En definitiva, confirmar que 6(Tn)+1 no puede ser un natural elevado al cubo serviría.
8(Tn)+1 es siempre un cuadrado porque
\( 2^3\displaystyle\frac{n(n\pm{1})}{2} + 1 \) =
\( 2^2(n(n\pm{1}) +1 = 2^2n^2 \pm{2^2n} +1 = (2n)^2 \pm{4n} + 1 = (n\pm{1})^2 \)
Porque se da la particualirada que 22 = 2·2; es decir, que el primer elemento del polinonmio precisa un cuadrado y el segundo un número multiplicado por 2, y 4 cumple esas dos características.
Pero en el caso 3, tendríamos que hallanr un número que mutliplique a la expresión \( \displaystyle\frac{n(n\pm{1})}{2} \) + 1 y que se convierta en, por un lado un cubo para formar el primer elemento; por otro sea par para eliminar el divisor; y por otro lado sea 3, para formar el segundo y tercer elemento
\( n^3 \pm{} 3n^2 + 3n \pm{}1 = (n\pm{}1)^3 \)
cosa que ni parece posible ni, además, lo es, pero que no somos capaces de demostrarlo a nuestra sencilla manera
La cosa de los números Triángulo tendría su importancia porque si planteamos el UTF como un desarrollo del binomios elevados a potencias
\( z^3-x^3 \), donde x<z, z=x+b, \( z^3-(z-b)^3 \)
en el Triángulo de Pascal que lo desarrolla aparecen al menos siempre dos Triángulos, excepto en las dos primeras líneas, donde sólo aparece el 1
1
1 2
1 1 3
3 1
1 4
6 4 1
1 5
10 10 5 1
1 6
15 20 15 6 1
1 7
21 35 35 21 7 1
Salu2
