Mira racedom, de los tres puntos que mencionaste, el segundo no lo
capto.Trataré de explicar el primero, en un esfuerzo puesto que yo
no salí de la enseñanza para el bachillerato, de cualquier forma lo
que diré creo que es más de lo que allí se enseña (que los doctos
me corrijan si es necesario)
Una ecuación completa de segundo grado con coeficiente enteros tiene la forma:
\( A X^2 +B X + C = 0 \)
Ésta ecuación tiene dos valores para X que hacen el primer miembro
igual a cero, se llaman raíces de la ecuación (dos valores pues es dos el exponente de mayor grado)
Si el segundo y tercere término o la suma de los dos son divisibles
por A , entonces las raíces son enteras, si no lo son entonces una
raíz por lo menos es fraccionaria(racional).Descartamos las irracionales e imaginarias.
.La cuestión es que la diferencia
de un cubo menos un cuadrado debe darse en números naturales
por lo tanto una raíz de la ecuación a que se reduce el problema
tendrá que ser entera positiva.
La ecuación completa se puede reemplazar por (X-u)(X-v)=0
entonces X deberá igualarse con u , o bien con v, y por lo tanto
uno de los paréntesis será nulo y su producto también.
La suposición que u, v sean fracciones n/m, N/M es imposible pues
una raíz debe ser entera.Si fuera así sería A =m.M
Para d= 2 , X, Y deben ser impares , y X-1 sería un número par, por
lo tanto sería A=m(sería igual al denominador de una fracción)
Recordando que haciendo \( X^3= X.X^2, Y=X+2k \)
queda \( (X-1)X^2 -4kX - 4k^2-2 = 0, \)(&)
entonces X-1 = A, 4K = B, 4k^2 - 2 = C
Expresando la ecuación como el producto de dos binomios resulta:
(X- a)(X+j/P) =\( X^2 -(aP-j)X/P -aj/P=0 \)
como X-1 es par sustituyo la fracción por j/P para recordar que el
numerador es impar y el denominador es par, entonces
Expresando la ecuación como el producto de dos binomio resulta
(X-a)(X+j/P)=\( X^2 - (aP-j)X/P - aj/P =0, o bien
pX^2 -( aP-j)X - aj= 0 \)
Se ve aquí que losl coeficientes B,C son impares en cambio en (&)
son pares,
por lo tanto no se puede suponer una raíz j/P, es decir hay que
suponer que para X existen dos raíces enteras u, v
Luego X-1 divide I) a cada uno de los términos restantes, II) divide
a la suma de los dos términos. Demostré que no puede dividir a la
vez a los coeficientes de ésos dos términos(excepto dos) por lo tanto hay que
demostrar el caso II)
Espero racedom que la oscuridad se haya disipado un poco.
Saludos.
