Sea \( c \) tal que \( c-p-a \). Entonces, para todo \( a\notin R \),

\( a\sim_Rb\leftrightarrow c-R-b\leftrightarrow c-p-b\leftrightarrow a\sim_pb \),

donde en la primera equivalencia hemos usado el teorema 66, en la segunda el apartado a) de este teorema y en la tercera el teorema 30.

Si alguien ha tenido la santa paciencia de leer hasta aquí, no puede perderse la próxima entrega, donde, tras 68 teoremas, estaremos en condiciones de definir el concepto de plano y de demostrar, entre otros, el profundo teorema que afirma que por tres puntos no colineales pasa un único plano.    ::)

09 Noviembre, 2014, 02:16 am
Respuesta #18

Carlos Ivorra

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Tal y como anunciaba, por fin podemos definir el concepto de plano:

Si \( \lnot Col(abc) \), definimos

\( P(a,b,c)=\{x\mid x\sim_{ab}c\lor x\in \overline{ab}\lor x-\overline{ab}-c\} \)

Teniendo en cuenta que \( a, b \) sólo intervienen en la definición a través de la recta \( \overline{ab} \), podemos no hacer referencia a dos puntos en concreto y considerar una recta \( R \) y un punto \( r\notin R \), de modo que

\( P(R,r)=\{x\mid x\sim_Rr\lor x\in R\lor x-R-r\} \).

Con esta notación \( P(a,b,c)=P(\overliine{ab}c) \). En palabras: el plano determinado por la recta \( R \) y el punto \( r\notin R \) consta de los puntos de \( R \), los puntos que están al mismo lado que \( r \) respecto de \( R \) y los puntos separados de \( r \) por \( R \).

Podemos volver un poco más simétrica esta definición a través del concepto de semiplano:

\( SP(p,q,r)=\{x\mid x\sim_{pq}r\} \)

donde, como en el caso de la definición de plano, esta definición depende únicamente de la recta \( \overline{pq} \), luego podemos definir

\( SP(R,r)=\{x\mid x\sim_Rr\} \).

En estos términos cada plano es la unión de una recta y dos semiplanos complementarios definidos por ella:

Teorema 69   \( r'-R-r\rightarrow P(R,r)=SP(R,r)\cup R\cup SP(R,r') \).

Demostración: Si \( x\in P(R,r) \), entonces hay tres posibilidades:

Si \( x\sim_Rr \), entonces \( x\in SP(R,r) \), por definición de semiplano, luego está en la unión.

Si \( x\in R \), entonces está obviamente en la unión.

Si \( x-R-r \), entonces \( x\sim_Rr' \), por el teorema 66, luego \( x\in SP(R,r') \).

Esto nos da una inclusión, y la otra se prueba de forma similar.

Tenemos, pues, que un plano \( P(a,b,c) \) está determinado por tres puntos no colineales, pero no podemos asegurar de momento que los mismos puntos no puedan determinar planos distintos, pues no sabemos si \( P(a,b,c)=P(c,b,a) \), por ejemplo. Para demostrar esta simetría, así como la unicidad del plano que pasa por tres puntos dados, necesitamos algunos resultados previos.

En primer lugar demostramos que en \( P(R,r) \) podemos cambiar \( r \) por cualquier otro punto del plano que no esté en la recta:

Teorema 70  \( r\notin R\land s\notin R\land s\in P(R,r)\rightarrow P(R,r)=P(R,s) \)

Demostración: Distinguimos dos casos:

1) Si \( s\sim_Rr \), tomamos \( r'-R-r \) y, por el teorema 67, \( r'-R-s \), luego

\( P(R,s)=SP(R,r)\cup R\cup SP(R,r')=SP(R,s)\cup R\cup SP(R,r')=P(R,s) \),

donde la igualdad \( SP(R,r)=SP(R,s) \) se sigue inmediatamente de que \( \sim_R \) es una relación de equivalencia.

2) Si \( s-R-r \), entonces, aplicando dos veces el teorema 69:

\( P(R,r)=SP(R,r)\cup R\cup SP(R,s)=P(R,s) \)

Ahora vamos a probar que dos rectas secantes también define un plano. Para ello necesitamos lo siguiente:

Teorema 71  \( R\cap R'=\{p\}\land r\neq p\land r\in R'\rightarrow R'\subset P(R,r) \)

Demostración:  Por el teorema 68b)  \( \vec{pr}\subset SP(R,r)\subset P(R,r) \).

