Hola:
La verdad es que tengo avisos de este tópic en mi e-mail y entro para leerlos, pero creo que hace tiempo perdí el hilo (o los hilos). No estaría mal un resumen de la situación, je, je...
Sobre el caso del UTF, topo23 tiene mucha razón, es algo viejo; pero para algunos (entre los que me incluyo) es como jugar al ajedrez. No por viejo menos divertido.
Como dije, perdí el hilo y no sé si lo que aporto ya está considerado, pero lo transcribo de todas maneras. Va sobre el caso de diferencias de cubos.
En el último mensaje / persiana de Racedom (estaría bien que los adjuntara como textos, para imprimirlos tranquilamente... ;.D) comentaba algo:
Visto lo visto en los cuadrados, pasemos a los cubos. Veamos su irregularidad, en el caso más sencillo: Cubos colindantes.
2^3-1=7; 3^3-2^3=19; 4^3-3^3=37; 5^3-4^3=61; 6^3-5^3=91; 7^3-6^3=127; 8^3-7^3=169; 9^3-8^3=217; 10^3-9^3=271; 11^3-10^3=331; 12^3-11^3=397; 13^3-12^3=469.....
Tenemos, pues, la serie 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469....
Apuntar que la serie que cita son números de fórmula 6(x)+1, (congruencia +1 en módulo seis), con la característica que x corresponde a números triángulos T.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66 ...
Como se sabe, dos T consecutivos hacen un cuadrado.
Tn + Tn-1 = n2
Esto nos lleva a la siguiente particularidad más que regular en este caso.
Podemos buscar, por ejemplo, 83-33 y expresarlo siguiendo a Racedom así
83-33 = 83-73+73-63+63-53+ 53-43 + 43-33=
= 6(28)+1 + 6(21)+1 + 6(15)+1 + 6(10)+1 + 6(6)+1 =
= 6 (28+21+15+10+6) + 5
O dicho de otro modo a3- b3 = 6 ( Ta-1 + Ta-2 ... + Tb ) + (a-b)
El numerador del 6 se convierte en suma de potencias (si la diferencia entre a-b es par), o suma de potencias más un número T (si es impar). En el caso que digo
6 (49 + 25 + 6) + 5 = 6(72+52 + 6) +5 o también 6 (28 + 62 + 42) + 5
La conclusión es que para cualquier a,b natural, a>b por conveción,
si a-b es par:
a3- b3 = 6
( (a-1)2 + (a-3)2 + (a-5)2 ... + (b+1)2
) + (a-b)
si a- b es impar:
a3- b3 = 6
( (a-1)2 + (a-3)2 + (a-5)2 ... + (b+2)2 + Tb
) + (a-b)
o indistintamente
a3- b3 = 6
(Ta-1 + ..... + (b+3)2 + (b+1)2
) + (a-b)
El siguiente paso sería demostrar, pues, que este tipo de regularidad en módulo 6 no se da en ningún número natural elevado al cubo, y de ahí seguir tirando el hilo....
Salu2
