[Ruben Rosas]

 Mira León : respecto de l mensaje 147, en dónde mencionas que el error se 
 mantiene incluído en la hipótesis que se agrega (¿ yo lo agrego o vos lo
 agregás? X = 3, Y = 8 , Z = 13. Exactamente no sé a qué te refieres, si es
 a demostrar que m, n deben ser primos entre sí, lo haré más adelante y con
 mayor generalidad, y espero no aburrir a nadie como se ha dicho por ahí
 Es rara ésa expresión de "maestro ciruela" pues aquí también se utiliza ¿vendrá
 del talento de Lepante?.No creo que seas maestro ciruela pues en varias ocaciones demostraste lo contrario.
 Saludos.

[León]

Se agradece el resumen, como la aclaración de antes. Está visto que soy un queso interpretando a Rubén.

A partir de (1) llegamos a:
(2) \( \displaystyle y^3=(z-x)(z^2+xy+x^2) \)

Aqui Ruben argumenta que si \( z-x \) y \( z^2+xy+x^2 \) son primos entre si entonces tienen que ser ambos cubos. Pero no dio una demotracion de este hecho (*).

La misma afirmación (para la factorización similar \( x^3=(z-y)(z^2+zy+y^2) \)) me había trabado en la lectura del otro intento de Rubén, hasta que me di cuenta de que el mcd de los dos factores divide a 3... no alcanza para ver que son coprimos pero está cerca. Si se pudiera ver que por alguna razón 3 no puede dividir a y, o incluso no hiciera falta fijar x<y<z (¿hace falta?) el razonamiento podría seguir adelante.

(Topo, hay un error de tipeo, el segundo factor del lado derecho en (2) es en realidad \( z^2+xz+x^2 \).)

[Ruben Rosas]

 Recién estaba escribiendo un mensaje pero desapareció pues de éstos

 instrumentos infernales no entiendo mucho. Trataré de resumir la cuestión:

 Sobre los cubos

 a^3 = c^3 - b^3, a,b,c son primos entre sí

 sea g = c-b, entonces c^2 + cb + b^2 = 3 c^2 + 3 g c + g^2

 a ^3es múltiplo de g pero no de c luego la última expresión es prima respecto

  de g excepto si g es múltiplo de 3 . Ésto lo he escrito en el foro varias veces

 Respecto del mensaje 156

 También lo había aclarado en el foro

 Una propiedad muy conocida en teoría de números:  q^n = Q R si Q,R son

 primos entre sí entonces ambos son potencias enésimas

 OTRA CUESTIÓN

 (m+n)^p = m^p + n^p + p m n (m+n)k

 Si S = m+n

 S^p = S ( h + p m n k ) 

 S   y    h+ pm n k se complementan para dar S^ (p-1)

 En el caso de los cubos

 Para obtener S^2  había que sumar 3 m n  a m^2 - m n + n^2  , para que

 la expresíon no varíe  había que sumar y restar 3 m n, que es lo que aparece

 en la fórmula (&) de un mensaje anterior.

 

[almendra]

Si volvemos a (1) y hacemos las sustituciones \( x=y-m \), \( z=y+n \) y desarrollamos obtenemos:
(3) \( y^3 - 3(n+m)y^2 + 3(m^2-n^2)y - n^3-m^3 = 0 \)

De aqui podemos observar que m y n son primos entre si.

Así que realmente \( m \)  y \( n \) eran relativamente primos, mirá vos...

Y la demostración cabía  en unas pocas  líneas. Me pregunto si no era más fácil

incluir esas líneas desde el principio en lugar de enojarse con todos los que

hacíamos una observación o una pregunta...

Para topo23: gracias por el resumen.

 

[Ruben Rosas]

 Veo en el foro algunas suspicacias como "aficionado", etc.Referencias de

 artículos en inglés, palabras en inglés como post etc. Sinceramente ésto no me

 gusta. Creo que estamos situados en conjuntos disjuntos cierta gente y yo

 como dice el Nano Serrat.

 Pero ésto es cosa mía.De cualquier forma no mencionaré a quienes me refiero

 a pesar de que la mayoría queda oculta con pseudónimos

 De la formula 4 del mensaje 155, en dónde me cambiaron las letras pues yo

 había usado f= w/u, cambiada por  f = u/v.