En efecto: si \( b\in \vec{pr} \) entonces \( b\sim_pr\land b\neq p \), luego \( b\sim_pR\land b\notin R \), luego \( b\sim_Rr \), luego \( b\in SP(R,r) \).

Tomemos un punto \( r'-p-r \), de modo que \( R'=\vec{pr}\cup\{p\}\cup\vec{pr} \)

Por la inclusión que acabamos de probar \( \vec{pr'}\subset P(R,r')=P(R,r) \), donde la última igualdad nos la da el teorema 69.

Por lo tanto \( R'\subset P(R,r) \).

Así pues, si \( R \) y \( R' \) son rectas que se cortan en un punto \( p \), podemos definir

\( P(R,R')=P(R,r) \), para cualquier \( r\in R' \), \( r\neq p \), ya que el teorema anterior prueba que si \( r' \) cumple lo mismo entonces \( r\in P(R,r) \), y el teorema 70 implica que \( P(R,r)=P(R,r') \), luego la definición no depende de la elección de \( r' \).

Ahora podemos probar el resultado que nos dará que la definición de plano es totalmente simétrica:

Teorema 72  \( R\cap R'=\{p\}\rightarrow R\subset P(R,R')\land R'\subset P(R,R')\land P(R,R')=P(R',R) \)

Demostración:  \( R\subset P(R,R') \) por la propia definición, mientras que el teorema anterior implica que \( R'\subset P(R,R') \).

Por la simetría de las hipótesis basta probar que \( P(R,R')\subset P(R',R) \), pues intercambiando los papeles de las rectas \( R \) y \( R' \) obtenemos la inclusión opuesta.

Pongamos que \( P(R,R')=P(R,r) \), con \( r\in R' \), \( r\neq p \) y fijemos \( r'-p-r\land r'\neq p \).

Sea \( s\in P(R,R')=P(R,r) \). Si \( s\in R\lor s\in R' \), ya hemos visto que \( s\in P(R',R) \), luego podemos suponer que \( s\notin R\land s\notin R' \).

Entonces \( s\in SP(R,r) \) o bien \( s\in SP(R,r') \), por simetría podemos suponer que \( s\in SP(R,r) \), con lo que \( r'-R-s \). Esto significa que existe \( t\in R \) tal que \( r'-t-s \). Como \( r'\in R' \) y \( r'\neq p \), tiene que ser \( r'\neq t \).

Por el teorema anterior \( \overline{tr'}\subset P(R',t)=P(R',R) \), luego \( s\in P(R',R) \).

En el teorema siguiente la variable \( P \) representa un plano arbitrario, igual que estamos usando \( R \) y \( R' \) para referirnos a rectas arbitrarias:

Teorema 73  \( a\in P\land b\in P\land a\neq b\rightarrow \overline{ab}\subset P\land \exists c\ P=P(a,b,c) \)

Demostración:  Pongamos que \( P=P(R,r) \) y sea \( R'=\overline{ab} \). Si \( R=R' \) la conclusión es obvia, así que supondremos que \( R\neq R' \). Entonces \( a\notin R\lor b\notin R \), suponemos sin pérdida de generalidad que \( b\notin R \).

Sea \( c\in R\land c\notin R' \) y sea \( R''=\overline{cb} \).


Entonces

\( P=P(R,r)=P(R,b)=P(R,R'')=P(R'',R)=P(R'',a) \) \( =P(R'',R')=P(R',R'')=P(R',c)=P(a,b,c) \),

donde hemos usado, respectivamente, el teorema 70 (y que \( b\notin R \), la definición de \( P(R,R'') \), el teorema anterior, el teorema 70, la definición de \( P(R'',R) \), el teorema anterior, la definición de \( P(R',R'') \) y la definición de \( P(R',c) \).

Por lo tanto \( \overline{ab}\subset P \).

Finalmente:

Teorema 74  \( \lnot Col(abc)\land a\in P\land b\in P\land c\in P\rightarrow P=P(a,b,c) \)

Demostración: Por el teorema anterior \( P=P(a,b,r) \), para cierto \( r\notin \overline{ab} \), luego, si llamamos \( R=\overline{ab} \), \( P=P(R,r)=P(R,c)=P(a,b,c) \) por el teorema 70.

