[Michel]

En un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, se toma un punto M sobre la base BC. Demostrar que la suma de las distancias de M a los lados AB y AC es constante, cualquiera que sea la posición de M.

[Michel]

Sean MP y MQ las perpendiculares trazadas por M a los lados AC y AB; CD la perpendicular por C a AB.

Trazando AM se divide el triángulo dado en los triángulos ABM y ACM; la suma de las áreas de estos es igual al área del ABC: (ABM)+(ACM)=(ABC).

(ABM)+(ACM)=AB·MQ/2+AC·MP/2=AB·MQ/2+AB·MP/2=AB(MQ+MP)/2

(ABC)=AB·CD/2

De las relaciones anteriores resulta: AB(MQ+MP)/2=AB·CD/2

Simplificando, se obtiene (MQ+MP=AB·CD, que es constante por ser constantes los dos segmentos.