Autor Tema: Longitud de arco de una curva

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30 Octubre, 2014, 04:57 am
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Cabudare

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Hola, estoy determinando la longitud de arco de la curva \( x=t+\cos t \) \( y=t-\sin t \) con \( 0\leq t \leq 2\p \).Obtengo que:

\( L=\int_0^{2\pi}\sqrt{3-2(\sin t +\cos t)}dt \), pero no consigo como resolver esa integral, si me dan alguna indicación les agradecería enormemente.

Corregido

30 Octubre, 2014, 05:22 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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La integral no será :

\(  \displaystyle \int \sqrt{3 + 2\cdot (cos(t) -sen(t))} dt  \)

\(  \alpha(t) = (t+cos(t),t + sen(t))  \)
\(  \alpha'(t) = (1-sen(t),1+cos(t))  \)
\(  \displaystyle \|\alpha'(t)\| = [(1-sen(t))^2 + (1+cos(t))^2]^{\frac{1}{2}} =  \)
\(  \displaystyle = [1+sen^2(t) - 2\cdot sen(t) + 1 +cos^2(t) + 2\cdot cos(t)]^{\frac{1}{2}} =  \)
\(  \displaystyle = [3 + 2\cdot (cos(t) -sen(t))]^{\frac{1}{2}}  \)

30 Octubre, 2014, 05:56 am
Respuesta #2

Cabudare

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Disculpa, tuve un error de transcripción, \( y=t-\sin t \)

30 Octubre, 2014, 07:14 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Te propongo esto:(deberá ser revisado).

\( \displaystyle 3 - 2\cdot (cos(t) + sen(t)) = 3 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot sen( t +\frac{\pi}{4})  \)

\( \displaystyle  \int \sqrt{3 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot sen( t +\frac{\pi}{4})} dt  \) pongo \(  \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot z^2 = sen( t +\frac{\pi}{4})  \)

\( \displaystyle  \int \sqrt{3 - 3\cdot z^2} \frac{\frac{3}{\sqrt{2}}z}{\sqrt{1 - \frac{9}{8}z^4}}dz  \) 


Que se parece a la segunda integral que sale aquí, si no he cometido algún fallo es elíptica
 
http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCMQFjAA&url=http%3A%2F%2Fes.wikipedia.org%2Fwiki%2FIntegral_el%25C3%25ADptica&ei=YtZRVLa6M8rraJaygegJ&usg=AFQjCNEM3Uhpemk7Qm3NJGeO8WJCj1hzZA



\(  {\red Editado }  \).

No se parece en nada, está todo mal.