Ahora ya son inmediatas las propiedades básicas de los planos. Usamos la notación \( P\in \mathcal P \) para expresar que \( P \) es un plano, es decir, que existen tres puntos no colineales tales que \( P=P(a,b,c) \):

  • \( \lnot Col(abc)\rightarrow \exists ! P\in \mathcal P(a\in P\land b\in P\land c\in P) \)
  • \( \lnot Col(abc)\rightarrow P(a,b,c)=P(b,c,a)=P(c,a,b)=P(b,a,c)=P(a,c,b)=P(c,b,a) \)
  • \( R\subset P\cap P'\land P\neq P'\rightarrow R=P\cap P' \)

La última propiedad se debe a que si existiera \( c\in P\cap P' \), \( c\notin R \), entonces \( P=P(R,c)=P' \).

Vamos a necesitar una última propiedad de los planos, para la cual probamos antes un resultado técnico:

Teorema 75  \( s\sim_{pq} r\land s\sim_{pr}q\rightarrow q-\overline{sp}-r \)


Llamemos \( R=\overline{pq} \), \( R'=\overline{pr} \), \( R''=\overline{ps} \) y sea \( r'-p-r\land r'\neq p \).  Entonces \( r'-R-r\sim_Rs \), luego existe un punto \( t\in R \) tal que \( r'-t-s \), luego \( t\sim_{r'}s \), luego el teorema 68b) implica que \( t\sim_{R'}s\sim_{R'}q \), luego el teorema 68b) nos da que \( t\sim_{R''}q \).

Como \( t\sim_sr'\land r'-R''-r \), el teorema 65 nos da que \( t-R''-r \),  y esto unido a \( t\sim_{R''}q \) implica, por el teorema 66, que \( q-R''-r \), como había que probar.

Ahora podemos definir que cuatro o más puntos (o rectas) son coplanares si están contenidos en un mismo plano. En particular:

\( Cop(abcd)\leftrightarrow d\in P(abc) \),

aunque la definición es simétrica y podemos separar cualquiera de las cuatro variables.

Para terminar demostramos que cuatro puntos son coplanares si y sólo si están contenidos en dos rectas secantes:

Teorema 76  \( Col(abcd)\leftrightarrow \exists x((Col(abx\land Col(dcx))\lor \) \( (Col(acx)\land Col(bdx))\lor (Col(adx)\land Col(bcx))) \)

Demostración: Una implicación es obvia. Para probar la contraria suponemos que \( a, b, c, d\in P \). Distinguimos varios casos:

Caso 1: Tres de los puntos son colineales, por ejemplo, \( Col(abc) \). Entonces basta tomar \( x=c \), pues \( Col(abc)\land Col(cdc) \).

Caso 2: Los puntos son no colineales tres a tres. Llamamos \( R=\overline{ab} \) y \( R'=\overline{ac} \), que son rectas distintas que se cortan en \( a \). Además \( P=P(a,b,c)=P(R,c)=P(R',b) \), \( d\notin R \), \( d\notin R' \).

Caso 2a: \( c-R-d \). Entonces existe un punto \( x\in R \) tal que \( c-x-d \) y claramente cumple lo requerido.

Caso 2b: \( b-R'-d \). Análogo.

Caso 2c) \( d\sim_Rc\land d\sim_{R'}b \), y el teorema 75 nos da que \( b-\overline{ad}-c \), es decir, que existe un \( x\in \overline{ad} \) tal que \( b-x-c \), que también cumple lo requerido.

12 Noviembre, 2014, 01:52 am
Respuesta #19

Carlos Ivorra

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Necesitamos ahora el concepto de simetría axial.

Como ya hemos probado la existencia y unicidad del punto medio, podemos usar la notación \( Mab \) para referirnos al punto medio del segmento \( ab \).

El resultado básico sobre simetrías axiales es el siguiente (en el que \( R \) representa a una recta, como de costumbre):

Teorema 77 \( \exists ! p'(Mpp'\in R\land (R\perp \overline{pp'}\lor p=p')) \)

Es decir, dado un punto \( p \), existe otro punto \( p' \) que es el propio \( p \) si \( p\in R \) y en caso contrario la recta \( pp' \) es perpendicular a \( R \) y la corta en el punto medio \( Mpp' \). El punto \( p' \) es el simétrico de \( p \) respecto de la recta \( R \).

