Autor Tema: El último teorema de Fermat. Una demostración sencilla.

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26 Marzo, 2008, 01:26 pm
Respuesta #140

Luis Fuentes

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Hola

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¿NO SE ENTIENDE LO QUE DIGO EN EL PEDANTE (no quiero molestar sino llamar la atención imitando a Fermat que gustó de retar) RETO?
El reto creo estar muy claro: He dado las soluciones y lo que se pide es que se descubra el camino que se ha seguido. El mero hecho de decir que la solución de X(2)=AY(2)+1, reside en la ecuación X(2)=AY(2)-1, y viceversa, me parece a mi que pone al descubierto el camino que se ha seguido.

 Ah. Dadas dos soluciones consecutivas de tu lista, la primera para la positiva y la segunda para la negativa (o de al revés):

 \( x_n^2=5y_n^2+1 \)
 \( x_{n+1}^2=5y_{n+1}^2-1 \)

 La siguiente se obtiene como:

 \( x_{n+2}=4x_n+x_{n-1} \)
 \( y_{n+2}=4y_n+y_{n-1} \)

Saludos.

30 Marzo, 2008, 03:04 am
Respuesta #141

Ruben Rosas

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 La escritura de racedom me hace acordar a los textos antiguos de Cervantes

 Quevedo y otros ¿ será de tanto leer latín? ( no se tome como ofensa si no más

 bien como una broma)

 La interpretación que hace El manco de la propuesta de racedom me parece

 que es conocida en teoría de números, por lo tanto nada nuevo hay bajo el sol

 La ecuación   \( x X^m - y Y^n = 1 \) siempre tiene solución se me

 ocurre pues creo que la ecuación de Bezout A x - B y = 1 siempre tiene

 solución, por lo tanto bastaría hacer\( A= X^m , B = Y^n \).Si ésto está

 bien ¿es conocido?.Lo pienso por el enlace que se adjunta a la Ecuación de Pell


31 Marzo, 2008, 12:31 pm
Respuesta #142

Luis Fuentes

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Hola

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La escritura de racedom me hace acordar a los textos antiguos de Cervantes

 Quevedo y otros ¿ será de tanto leer latín? ( no se tome como ofensa si no más

 bien como una broma)

 A mi también me recuerda a castellano antiguo.  ;)

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La interpretación que hace El manco de la propuesta de racedom me parece

 que es conocida en teoría de números, por lo tanto nada nuevo hay bajo el sol

 Por si quedan dudas, yo no pretendía que mi aportación fuese nada nuevo. Como ya dije en mi primer post sobre esta cuestión, la ecuación de Pell y temas relacionados, esta resuelta, archi-resuelta, probada y requeteprobada. Tampoco creo que racedom pretendiese novedad alguna, ya que entiendo que sus propuestas tiene caracter de "divertimento", como él ha dicho.

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La ecuación   \( x X^m - y Y^n = 1 \) siempre tiene solución se me

 ocurre pues creo que la ecuación de Bezout A x - B y = 1 siempre tiene

 solución, por lo tanto bastaría hacer\( A= X^m , B = Y^n \).Si ésto está

 bien ¿es conocido?.Lo pienso por el enlace que se adjunta a la Ecuación de Pell

Esto es muy correcto (siempre que \( X \) e \( Y \) sean primos entre si). Lo de es conocido... no si exactamente así escrito... pero digamos es consecuencia directa de resultados conocidos.

 Racedom: tu colección de soluciones es esta:

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ECUACIÓN: X(2)=AY(2)+1
9(2)=5x4(2)+1
161(2)=5x72(2)+1
2889(2)=5x1292(2)+1
51841(2)=5x23184(2)+1
930249(2)=5x416020(2)+1
16692641(2)=5x7465176(2)+1
299537289(2)=5x133957148(2)+1
5374978561(2)=5x2403763488(2)+1
................................................................
ECUACIÓN: X(2)=AY(2)-1
38(2)=5x17(2)-1
682(2)=5x305(2)-1
12238(2)=5x5473(2)-1
219602(2)=5x98209(2)-1
3940598(2)=5x1762289(2)-1
70711162(2)=5x31622993(2)-1
1268860318(2)=5x567451585(2)-1
22768774562(2)=5x10182505537(2)-1
....................................................................

