Autor Tema: Probar que a^x es real

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04 Octubre, 2014, 06:36 am
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busterxd

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Hola, les comento mi duda: Como saber que un real, elevado a otro número real, genera un número real?

Es decir: dado, \( a\in{R} \) al que \( a>0 \) y un \( x \in{R} \). Probar que \( a^x \in{R} \).

Gracias.

04 Octubre, 2014, 06:54 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Esa pregunta que haces es interesante, te digo que da un real, la función :
\(  \displaystyle f(x) = a^x  \) donde \(  x \in R  \)  y  \(  a > 0  \) se debe construir y de normal es dificil.
\(  {\red Editado }  \)
Si puedes obtener prestado el Calculos de Spivak te da una construcción usando integrales en otro libro pide menos que la integrales  pero es mortal.

Al final se monta la función \(  j(x) = e^x  \) y de esta por composición se obtienen las demás (f(x) = a^x).

Sea \(  f(x) = a^x = e^{x \cdot ln(a)}  \).




Saludos


04 Octubre, 2014, 07:01 am
Respuesta #2

busterxd

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Así es mi estimado Juan Pablo, si me podrías nombrar algunos libros adicionales al Spivak te lo agradecería mucho, y bueno como podría construir derivadas con la función \( e^x \) si tampoco sé (en teoría) si esta es real?, gracias.

04 Octubre, 2014, 07:24 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Libros que me gustan.

Analisis matemático I.

Autor Jesus Fernández Novoa

Librería uned.

Cuarta edición.

A partir de la página 331.

**********************************

Fundamentos del analisis matemático 1.

Autores:
V.LLin.
E.Pozniak.

Creo que en todos los libros de análisis matematico 1 estará la creación de la función, si no en internet busca análisis matematico.pdf y seguro te sale algo.

Perdón por la tardanza pero me va mal la conexión.

Mañana intentaré seguir.

Saludos.

04 Octubre, 2014, 10:19 am
Respuesta #4

feriva

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Hola, les comento mi duda: Como saber que un real, elevado a otro número real, genera un número real?

Es decir: dado, \( a\in{R} \) al que \( a>0 \) y un \( x \in{R} \). Probar que \( a^x \in{R} \).

Gracias.

  Tal como lo enuncias, si uno no se fija en la condición de que el número de la base está restringido a \( \mathbb{R}^{+}
  \) alguien que leyera deprisa podría caer en un despiste.
Un número positivo elevado a una potencia nunca puede cambiar de signo porque no existen las potencias negativas ni positivas, las potencias no tienen “polaridad”.
Por ejemplo, qué quiere decir   \( a^{-k}
  \) ( aquí había un despiste, había puesto "-1" partido de "k" ) con “k” un real positivo, quiere decir \( \dfrac{1}{a^{k}}
  \). Luego está claro, por definición, que el concepto de potencia negativa no existe, sí existe el concepto de potencia signada, pero no tiene nada que ver con positivos o negativos (y el lenguaje nos hace ver fantasmas donde no los hay, esa palabra “negativo” respecto de una potencia tiene tanto sentido como decir que el aire está triste).
 Tal función va de cero hasta infinito, no sólo no puede dar un número complejo, su restricción llega más lejos, también puedes estar seguro, sin más demostración, de que únicamente pertenece a \( \mathbb{R}^{+} \). Si estás seguro de que el producto de números reales positivos es otro número real, por la propiedad de clausura, entonces tienes que estar seguro de esto, porque es lo mismo.

Saludos.

05 Octubre, 2014, 05:47 am
Respuesta #5

busterxd

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Hola, les comento mi duda: Como saber que un real, elevado a otro número real, genera un número real?

Es decir: dado, \( a\in{R} \) al que \( a>0 \) y un \( x \in{R} \). Probar que \( a^x \in{R} \).

Gracias.