Demostración: Si \( p\notin R \) el teorema 58 nos da un único punto \( x\in R \) (luego \( x\neq p \)) tal que \( R\perp \overline{px} \). Sea \( p'=S_xp \), de modo que \( Mpp'=x\in R \) y claramente \( \overline{pp'}=\overline{px} \), luego \( R\perp \overline{pp'} \).

Además \( p' \) es único, pues si \( p'' \) cumple lo mismo, es decir, si \( Mpp''\in R\land (P\perp \overline{pp''}\lor p=p'') \), entonces tiene que ser \( p''\neq p \), ya que en caso contrario \( p=Mpp''\in R \), contradicción. Sea \( x'=Mpp''\in R \). Como \( R\perp \overline{px'} \), la unicidad de \( x \) hace que \( x=x' \), luego \( p'=S_xp=S_{x'}p=p'' \).

En el caso en que \( p\in R \) es obvio que \( p'=p \) cumple lo pedido, y si \( p'' \) cumple también el enunciado, tiene que ser \( p''=p \), pues en caso contrario \( x=Mpp''\in R \), luego \( x \) y \( p \) son ambos el punto de corte de las rectas \( R \) y \( \overline{pp''} \) (que son distintas por ser perpendiculares), luego \( x=p \) y \( p=p'' \), contradicción.

El teorema anterior nos permite definir \( S_Rp \) como el único punto \( p' \) que cumple lo indicado. Así hemos definido la simetría axial \( S_R \) de eje \( R \). Las propiedades siguientes se prueban sin dificultad:

  • \( S_Rp=p'\leftrightarrow S_Rp'=p \)

  • \( S_RS_Rp=p \)

  • \( \exists! p'S_Rp'=p \)

  • \( S_Rp=S_Rq\rightarrow p=q \)

  • \( S_Rp=p\leftrightarrow p\in R \)

Conviene adoptar el convenio de que \( S_{pq}a \) representa la simetría axial \( S_Ra \), con \( R=\overline{pq} \) cuando \( p\neq q \), mientras que es la simetría puntual \( S_pa \) si \( p=q \).

El resultado básico sobre simetrías axiales es que son isometrías, es decir, que conservan las congruencias:

Teorema 78 \( pq\equiv S_Rp\, S_Rq \)

Demostración: Sea \( p'=S_Rp \), \( q'=S_Rq \), \( x=Mpp' \), \( y=Mqq' \), \( z=Mxy \), \( r=S_zp \), \( r'=S_zp' \).


Como \( x=Mpp' \), aplicando \( S_z \) obtenemos que \( y=Mrr' \), luego \( r'=S_yr \).

Aplicando \( S_y \) resulta que \( qr\equiv q'r' \). Como \( R\perp \overline{px}\lor p=x \) se cumple \( Rzxp \), luego, por definición de ángulo recto, \( zp\equiv zp' \). Igualmente se prueba que \( zq\equiv zq' \).i

Es claro entonces que se cumple \( \mbox{Ext}\left(\begin{array}{cccc}r&z&p&q\\ r'&z&p'&q'\end{array}\right) \)

Si \( r\neq z \) el axioma A5 nos da que \( pq\equiv p'q' \), que es lo que había que probar, mientras que si \( r=z \) llegamos a la misma conclusión porque \( p=z=p' \) y sabemos que \( zq\equiv zq' \).

Veamos un par de aplicaciones de las simetrías axiales. En primer lugar demostramos que si dos triángulos rectángulos tienen los catetos iguales, también sus hipotenusas son iguales:

Teorema 79  \( Rabc\land Ra'b'c'\land ab\equiv a'b'\land bc\equiv b'c'\rightarrow ac\equiv a'c' \)

Demostración:  Sea \( x=Mbb' \), sea \( a_1=S_xa' \), \( c_1=S_xc' \), y obviamente \( b=Sxb' \). Como las simetrías son isometrías, tenemos que \( (a',b',c')\equiv (a_1,b,c_1) \) y \( Ra_1bc_1 \).

Por lo tanto, basta probar que \( ac\equiv a_1c_1 \). En otras palabras, no perdemos generalidad si suponemos que \( b=b' \).

Bajo esta hipótesis, sea \( y=Mcc' \), de modo que \( Rbyc \), ya que \( bc'\equiv bc \). (Véase la figura de la izquierda.)


Se cumple entonces que \( c=S_{by}c' \), tanto si \( b\neq y \) (por la propia definición de simetría axial) como si \( b=y \), en cuyo caso se cumple por la definición de punto medio.

