[almendra]

Hola.

Para que nadie se asuste más de lo necesario,  quería decir que el   argumento general del trabajo que  menciona  topo  es correcto  (creo) y bastante sencillo, pero que los  detalles a veces  patinan un poco.

Sólo por mencionar uno: al principio de la página 2, se dice que en \( \mathbb{Z}_4 \) vale \( a^3=a \), lo que no es cierto.
Sin embargo, el lema 1  sí es cierto y se puede demostrar sin utilizar lo anterior.

La recomendación sería:  leerlo con el ojo atento  e ir  completando  o redondeando  los detalles cuando  haga  falta.  Varios de los argumentos que se utilizan han sido expuestos una y otra vez en este mismo hilo.

Saludos.

[almendra]

Pensaba que parte de este hilo ha trasmutado al hecho de que 26 es el único, digamos natural, que está "encerrado exactamente" entre un cuadrado y un cubo.

Entonces el estudio de   \( k^2<n<k^{\prime}^3 \) , con \( n-1=k^2 \) y \( n+1=k^{\prime}^3 \),  lleva a buscar las soluciones de \( y^3-x^2=2 \), y finalmente se prueba que el único \( n \) con esta propiedad es n=26.

Pero qué pasa si se busca el otro caso, es decir, si \( n \) queda "encerrado" entre un cuadrado y un cubo, pero el cuadrado arriba y el cubo abajo?  (Una solución trivialona sería n=0. ¿hay otras?)

Y esto conduciría  al estudio de \( y^3-x^2=-2 \). ¿Está hecho? En realidad no sé si es una tontería la pregunta, o si es imposible. Era sólo una curiosidad.         

[Ruben Rosas]

 Lo dije hace mucho : los \(  X^3 - Y ^2 = d  \)lo resolví hace 8 años
 con total generalidad. Ahora estoy viendo otras formas de solución que dejé
 expresado en el foro. Para d = 2 ,tambien pienso que Fermat podría haber
 visto simplemente los números, y, por lo que llamaría "el embudo" haber
 entrevisto la solución. Para mí ésa cuestión es contundente, aunque algunos
 digan son sólo números.
 En cuanto a d=-2, creo que es imposible pues  también parece imposible igualar
 (X-1)(X+1) con  (Y+1)(( Y(Y-1)+1 )) . Ésto en números naturales para X,Y
 Para X,Y, enteros positivos o negativos xonsiderando.\( X^3 - Y^2 = d \)
 se puede escribir Y = X+ 2k con k entero positivo o negativom entondes
 \( (X-1)X^2 +4kX+4k+2=0 \),para X-1 = 2 es \( X^2+4kX+3 = 0
 \)la raíz positiva para X es uno , con k = -1 resulta Y = -1, que es una
 solución para d = -2

[Ruben Rosas]

 Escribo para personas que tenga conmigo alguna afinidad, sé que con
 cierta "gente" escriba lo que escriba no la voy a convencer, de cualquier
 forma trato de responder y razonar ciertas cuestiones matemáticas, y por
 lo menos es un intento, y generalmente no repito soluciones conocidas y
 material ya "digerido".

[Ruben Rosas]

 Menos mal.

[almendra]

Respuesta para topo23:

Supongo que la solucion debe ser muy similar factorizando en el anillo adecuado, en este caso y^3 = x^2 - 2 = (x + sqrt{2}) (x - \sqrt{2}) y hay que mirar en el anillo correspondiente Z[\sqrt{2}].

Lo mismo pensé, pero al hacerlo, me  da que no hay ninguna solución.   Como \( x=\pm{1} \) e \( y=-1 \) son soluciones, es obvio que  en algún lado estoy metiendo la pata.
Gracias igual por el aporte
 

[almendra]

Respuesta para topo23:

Sobre las unidades, me parece que alcanza con saber que \( z=a+b\sqrt{2} \) es inversible en \( \mathbb{Z}[\sqrt{2}] \) si  y sólo si \( |a^2-2b^2|=1 \).

Utilizando la notación usada en el paper que indicaste, obtengo para este caso que  \( b^2=1 \) y \( 3a^2+2=1 \).  Y ahí me quedo.

Saludos.

[almendra]

Ahora entiendo lo que decís de las unidades. Y tenés razón!  Creo que una parte de mi cabeza las trataba como 1 y -1, y por eso me las olvidé.

Entonces no tengo idea de si este problema es atacable o no.  En realidad, fue  simplemente por  curiosidad que empecé a revisar el argumento que vos indicaste, para ver si se podía aplicar a este caso. Pero ahora me parece que no se aplica, al menos no directamente.

Gracias por  la atención prestada! 

 

[Ruben Rosas]

 Se me ocurre que ésto de "inversibles" "grupos" anillos" " cuerpos" etc,
 escapan de lo que habría imaginado Fermat. Es interesante ver cómo
 éstas variantes "exquisitas" sirven a algunos,quizás, para hacer ver que están
 "en la pomada" pero que en realidad están lejos de "una solución fácil"
 cómo lo indica el título del tema.

[Ruben Rosas]

 Por lo menos en algo coincidimos.