Autor Tema: Demuestra que la solucion del Problema de Condiciones Iniciales

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08 Octubre, 2014, 01:02 pm
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fjramirez

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Hola,

tengo una duda con el siguiente problema:

Demuestra que la solución del Problema de Condiciones Iniciales

\( x' = \displaystyle\frac{f(t)}{g(x)}; \textsf{}x(t_o)= x_o \)

es:

\( G(x(t))=F(t) \textsf{ donde }G(x)=\displaystyle\int_{x_o}^{x} g(s) ds; \textsf{ y } F(t)= \displaystyle\int_{t_o}^{t} g(s) ds \)


Yo lo que hago es resolver la ecuación para llegar hasta su solución general y ahí sustituir por el valor de la condición inicial. La ecuación es una ecuación de variables separadas. Pero no se si esto esta bien:

\( \displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{f(t)}{g(x)}; g(x)dx=f(t)dt; \textsf{ }EDVS \)
\( \displaystyle\int_{}^{}g(x)dx=\displaystyle\int_{}^{}f(t)dt; G(x)=F(t)+C; G(x(t))=F(t) \)

Alguien me corrige?

08 Octubre, 2014, 01:29 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Aquí tienes una errata:

\( G(x(t))=F(t) \textsf{ donde }G(x)=\displaystyle\int_{x_o}^{x} g(s) ds\; \textsf{ y } F(t)= \displaystyle\int_{t_o}^{t}\color{red} g(s)\color{black} ds \)

Sería:

\(  \displaystyle\int_{t_o}^{t}\color{red} f(s)\color{black} ds \)

Citar
Yo lo que hago es resolver la ecuación para llegar hasta su solución general y ahí sustituir por el valor de la condición inicial. La ecuación es una ecuación de variables separadas. Pero no se si esto esta bien:

\( \displaystyle\frac{dx}{dt}=\displaystyle\frac{f(t)}{g(x)}; g(x)dx=f(t)dt; \textsf{ }EDVS \)
\( \displaystyle\int_{}^{}g(x)dx=\displaystyle\int_{}^{}f(t)dt; G(x)=F(t)+C; G(x(t))=F(t) \)

Alguien me corrige?

Es una opción. Es decir te queda:

\( g(x)dx=f(t)dt \)

Integrando:

\( \displaystyle\int_{x(t_0)}^{x(t)}g(x)dx=\displaystyle\int_{t_0}^{t}f(s)ds \)

que es justo la solución que te indican.

Otra opción es que compruebes:

- Que la solución que te dan cumple la condición inicial.
- Que verifica la ecuación diferencial dada.

Saludos.

08 Octubre, 2014, 01:57 pm
Respuesta #2

fjramirez

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