Sea \( a''=S_{by}a' \). De este modo, aplicando \( S_{by} \) obtenemos que \( (a'bc')\equiv (a''bc) \) y \( Ra''bc \), luego basta probar que \( ac\equiv a''c \) o, equivalentemente, no perdemos generalidad si suponemos que \( c=c' \). (Véase la figura de la derecha.)

Sea \( z=Maa' \), de modo que \( Rbza \), pues \( ba\equiv ba' \). Esto implica que \( a=S_{bz}a' \), y obviamente \( b=S_{bz}b \). Sea \( c''=S_bc \).

Como \( Rabc \) y \( Ra'bc \), tenemos que \( ac\equiv ac'' \) y \( a'c\equiv a'c'' \). Además \( Col(aza') \), luego el teorema 21 (o trivialmente si \( a=a' \)) implica que \( zc\equiv zc'' \), luego \( Rzbc \), luego \( c''=S_{bz}c \).

Finalmente, aplicando \( S_{bz} \) a \( ac\equiv ac'' \) obtenemos \( a''c\equiv ac''\equiv ac \), como había que probar.

Para la segunda aplicación necesitamos una ligera variante del teorema 60:

Teorema 80 \( a\in R\land q\notin R\rightarrow \exists p(R\perp\overline{pa}\land p\sim_Rq) \)

Demostración: Por el teorema 60 existe \( p' \) tal que \( R\perp\overline{p'a} \) y \( q-R-p' \). Basta tomar \( p=S_Rp' \). Claramente \( p-R-p' \), luego \( p\sim_Rq \), y \( \overline{pa}=\overline{p'a} \).

Ahora ya podemos probar el resultado más general sobre transporte de triángulos: dado cualquier triángulo \( abc \) y un segmento \( a'b'\equiv ab \), podemos construir un único triángulo \( a'b'c' \) congruente con el dado cuyo tercer vértice \( c' \) esté en cualquier semiplano prefijado respecto de la recta \( \overline{a'b'} \):

Teorema 81  \( \lnot Col(abc)\land \lnot Col(a'b'p)\land ab\equiv a'b'\rightarrow \exists!c((abc)\equiv (a'b'c')\land c'\sim_{\overline{a'b'}}p) \)

Demostración: Veamos en primer lugar la existencia. Sea \( x \) tal que \( \overline{cx}\perp \overline{ab} \) y \( Col(abx) \), es decir, el punto donde la perpendicular a \( \overline{ab} \) por \( c \) corta a \( \overline{ab} \). Por el teorema 19 existe un \( x' \) tal que \( (abc)\equiv (a'b'x') \). Llamemos \( R=\overline{a'b'} \).

Sea \( q \) según el teorema anterior, es decir, \( R\perp \overline{qx'}\land q\sim_Rp \). Por el teorema 32 existe un \( c' \) tal que \( c'\sim_{x'}q\land x'c'\equiv cx \). Entonces, por el teorema 68 b, \( c'\sim_Rq \), luego \( c'\sim_Rp \).

Tenemos \( Raxc\land Ra'x'c'\land Rbxc\land Rb'x'c' \), luego el teorema 79 implica que \( ac\equiv a'c'\land bc\equiv b'c' \), luego \( (abc)\equiv (a'b'c') \) y \( c' \) cumple todo lo requerido.

Finalmente probamos la unicidad:

Si \( c'' \) cumple las mismas condiciones del enunciado, entonces \( (a'b'c')\equiv (a'b'c'') \) y \( c'\sim_Rc'' \). Sea \( C^*=S_Rc'' \). Claramente \( c''-R-c^* \), luego \( c'-R-c^* \), luego existe un \( t\in R \) tal que \( c'-t-c^* \).

Aplicando \( S_R \) obtenemos que \( (a',b',c^*)\equiv (a',b',c'')\equiv (a',b',c') \).

En particular \( a'c'\equiv a'c^*\land b'c'\equiv b'c^* \). El teorema 21 nos da que \( tc'\equiv tc^* \), luego \( t=Mcc^* \).

Entonces, como \( a'c'\equiv a'c^* \), por definición \( Ra'tc' \), e igualmente \( Rb'tc' \). Esto implica que \( R\perp \overline{cc^*} \), luego \( c^*=S_Rc'=S_Rc'' \), luego \( c'=c'' \).