[Ruben Rosas]

 Para A = 2 se tiene la solución X= 3, Y = 2

 Para A = 3 se tiene la solución X = 7, Y = 4

 Lo que no sé es si para cualquier A siempre existen soluciones.

 Lo que se sabe es que una vez obtenida una solución entonces existen

 infinitas otras,

 Estas ecuaciones fueron llamadas de Pell, pero creo que J. Rey Pastor se

 decía que se debían en realidad al indú Baskara.

 Tengo entre mis papeles una solución folclorica que si los encuentro los

 daré a conocer alguna vez. Teóricamente se resuelven por el método de las

 fracciones contínuas infinitas.

 Respecto del UTF, creo que por la vía que había emprendido parece que no se

 llega a ningún lado, pero se puede ver que en la terna X, Y, Z, X es impar, y

 si fuera el producto de los infinitos números primos impares, entonces por

 descenso infinito se pueden obtener las infinitas ternas pitagóricas, pero es

 inmediato que sólo es posible en los cuadrados de las ternas pues se pueden

 expresar como el producto de dos factores cada uno de ellos de dos sumandos

 y ésto es fundamental en la demostración. Si fuera Fermat escribiría lo que

 escribió en el márgen del libro, si él sabría lo que acabo de decir ( por supuesto

 no significa que me crea Fermat para afirmar lo antes dicho)

[Luis Fuentes]

Hola

 Como muy bien dice Ruben Rosas la ecuación que propone racedom, es la famosa ecuación de Pell:

 \( x^2-ay^2=1 \)

 El método de resolución general más conocido involucra el uso de las fracciones continuas. El problema es que en su día ya estudié la ecuación de Pell, y me cuesta escapar de las soluciones standard.

 Hay dos cosas que si se razonan de manera bastante inmediata (aun así son parte de la teoría standard). Las pongo ocultas por si alguien quiere pensarlo primero sin leer nada antes:

Spoiler

1 - Si \( a \) es un cuadrado perfecto la ecuación no tiene soluciones no triviales. Basta tener en cuenta que dos cuadrados de números enteros siempre distan más de la unidad.

 2 - Dada una solución \( (x_0,y_0) \) de la ecuación pueden construirse infintas soluciones de la misma. Basta tener en cuenta que:

 \( x_0^2-ay_0^2=1\quad \Rightarrow{}\quad (x_0^2-ay_0^2)^{2}=1 \)

 y

 \( (x_0^2-ay_0^2)^2=x_0^4+a^2y_0^4-2ax_0^2y_0^2=x_0^4+a^2y_0^4+2ax_0^2y_0^2-4ax_0^2y_0^2=(x_0^2+ay_0^2)^2-a(2x_0y_0)^2 \)

 (corregido gracias a Ruben Rosas).

 de donde vemos que \( (x_0+ay_0,2x_0y_0) \) es una nueva solución. Reiterando el proceso obtenemos infinitas soluciones.

 Esta idea se puede refinar un poco para obtener todas las soluciones:

 \( x_0^2-ay_0^2=1\quad \Rightarrow{}\quad (x_0^2-ay_0^2)^{n}=1\quad \Rightarrow{}\quad (x_0+\sqrt{a}y_0)^n(x_0-\sqrt{a}y_0)^n=1 \)

 Donde:

 \( (x_0+ \sqrt{a}y_0)^n=x_n+\sqrt{a}y_n \)  (1)

 \( (x_0- \sqrt{a}y_0)^n=x_n-\sqrt{a}y_n \)   (2)

 De manera que:

 \( 1=(x_0+\sqrt{a}y_0)^n(x_0-\sqrt{a}y_0)^n=(x_n+\sqrt{a}y_n)(x_n-\sqrt{a}y_n)=x_n^2+ay_n^2 \)

 y así \( (x_n,y_n) \) es una nueva solución. Una fórmula explícita para estos valores que se deduce sumando y restando las ecuaciones (1) y (2) es:

\(  x_n=\displaystyle\frac{(x_0+ \sqrt{a}y_0)^n+(x_0- \sqrt{a}y_0)^n}{2},\quad y_n=\displaystyle\frac{(x_0+ \sqrt{a}y_0)^n-(x_0- \sqrt{a}y_0)^n}{2\sqrt{a}} \)

 Pero también puede darse una manera recursiva cómoda de escibirlas:

