Autor Tema: Conjunto S

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05 Octubre, 2014, 01:37
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Julio_fmat

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Sea \[ S=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n: n\in \mathbb{N} \right\}. \] Muestre que \[ 3 \] es una cota superior de \[ S. \]


Spoiler
Hola. Me indican que debo resolverlo por inducciòn, es decir, probar que \[ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\le 3, \; \forall n\in \mathbb{N}. \] ¿Es una buena idea?, o se puede demostrar sin usar Inducciòn?
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".

05 Octubre, 2014, 02:29
Respuesta #1

marion

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Hola Julio_fmat
No sé si sale con inducción pero otra manera de hacerlo es con el binomio de Newton:
\[  (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=1+{n \choose 1 }\displaystyle\frac{1}{n}+{n \choose 2}\displaystyle\frac{1}{n^2}+{n \choose 3}\displaystyle\frac{1}{n^3}+...+{n \choose n}\displaystyle\frac{1}{n^n}  \]
\[  (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=1+1+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}.\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}.\displaystyle\frac{1}{n^3}+...+\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)...[n-(n-1)]}{n!}.\displaystyle\frac{1}{n^n}  \]
\[  (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n=2+\displaystyle\frac{1}{2!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})+\displaystyle\frac{1}{3!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})+...+\displaystyle\frac{1}{n!}(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})...(1-\displaystyle\frac{n-1}{n})  \]
Ahora podemos considerar que:
\[  (1-\displaystyle\frac{1}{n})<1;(1-\displaystyle\frac{1}{n})(1-\displaystyle\frac{2}{n})<1 \], etc, y del resultado de arriba se tiene la desigualdad
\[  (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n<2+\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{3!}+...+\displaystyle\frac{1}{n!}  \]
Ahora, si tenemos en cuenta que \[  \displaystyle\frac{1}{3!}<\displaystyle\frac{1}{2^2} \], \[ \displaystyle\frac{1}{4!}<\displaystyle\frac{1}{2^3}  \], ..., \[  \displaystyle\frac{1}{n!}<\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}  \] podemos escribir:
\[  (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n<1+1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+...+\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}  \]
Ahí te quedará una progresión geométrica y puedes razonar que es menor que 3.