Veo que la discusión sobre el UTF continúa.
Como es muy largo este hilo, no me dan ganas de leerlo todo.
Así que les planteo una pregunta, que no sé si ya se ha planteado entre todas las posibilidades que han discutido.
Voy a plantear las cosas con enteros estrictamente positivos, para fijar las ideas en la cuestión relevante, y no andar molestando con casos especiales, que el 0 sí, que el 0 no, bla, bla.
Se sabe que no existen enteros positivos x, y, z tal que \( x^n+y^n=z^n \), cuando hemos fijado \( n \geq3 \).
Ahora reescribo esto diciendo, no existen enteros positivos \( z,x_1,x_2 \) tales que
\( x_1^n+x_2^n=z^n \).
Dividiendo todo por z, queda una ecuación en racionales, y entonces es equivalente a decir que no existen racionales positivos \( q_1,q_2 \) tales que \( q_1^n+q_2^n=1 \).
Ahora, supongamos he hemos fijado \( n \) entero positivo.
¿Cuál es el mínimo entero positivo M (mayor estricto que 1), tal que SÍ EXISTE alguna lista de racionales positivos \( q_1,q_2,\cdots,q_M \) de manera que SÍ se cumpla la igualdad:
\( q_1^n+\cdots+q_M^n=1 \).
Si podemos probar que \( M \geq n \) en todos los casos, o que \( M \geq3 \) cuando \( n \geq3 \), eso implicaría el UTF.
Creería que con la teoría usada en el famoso paper de Wiles esta pregunta puede contestarse, pero son herramientas muy complejas.
¿Podemos decir algo con herramientas más sencillas?
¿Qué relación hay entre M y n?
Obviamente, \( M \leq 2^n \)...
Saludos