 Refiriéndome a ésa fórmula 4 se tendría :

 u( S u^2 - 3 S u v + 3 d v^2) = n^2 - n m + n^2

 Si  S = v^3  es

 u ( u^2 v^3 - 3 v^3 u v + 3 d v^2 ) = n^2 - n m + n^2

 u v^2 ( u^2 v - 3 u v^2 + 3 d) = n^2 - n m + m^2

 Sumando y restando 3 mn:

 u v^2 ( u^2 v - 3 u v^2 + 3 d) = S ^2  - 3 mn

 Pero v^2 divide a S pero no a 3 m n, excepto si S es múltiplo de 3, entonces

 v^2 deber ía ser igual a tres .Imposible que el cuadrado de un entero sea

 igual a tres.

 Si en vez de cubos se tratara de un exponente primo p mayor que tres

 en vez de sumar 3 m n se sumaría p m n k con k mayor que uno, se tendría

 entonces  S^( p-1) - p m n k, y ocurriría lo mismo que para el caso p= 3.

 

[Ruben Rosas]

 Ya te dije que si no querés leer lo que escribo no lo hagas. Creo que deberías

 agradecer que te estoy brindando datos que pueden ser equivocados o no

 pero que me han costado bastante. Si querés enviar el "post" envialo, si no

 no importa.Los mensajes son para todos los miembros del foro que quieran

 leer sin prejuicios lo que escribo .Si te tengo cansado es cosa tuya por

 meterte a leer mis mensajes.

[León]

Citanto a "lelu":

"-Don Rodrigo, relator, que la calma no se pierda, que si seguís discutiendo os vais a ir a la m...
-HAÏA PAZ!"



Hoy a la tarde aluciné de nuevo que me salía terminar el argumento de Rubén, hasta que me di cuenta que me había comido un término fundamental en un desarrollo

[Ruben Rosas]

 
 León, tu última cita no la entendí, ésa de la alucinación

[Luis Fuentes]

Hola

Notar que esos primeros pasos de la demostración que propone Rubén y que llevan a esto:

Ya lo habia escrito por indicacion de Leon.
Se plantean dos casos \( z-x \) y \( z^2+zx+x^2 \) tienen factor comun 1 o 3.

Aquí el camino estandar es dividir en I) \( \displaystyle xyz \ne 0 \mod (3) \) (que es usualmente el caso mas facil) y II) \( \displaystyle xyz = 0 \mod (3) \) (el caso mas dificil).

Son exactamente los que se dan en la demostración que apunté aquí. Ojo, que con esto no quiero decir que sean copiados ni nada de eso, eh. Simplemente insisto una vez más, en que allí hay una demostración simple del Teorema de Fermat, que puede (o incluso "debería de") interesar a los que siguen ésta porque se utilizan argumentos y construcciones muy parecidos.

Esto, lejos de ser una crítica al desarrollo de Rubén es un elogio, en cuanto a que la demostración del enlace si está constrastada.

Si uno continua con los pasos que aparecen allí, ahora debería de probarse que si \( (z-x) \) y \( (z^2+zx+x^2) \) son cubos entonces puede construirse una solución no trivial más "pequeña"(1) de la ecuación de Fermat para \( n=3 \) y terminar concluyendo por "descenso infinito". Pero este es el paso más difícil.

Saludos.

P.D. En general reconozco que estoy un poco decepcionado con la acogida del "post" donde puse el enlace con la demostración del caso n=3. 

(1) Dadas dos soluciones de números enteros positivos \( (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2) \) de la ecuación \( x^n+y^n=z^n \) se dice que la primera es más pequeña que la segunda si \( x_1y_1z_1<x_2y_2z_2 \).

[León]

Racedom, es una cuestión semántica pero, efectivamente, en matemática "a y b son primos entre si", "a y b son son coprimos", "a y b son primos relativos" quieren decir lo mismo: "a y b no tienen factores primos en común". Esa es la definición usual.
Siga este enlace a la wikipedia, si no lo cree. Esas afirmaciones que cita no son erróneas (para que quede claro, 10.115 y 20.825 NO son primos entre si porque, por ejemplo, ambos son divisibles por 5).
Aclaro, de paso, que cuando n es mas grande que 3 la reducción que hace que esos dos factores sean coprimos y por lo tanto potencias enésimas no puede hacerse mas (al menos de la misma manera). Es por eso que este argumento sirve sólo para n=3, aunque no es evidente para mi cómo se termina.

Rubén, la segunda parte del mensaje anterior no era una cita sino el relato de lo que me pasó ayer a la tarde.
Si le interesa cuando tenga tiempo puedo traducir en el foro la demostración que enlazó el_manco.
Es triste que la palabra "aficionado" se tome como un insulto. Para mi es todo lo contrario y en este caso ni siquiera se opone a "profesional" (y tampoco tendría porqué tener connotación negativa si lo hiciera).

Saludos.