[Julio_fmat]

Sea \( S\subseteq \mathbb{R} \) un subconjunto acotado de \( \mathbb{R}. \) Pruebe que \( a=\sup (S) \) si y solo si \( a\ge x, \, \forall x\in S \) y además \( \forall \, \varepsilon >0, \, \exists \, x_0\in S \), tal que \( x_0>a-\varepsilon. \)

Spoiler

Hola. Hay que usar la definición solamente? o es algo más que eso? Gracias.

[cerrar]

[Fernando Revilla]

Mira el problema 6 aquí:

http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/08/supremo-infimo-maximales-y-minimales/

[Julio_fmat]

Muchas Gracias Fernando.

Estuve leyendo la demostración que tu entregas en tu blog, está buena. 

Pero tengo algunas dudas con ciertos pasos:

Para el 1er. párrafo, entiendo que estás probando la implicancia \( a=\sup(S)\implies (a\ge x)(\forall x\in S)\, \wedge \, (\forall \varepsilon >0)(\exists x_0\in S)(x_0>a-\varepsilon). \)

Pero no entiendo cómo concluyes que \( a-\varepsilon_0<a \)?, ¿y porqué esto es una contradicción?

No sé si habrá otra forma de abordar este problema...

[Luis Fuentes]

Hola

Pero no entiendo cómo concluyes que \( a-\varepsilon_0<a \)?, ¿y porqué esto es una contradicción?

Está razonando por reducción al absurdo.

La negación de:

"para todo \( \epsilon \) existe un \( x_0\in S \) tal que \( x_0>a-\epsilon \) "

es:

"existe un \( \epsilon \) tal que para todo \( x\in S \) se cumple \( x\leq a-\epsilon \) "

Por tanto \( a-\epsilon \) es una cota superior de S.

Lo contradictorio ahora no es sólo que \( a-\epsilon<a \) sino que además que \( a-\epsilon \) sea cota superior de \( S \), ya que por definición el supremo \( a \) debería de ser la menor de las cotas superiores.

Saludos.