 \( (x_{n+1}+\sqrt{a}y_{n+1})=(x_n+\sqrt{a}y_n)(x_0+\sqrt{a}y_0)= \)
                                 \( =x_0x_n+ay_0y_n+\sqrt{a}(x_0y_n+y_0x_n) \)

 De manera que:

\(  x_{n+1}=x_0x_n+ay_0y_n \)
\(  y_{n+1}=x_0y_n+y_0x_n \)

 o matricialmente:

 \( \left({\begin{array}{ccc}{x_{n+1}}\\{y_{n+1}} \end{array}\right)=\begin{bmatrix}{x_0}&{ay_0}\\{y_0}&{x_0}\end{bmatrix}\left({\begin{array}{ccc}{x_n}\\{y_n} \end{array}\right) \)

 La consecuencia de esto es que el problema radica en encontrar una solución. Ahí si que no veo una manera más simple que funcione en general que las fracciones continuas.

 Por ejemplo, para la ecuación:

 \( x^2-2y^2=1 \)

 Es fácil ver (como bien apuntó Ruben Rosas) que \( (x_0,y_0)=(3,2) \). Las nuevas soluciones se obtienen recursivamente como:

 \( \left({\begin{array}{ccc}{x_{n+1}}\\{y_{n+1}} \end{array}\right)=\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\left({\begin{array}{ccc}{x_n}\\{y_n} \end{array}\right) \)

 o directamente como:

 \(  x_n=\displaystyle\frac{(3+ 2\sqrt{2})^n+(3- 2\sqrt{2})^n}{2},\quad y_n=\displaystyle\frac{(3+ 2\sqrt{2})^n-(3- 2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}} \)

 De donde se va obteniendo las sucesivas soluciones:

 \( (x_1,y_1)=(17,12), \quad (x_2,y_2)=(99,70),\quad \ldots \)

[cerrar]

Saludos.

P.D. Un par de enlaces sobre la ecuación por si alguien quiere leer más:

Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos.

Pell's Equation.

[Ruben Rosas]

 En el mensaje 197 de El manco¿ no deben figurar en la segunda fórmula X sub

 cero, Y sub cero a la cuarta?

 Hace unas horas escribí un mensaje pero no salió.Debo decir que igual que

 racedon no sé nada de Látex, ésto se debe a la decidia de uno de no hacer

 estudios particulares, muchos en la universidad o en centros de estudios

 aprenderán éstas formas de escritura pero en mi caso hace mucho que dejé

 éstas aulas.

 Decía en el mensaje frustrado, en síntesis que si X= impar es el producto de

  de números primos A. B a partir de la terna que se produce se puede obtener

 la que corresponde sólo a  A ( terna pitagórica) a partir de tres factores

 primos consecutivos A,B,C se puede obtener la que corresponde a A, a B

 a AB, a Ac.Lo  mismo con el caso de cuatro factores etc.No es un método

 quizá demasiado práctico para las ternas , pero se ve que es solo aplicable

 a aquellos casos que se pueden expresar los cuadrados de X como el producto

 de dos factores de dos sumandos de primer grado alguno de ellos. Se podría

 imaginar un producto de un número muy grande de factores primos y a partir

 de ellos por descenso obtener la mayoría de las ternas pitagóricas,Es  de

 importancia que en otros exponentes los segundos factores serían trinomios

 cuatrinomios etc 

[Ruben Rosas]

 Mira racedom, en el mensaje 199 hay algunas relaciones interesantes pero no

 sé si se te ocurrieron a vos o si lo tomaste de un spoiler que mencionaste.

 Por lo pronto a mí se me ocurre obtener los A de los números T (números

 triángulos que son suma de naturales consecutivos).Si se consideran T= par

, sus mitades y sus dobles son A, también lo son los anteriores

 y siguientes de cuadrados  entonces tengo como valores A

 A = 0, 2, 3, 5,7, 8 ,10 12,14, 15, 17,18 20,24, 26 33, 35, 37,39,......

 Pero aquí ni en las tablas que publicaste figura por ejemplo el A = 13.

 Se me ocurre que Fermat se apresuró al afirmar (si lo hizo) que un A puede

 ser un número natural cualquiera  se entiende con X, Y números naturales)

 Los cuadrados pares distan entre sí 4j ( j= impar) es decir 4.1= 4, 4.3 =12

 4.5= 20, etc Luego ésas clases de A asociados estarán en la

 misma progresión.

 Saludos.