  Tal como lo enuncias, si uno no se fija en la condición de que el número de la base está restringido a \( \mathbb{R}^{+}
  \) alguien que leyera deprisa podría caer en un despiste.
Un número positivo elevado a una potencia nunca puede cambiar de signo porque no existen las potencias negativas ni positivas, las potencias no tienen “polaridad”.
Por ejemplo, qué quiere decir   \( a^{-k}
  \) ( aquí había un despiste, había puesto "-1" partido de "k" ) con “k” un real positivo, quiere decir \( \dfrac{1}{a^{k}}
  \). Luego está claro, por definición, que el concepto de potencia negativa no existe, sí existe el concepto de potencia signada, pero no tiene nada que ver con positivos o negativos (y el lenguaje nos hace ver fantasmas donde no los hay, esa palabra “negativo” respecto de una potencia tiene tanto sentido como decir que el aire está triste).
 Tal función va de cero hasta infinito, no sólo no puede dar un número complejo, su restricción llega más lejos, también puedes estar seguro, sin más demostración, de que únicamente pertenece a \( \mathbb{R}^{+} \). Si estás seguro de que el producto de números reales positivos es otro número real, por la propiedad de clausura, entonces tienes que estar seguro de esto, porque es lo mismo.

Saludos.

Hola, como puedes estar seguro de que pertenece a los reales positivos?

05 Octubre, 2014, 05:51 am
Respuesta #6

busterxd

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En el libro de Spivak, Calculo Infinitesimal mencionan una parte así:

El objetivo es hallar una función \( f(x) \) tal que: \( f(x+y)=f(x)f(y) \), luego añaden una restricción \( f(1)\neq{0} \), con lo cual concluye que: \( f(x)=[f(1)]^x \), para x racionales.

Me podrían aclarar como se llega a esa conclusión gracias.

05 Octubre, 2014, 06:14 am
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Sea \(  x= \frac{m}{n} \in Q  \)

\(  \displaystyle  f(1) =f(\frac{n}{n}) = f( \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}) = f^n(\frac{1}{n})  \) entonces:

\(  \displaystyle f(1)^{\frac{1}{n}} =  f(\frac{1}{n})  \)

Como tambien pasa :

\( \displaystyle  f(\frac{m}{n}) = f(\frac{1}{n} + \cdot + \frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n})^m = (f(1))^{\frac{1}{n}}^m = f(1)^{\frac{m}{n}} =f(1)^x  \)



Un hilo que te puede interesar:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=75225.msg299365#msg299365



Donde por inducción se prueba:

\(  f(x_1 + \cdots x_n) = f(x_1) \cdot f(x_2) \cdots f(x_n)  \).

Lo hemos probado para los \(  x \in Q^+  \).

Para los negativos sólo hay que tener en cuenta:
Sea \(  x \in Q^+  \)
\(  \displaystyle 1 = f(0) = f(x + (-x)) = f(1)^x \codt f(-x)  \)

Entonces:

\(  \displaystyle f(1)^{-x} = f(-x)  \)



A dormir toca.

05 Octubre, 2014, 11:40 am
Respuesta #8

feriva

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Hola, como puedes estar seguro de que pertenece a los reales positivos?

Porque pones la condición de que la base sea positiva y la potencia no puede cambiar nunca el signo de la imagen de la función y no existe ninguna otra condición añadida (que tú pongas) que pueda cambiarlo, puede hacer que dé un valor más grande o más pequeño, pero nunca menor que cero, el signo “-” no puede aparecer por arte de magia en esas circunstancias.

Saludos.

07 Octubre, 2014, 07:31 am
Respuesta #9

busterxd

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Gracias a todos por sus respuestas, ahora me atore en una parte de la demostración, en el libro de Spivak, definen una función \( f(x)=exp(x), \forall{x\in{R}} \) (es decir exp(x) está definida para todo R), una función exponencial, que por el momento no es el que ya conocemos \( e^x \), luego define \( exp(x)=e^x,\forall{x\in{Q}} \), y luego menciona que debido a la anterior definición de la función exponencial \( exp(x)=ln^{-1}(x) \), entonces \( exp(x)=e^x,\forall{x\in{R}} \), como es posible afirmar eso?. Saludos.