Podemos ir denotando alternativamente a los pares \( (X,Y) \) solución de una y otra por:

\( (x_1,y_1)=(9,4) \)
\( (x_2,y_2)=(38,17) \)
\( (x_3,y_3)=(161,72) \)
\( (x_4,y_4)=(682,305) \)
\( (x_5,y_5)=(2889,1292) \)
ecétera

Lo que yo digo es que esos pares de soluciones se relacionan por las ecuaciones:

\( x_{n+2}=4x_n+x_{n-1} \)
\( y_{n+2}=4y_n+y_{n-1} \)

De manera que de las dos primeras salen todas las demás:

161=4*38+9
72=4*17+4

682=4*161+38
305=4*72+17

2889=4*682+161
1292=4*305+72

etcétera...

Está es una forma (sencilla, "con matemáticas de Bachillerato", como tu dices) de construir tu serie de soluciones.

Saludos.

31 Marzo, 2008, 06:02 pm
Respuesta #143

Luis Fuentes

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Hola

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¿Por qué actuar así? Porque creo que el ideal sería que otra mente, por ejemplo la de "El Manco" (y todo el que quiera apuntarse) se desprendiera, por un momento, de su sabiduría matemática e intentara meterse en la mente de Racedom y así llegar a lo que éste llega y por el mismo camino.

Yo, soy yo y mis circunstancias. Y para bien o para mal, lo aprendido aprendido está, así que no veo capaz de despojarme de lo que sé (algo ó poco). Menos aun de meterme en la mente de nadie, que ya me llega con habitar en la mía.

Por otro lado, los ejemplos dan indicios de muchas cosas, pero prueban muy pocas. A lo sumo un contraejemplo nos puede servir para tirar abaja una conjetura. Por ejemplo, tu lista de soluciones de la ecuación de Pell y sus variantes, sirve para tirar abajo la conjetura "la ecuación de Pell no tiene solución". Pero no sirve para probar: "la ecuación de Pell siempre tiene solución".

Y en cuanto el Teorema de Fermat, la cosa es todavía más complicada. En general muchos de los grandes problemas de las matemáticas han tenido más que que ver con probar la "no existencia de" que con probar "la existencia de". Puedes encontrar 150 millones de ejemplos  e indicios que nos lleven a pensar que la conjetura de Fermat es cierta, pero sin embargo no prueban nada. Si no se da una demostración rigurosa, el ejemplo 150 millones uno podría tirarla abajo.

Saludos.

02 Abril, 2008, 01:54 am
Respuesta #144

Ruben Rosas

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 Mira Racedon, insisto que tu forma de escribir es un poco rara ( a lo mejor sos la

 reencarnación de algún escritor del siglo XV) pero no lo tomes a mal (son gages

 del oficio pues a mí también me critican mucho)

 Respecto del lo que mencionas que no se puede descender del infinito:  si se trata

 de "construir" los números pares,por inducción se concluye que son infinitos.

 Por ascenso: 2+2 = 4 = 2x2, 4+2=6=2x3, 6+2 = 8 = 2x4,..(¿dependen de N?)
 
 Por descenso : 6-2= 4, 4-2 = 2, 2-2 = 0 (¿ el cero es par?)

 Así sucesivamente, llegaremos a infinito (¿lo segundo está mal?)

 Si está mal ( parafraseando a Racedom) es como que de Montecarlo(Misiones)

 pueda ir al polo, pero del polo no pueda volver a Montecarlo.