[Ruben Rosas]

 Mira racedon, pregunté si ésas tablas que publicaste eran de tu propia cosecha

 pero si los copiaste de algún lugar no serían deshonra. Si no fuera permitido poder

 copiar entonces no existirían los libros de ciencia pues casi todos salvo algún

 aporte pequeño del autor traen citas de otros científicos.

 Para mí el número 13, es como cualquier otro.De los ejemplos que diste para

 A=13, los números X, Y son muy grandes ¿ no se pueden dar X,Y más chicos?

 Los primeros ejemplos que diste para A = 2, también fueron con números

 grandes. Creo que el método consiste en obtener números pequeños y luego

 por aplicación de progresiones obtener los números mayores. Tampoco sé

  si existe un método para obtener ésos números pequeños, pero como ésto

 hace mucho que no lo veo lo más probable es que lo olvidé. Creo que lo que

 está demostrado es que si exuste una solución entera entonces existen

 infinitas otras soluciones, pero no sé si está demostrado que para cualquier A

 siempre existe solución. Un método de mi cosecha sería resolver lo siguiente:

 4 n.(n+1) = A \( Y^2 \) para poder obtener los primeros números.

 Saludos

[almendra]

Hola.

Tienen algunas respuestas en los enlaces del mensaje 197 que puso el_manco

Por ejemplo:

La ecuación de Pell \(  x^2-d y^2=1 \)  tiene solución para cualquier  número natural d  que no sea un cuadrado. 

Para d=13,  una solución puede ser:  x=649,   y=180.

Saludos

[Ruben Rosas]

 Mira Almendra, éso le pedía a racedom, que exponga números mas pequeños.

  No puedo obtener los enlaces que se mencionan.

 También una solución sería a través de un programa de ordenador

  obtener todos los  1+ 13\( Y^2 \) y luego extraer la raíz cuadrada

 haciendo variar el valor natural de Y, observando luego si se encuentra un

 resultado natural (ésto lo suponga pues no entiendo nada de ordenadores)

 De cualquier forma como no pude ver los enlaces tengo dudas si si para

 cualquier d ( o cualquier A) siempre existen soluciones

 Según la fórmula que dí  en un mensaje anterior el problema de Pell se podría

 traducir en:" siempre existe un cuadrado que es el cociente de dos números

 consecutivos y un número cualquiera predeterminado no cuadrado"
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Dos  cosas por si queda duda:

 - Está totalmente demostrado que la ecuación de Pell tiene solución para cualquier A que no sea cuadrado perfecto.

 - Hay un método concreto y eficaz para resolverla explícitamente basado en las fracciones continuas.

 En cuanto a las soluciones que presentan, Racedom, está muy bien. Pero no estoy seguro de que metodología usas para llegar a ellas. No se si se basan en experimentaciones con números triangulares o siguen un "plan".

 Por ejemplo con tu método si quiero obtener una solución para la ecuación:

\(  x^2-61y^2=1 \)

 ¿Como se haría? Me interesa más el proceso para llegar a ella, que la solución en si.

Saludos.

[Ruben Rosas]

 Mira racedom, dices que te han respondico con el silencio ¿ en qué cosas?
 Decía Oscar Wilde ¿ Hay algo peor que hablen mal de uno? y él mismo se contestaba , Si existe algo peor que es "que no hablen de uno" ( es decir el
 silencio). De ésto sabían Salvador Dalí y otros ( había que provocar escándalo
 para que el mundo sépa que existen)

 Pude ver ahora el enlace en inglés( lástima) de la ecuación de Pell, y allí veo la
 pata de la sota, la propuesta que te hicieron de A= 61, se debe a que la
 solución dá números muy grandes para X,Y, y con caluladoras de bolsillo sería
 imposibles de obtener
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Efectivamente escogí la ecuación con \( A=61 \), porque la solución más simple involucra números muy grandes. Con esto quise forzar, racedom, que expliques más un método para llegar a ella, en lugar de escribir la solución en si.

 En cuanto a tu reto propuesto: francamente no entiendo en que consiste.

 Mi impresión es que jugando con los números triangulares, obtienes soluciones para ecuaciónes de Pell, pero no estoy seguro de que fijes a priori el \( A \), sino que mi sensación es que lo obtienes a posteriori.

 En definitiva, racedom, después de que has ilustrado una buena y bonita batería de ejemplos, sería interesante que te centrases en describir el procedimiento para llegar a ellos. No con casos concretos, sino de manera general.

Saludos.