Autor Tema: Probar que a^x es real

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07 Octubre, 2014, 12:21 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

 No tengo aquí el libro de Spivak y lo que dices por si sólo es muy incompleto.

 
Gracias a todos por sus respuestas, ahora me atore en una parte de la demostración, en el libro de Spivak, definen una función \( f(x)=exp(x), \forall{x\in{R}} \) (es decir exp(x) está definida para todo R), una función exponencial, que por el momento no es el que ya conocemos \( e^x \)

 ¿Cómo la define?.

Citar
, luego define \( exp(x)=e^x,\forall{x\in{Q}} \)

 Si ya ha definido previamente \( exp(x) \), a mi me parece que aquí deberías de decir "comprueba" en lugar de "define".

Citar
y luego menciona que debido a la anterior definición de la función exponencial \( exp(x)=ln^{-1}(x) \), entonces \( exp(x)=e^x,\forall{x\in{R}} \), como es posible afirmar eso?

 Nuevamente es difícil responder sin saber que definiciones usa; ahora bien quizá pueda estar usando que dos funciones continuas que coinciden sobre los racionales son iguales en todo punto.

Saludos.

07 Octubre, 2014, 11:02 pm
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

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En estos momentos tenemos que \(  exp(x)  \) está bien definida en \(  R  \).



Quiero decir es una función con las propiedades de las exponenciales, (teorema 3 ,en mi edición).


Se toma \(  e = exp(1)  \). (pag 472 de mi edición)
Por \(  \displaystyle   1 = log(e) = \int_1^e \frac{1}{t} dt  \).

Para los racionales :

\(  exp(x) = exp(1)^x = e^x  \) .

Pero la función \(  exp(x)  \) está de finida en todo \(  R  \).

Lo que propone es si estamos construyendo la función \(  e^x  \) que le falta para estar completa( para estar definida en los irracionales).

¿ Que candidato de función  le pondrías en los irracionales ?.

¿ No le pondrías \(  exp(x) = e^x  \) en los irracinales ?

Quiero decir si se que \(  exp(x)  \) está definida para todo \(  x \in R  \) y \(  e^x  \) sólo está definida en \(  Q  \) (en este momento de la construcción) y además tienes que \(  exp(x) = e^x  \) en los racionales cómo extendería \(  e^x  \) para que fuera continua en todo \(  R  \).

Haciendo \(  e^x = exp(x)  \).
Por eso pone en el Spivak:

Al estar \(  exp  \) definida para todo \(  x  \) y \(  exp(x) = e^x  \) para \(  x  \) racionales, resulta consecuente  con nuestro uso anterior de la notación exponencial definir \(  e^x  \) como \(  exp(x)  \) para todo \(  x  \).


 

 

 

09 Octubre, 2014, 04:43 am
Respuesta #12

busterxd

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Justo eso no entiendo bien, o sea ponen que \( e^x \) esta definida para \( Q \), pero como saber que \( e^x \) esta definida para los \( I \). Perdon pero la verdad me complico con eso, saludos.

09 Octubre, 2014, 05:01 am
Respuesta #13

Juan Pablo Sancho

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La función :

\(  f(x) = e^x  \) en este momento está definida para \(  x \in Q  \).

\(  exp(x)  \) está definida en \(  R  \).

Sabiendo que la función \(  exp(x)  \) tiene las propiedades de una exponecial (teorema 3).

Si para los números irracionales defino :

\(  e^x = exp(x)  \) quiero decir, para \(  x  \) irracional el velor de \(  e^x  \) es \( exp(x)  \).

Entonces \(  f(x) = e^x  \) tendrá las propiedades del teorema 3.

09 Octubre, 2014, 07:25 am
Respuesta #14

busterxd

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Excelente ya entendí, con eso último  ;D. De verdad se me hacía un lío. Muchas gracias Juan Pablo.