 Otra cuestiuón:¿por qué tenían tanta fé los matemáticos en Fermat si todo lo

 de él fueron conjeturas?. Parece que Fermat proponía problemas muy "fuertes"

 a los matemáticos de su tiempo (especialmente a los ingleses, aunque él no lo

 fuera) acostumbraba a rebatir uno a uno las supuestas soluciones. Es decir

 Fermat no era un simple aficionado, Su gran apego al rigor le llevó al odio de

 algunos de sus contemporáneos. Descartes le llamaba" gascón insulso"

 Cuestión dos, hace ocho años resolví la cuestión del 26 emparedado ente un

 cubo y un cuadado, único caso según Fermat, dos casos de tres números

 emparedado etre un cubo y un cuadrado,, 8,7,6, y 124,123,122. Por mi parte

 demuesto éstos casos y todos los demás con matemáticas elementales.Sólo

 hay tres casos en dónde la resta es igual a 39. Un amigo hace tiempo, me dío

 resultados obtenidos con un programa de computación.Allí se ve que las RMP

 se hacen cada vez mayores, pero en forma desconcertante, si se llevara a un

 gráfico se parecería  a  f(x) = x + F(x) siendo F(x) una duncion senoidal.Por lo

 tanto dá la impresión que ésos primeros resultados nunca más se obtendrán,

 pero como dice El manco, quién sabe si no sucede en la oportunidad 151.Pero

 mi "demostración" queda avalada por qué en el proceso se deben ir obteniendo

 ciertos resultados, y ellos se dan uno a uno.RMP=restas mínimas positivas

 En cuánto a Racedon de  \( X^2 - A Y^2 =+/-1 \)un escalón

 que sube y otro que baja, "creo" que éso está en la teoría, expresando A^1/2

 como fracciones contínuas infinitas.Ejemplo si esR=\( X^2 - 2 Y^2=+/-1 \)

 se tiene 3/2; 7/5; 17/12; 41/29 ; 99/70;.....Obteniéndose éstas fracciones de

 1+1/2
         +1/2
                + 1/2......

 Los numeradores son las X en la ecuación, los denominadores son las Y.

 3/2, 17/12, 99/70,.. representan a las restas R= +1, las 7/5,41/29,.representan

 las restas R = -1 = Los numeradores se obtienen de la forma2.3+1=7,, 3.5+2 = 17,  3.12 + 5=41

 Los denominadores: 2.5+2= 12,    2. 12 + 5= 29,    2. 29 + 12 = 70, ...

 es decir un modo reiterativo de obtener resultados atendiendo a los números

 de las fracciones anteriores.

06 Abril, 2008, 01:12 am
Respuesta #145

Ruben Rosas

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 LOS PROBLEMAS DE FERMAT CON RESPUESTA SENCILLA

 LOS EMPAREDADOS

 Decía que hace 8 años había encontrado una forma de expresar todas las

 soluciones de \( X^3 - Y^2 = d \);(&)   X.X^2 - Y^2 = d

 Aquí muestro otra forma de "demostrar" los primeros casos dados por Fermat

 I) ( X - a )( X + j/P)=0; PX^2- (Pa+j)X-a = 0;  j= impar, P= par

 II)(X-1)X^2 - 4kX- 4k^2 - d = 0

  Si d=2, entonces X, Y son impares, pues si d es par entonces X,Y son ambos

 pares o ambos impares. Si ambos fueran pares enonces d es múltiplo de 4, por

 lo tanto no puede ser.

 La fórmula II, se obtiene de reemplazar el cubo de X por éste multiplicado por

 por el cuadrado de X, y de reemplazar Y por X + 2k.Entonces queda

 al operar ( X - 1)X^2  - 4 X k - 4 k^2 - d = 0

 Si  X - 1 no divide a los otros términos entonces hay una raíz por lo menos

 que es fraccionaria, pero debería haber en éste caso una raíz entera positiva

 que la llamo a. Pero el caso I, revela que es imposible pensar en una raíz j/P

 con P= par, j = impar ( Si X es impar enonces X-1 es par )

 Cuando se reemplaza una ecuación por otra transformada entonces habrá

 raíces que son solución de la dada y otras que son extrañas. Para d = 2 se

 obtiene X = 3 que dá la única solución pues si se reemplaza Y por 3, por 1

 se obtienen para d los valores d = 18, d = 26, por lo tanto no sirven pues

 d debe valer 2. Si se remplaza en X^3 -( X + 2k)^2 = 2 se vé que para k = 1

 d = 2 la solución es X = 3. Si se divide ésta ecuación por  X - 3, se obtiene

 una ecuación de segundo grado en dónde las otras raíces son imaginarias con.

