Autor Tema: Propiedad del Supremo

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05 Octubre, 2014, 01:55
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Julio_fmat

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Sea \[ S\subseteq \mathbb{R} \] un subconjunto acotado de \[ \mathbb{R}. \] Pruebe que \[ a=\sup (S) \] si y solo si \[ a\ge x, \, \forall x\in S \] y además \[ \forall \, \varepsilon >0, \, \exists \, x_0\in S \], tal que \[ x_0>a-\varepsilon. \]


Spoiler
Hola. Hay que usar la definición solamente? o es algo más que eso? Gracias.
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".

05 Octubre, 2014, 07:00
Respuesta #1

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
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07 Octubre, 2014, 20:43
Respuesta #2

Julio_fmat

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Muchas Gracias Fernando. :)

Estuve leyendo la demostración que tu entregas en tu blog, está buena.  :laugh:

Pero tengo algunas dudas con ciertos pasos:

Para el 1er. párrafo, entiendo que estás probando la implicancia \[ a=\sup(S)\implies (a\ge x)(\forall x\in S)\, \wedge \, (\forall \varepsilon >0)(\exists x_0\in S)(x_0>a-\varepsilon). \]

Pero no entiendo cómo concluyes que \[ a-\varepsilon_0<a \]?, ¿y porqué esto es una contradicción?

No sé si habrá otra forma de abordar este problema...
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

08 Octubre, 2014, 06:15
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pero no entiendo cómo concluyes que \[ a-\varepsilon_0<a \]?, ¿y porqué esto es una contradicción?

Está razonando por reducción al absurdo.

La negación de:

"para todo \[ \epsilon \] existe un \[ x_0\in S \] tal que \[ x_0>a-\epsilon \] "

es:

"existe un \[ \epsilon \] tal que para todo \[ x\in S \] se cumple \[ x\leq a-\epsilon \] "

Por tanto \[ a-\epsilon \] es una cota superior de S.

Lo contradictorio ahora no es sólo que \[ a-\epsilon<a \] sino que además que \[ a-\epsilon \] sea cota superior de \[ S \], ya que por definición el supremo \[ a \] debería de ser la menor de las cotas superiores.

Saludos.