 La II expresa de otra forma X^3 - Y^2 = d

 La II no se puede expresar como la I pues pa+j es impar en II 4k es par

 X es primo con X-1 pues la resta de ambos es uno

 Si d = 2 es en II,\( 4l^2 -2 = 2( 2 k^2+1) \)

 por lo tanto X-1 debe dividir a éste número y dividir a 4k y ésto es imposible

 pues 2k^2 +1 es primo con k, pues si 2k^2 +1 = hk es 2k+1/k = h, el primer

miembro es fracción (con k mayor que uno) y el segundo miembro es entero,

 duego X-1 sólo puede dividir a 2 (lo mismo para X-1 = 4 cuando d=4 )

 Si X-1 = 2, entonces X = 3

 4k^2 +2 = 2X = 6 , k = 1 , Y = X + 2k = 3 + 2 = 5

 Por lo tanto resulta en\( X^3 - Y^2 = 2 \) la única solución X=3,Y = 2


 En la misma forma para d= 4, resultan X = 5, Y=11 ;  X = 2, Y = 2 

 Nota: las raíces negativas son raíces extrañas.

07 Abril, 2008, 07:22 pm
Respuesta #146

Ruben Rosas

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 Mira racedom, a mí me pasa lo mismo en cuanto a escribir fórmulas.

 Hablaste del número 26 emparedado ente un cubo y un cuadrado. Dí una

 posible demostración de ésta cuestión mencionada por Fermat. Me gustaría

 saber tu opinión respecto de ésta "demostración" fácil.

08 Abril, 2008, 10:50 pm
Respuesta #147

Ruben Rosas

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 Mira Racedom, hice unos agregados a mí mensaje 218 del 5 de Abril, que espero

 sean aclaratorios. Somos hermanos en ignorancia pues yo también no sé mucho

 de internet ordenadores etc.Lo considero una "demostración" simple yse adecua

 perfectamente a la escuela secundaria,y , si la demostración vale entonces

 se tendría una linda anécdota para la historia de cómo ella pasó ante el filtro de

 del análisis de muchos matemáticos en forma inadvertida.

 Saludos y te agradezco tu interés.

10 Abril, 2008, 05:15 pm
Respuesta #148

Ruben Rosas

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 Mira racedom en el mensaje 218 del 5 de Abril proponía una solución al caso

 en dónde se expresa que 26 es el único número "emparedado" entre

 un cubo y un cuadrado. Decía que opinión tenías sobre ésa supuesta solución

 pues vos lo mencionaste y se trataba de una de las tantas propuestas dadas

 por Fermat.De cualquier forma el pedico va dirigido a cualquier persona que le

 interese el tema. Saludos

14 Abril, 2008, 02:32 am
Respuesta #149

almendra

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Hola.

Quería comentarles que en este blog hay una linda demostración.  Se trata de  una demostración en una  sola frase de que todo primo congruente con 1 módulo cuatro se puede escribir como suma de dos cuadrados. No es una demostración constructiva, pero a cambio es  original, corta, utiliza herramientas elementales (y la han escrito en castellano).

Tal vez debería iniciar otro hilo para mencionarla, pero  como aquí los primos que se pueden escribir como suma de cuadrados son un tema recurrente,  acá va:

http://ende.cc/bk2/pivot/entry.php?id=440

Para los que quieran ver el artículo original está, la referencia es   
The American Mathematical Monthly,  Vol. 97, No. 2. Feb. 1990.

Puede hacer falta la definición de involución, que es una función que compuesta con ella misma da la identidad, sería en este caso una \(  f  \) tal que  \(  f(f(x,y,z))=(x,y,z) \); y la definición de punto fijo, que es un punto que queda fijo por \(  f  \), es decir, sería un punto   \(  (x, y, z)  \) tal que \(  f (x,y,z)=(x,y,z) \). Y además al terminar la demostración vienen algunas otras  aclaraciones que pueden ser útiles.

Saludos.