Autor Tema: Prueba del UTF para n=4

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12 Septiembre, 2014, 10:58 am
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mente oscura

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Hola.

Apartado A) Demostración UTF, para n=4.

\( Sean \ A, \ B, \ C \  \in{\mathbb{N}}\ coprimos / A, \ C \ = \ impares; \ B \ = \ par \ / A^2+B^2=C^2 \)

(*) Consideremos, como posible:

\( A=x^2 \)

\( B=y^2 \)

\( C=z^2 \)

De forma que:

\( x^4+y^4=z^4 \)

Según las fórmulas “tradicionales”, para la obtención de “ternas pitagóricas”:

\( A=M^2-N^2 \)

\( B=2MN \)

\( C=M^2+N^2 \)

Propiedades:

1ª)

\( C+B=M^2+N^2+2MN=(M+N)^2 \)

\( C+B=z^2+y^2=(M+N)^2 \). Por (*)

2ª)

\( C-B=M^2+N^2-2MN=(M-N)^2 \)

\( C-B=z^2-y^2=(M-N)^2 \). Por (*)

Conclusión: obtenemos dos “ternas pitagóricas”, en las que dos de sus elementos son iguales.

\( z^2+y^2=(M+N)^2 \)

\( z^2-y^2=(M-N)^2 \)

Consideración: Si demostramos, que no es posible que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes, habremos demostrado la UTF, para n=4.


Apartado B) Demostración de la imposibilidad de que, dos “ternas pitagóricas”, tengan dos elementos comunes:

\( Sean \ a, \ b, \ c \  \in{\mathbb{N}} / a, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / a^2+b^2=c^2 \).(1)

\( Sean \ d, \ b, \ c \  \in{\mathbb{N}} / d, \ c \ = \ impares; \ b \ = \ par \ / c^2+b^2=d^2 \).(2)

Consideraciones:

1º)  a, b, c, d, coprimos, por lo que son ternas pitagóricas primitivas.

2º) “c” es el menor impar, que cumple (1) y (2)


Paso 1º)

\( a^2+b^2=c^2 \)

\( a=m^2-n^2 \)

\( b=2mn \)

\( c=m^2+n^2 \)


Paso 2º)

\( c^2+b^2=d^2 \)

\( c=u^2-v^2 \)

\( b=2uv \)

\( d=u^2+v^2 \)

Por supuesto: “m” y “n” coprimos, al igual que “u” y “v”.


Por Paso 1º) y Paso 2º):

\( b=2mn=2uv \)

Voy a descomponer “b” en cuatro factores coprimos: “e”, “f”, “g” y “h”, tal que:

\( b=2efgh \)

Y, asignamos, por ejemplo:

\( m=ef \)

\( n=gh \)

\( u=eg \)

\( v=fh \)

Siendo: e=mcd(m,u),   f=mcd(m,v),   g=mcd(n,u),  h=mcd(n,v)

Ahora, me basaré en el otro elemento común a las dos ternas: “c”

\( c=m^2+n^2=e^2f^2+g^2h^2 \)

\( c=u^2-v^2=e^2g^2-f^2h^2 \)

Por tanto:

\( e^2f^2+g^2h^2= e^2g^2-f^2h^2 \)

\( g^2h^2+f^2h^2= e^2g^2-e^2f^2 \)

\( h^2(g^2+f^2)=e^2(g^2-f^2) \)

Al ser “h” y “e” coprimos, y, también, \( g^2+f^2 \) y \( g^2-f^2 \), (observemos que "g" o "f" han de ser "par", lo que posibilita la coprimalidad), se deduce que:

\( h^2=g^2-f^2 \)

\( e^2=g^2+f^2 \)

Con lo cuál, tenemos otras dos ternas pitagóricas con dos elementos comunes, pero:

\( c \ > \ g \)

Ya que:

\( c=m^2+n^2>n^2=g^2h^2>g^2>g \)

Que no es posible, ya que habíamos considerado “c”, como el menor impar que cumplía las condiciones (1) y (2).

Con lo cual, queda demostrado el “Apartado B)” y, por consiguiente, también el “Apartado A)”, concluyendo la imposibilidad de:

\( x^4+y^4=z^4 \)
 

Un cordial saludo.

12 Septiembre, 2014, 12:56 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Desde mi punto de vista la demostración es correcta.  :aplauso:

Saludos.

12 Septiembre, 2014, 04:01 pm
Respuesta #2

Proyecto

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Hola mente oscura,

Te felicito. La estrategia me parece brillante y las 2 demostraciones en que sustentas tu prueba simples y bellísimas. ¡¡Sí señor!! :aplauso:


Me gustaría también expresar mi reconocimiento a este foro por mantener un apartado específico referente al Último Teorema de Fermat, cosa que lo hace muy original y atrevido y también a la no numerable paciencia de moderadores como el_manco con todos los que escribimos por aquí. :aplauso:

Un saludo y enhorabuena
  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 

12 Septiembre, 2014, 09:41 pm
Respuesta #3

feriva

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  • ¡EUKERA!... ¡UEREKA!... ¡EUREKA! (corregido)
  :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Mi más sincera enhorabuena, menteo scura, es una gran alegría ver un logro como éste; quizá pequeño para algunos, pero para mí es grande (y sobre todo es una alegría ver cómo el_manco, por fin, ha dado su visto bueno en una demostración de este tipo :) )

 Un cordidal saludo.

14 Septiembre, 2014, 03:36 am
Respuesta #4

mente oscura

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Hola.

Muchas gracias, el_manco, Proyecto y feriva.

Me gustaría saber, si se puede publicar, o "quedar fijo" el "hilo", de forma que no se pierda con el paso del tiempo.

Un cordial saludo.

14 Septiembre, 2014, 10:23 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Me gustaría saber, si se puede publicar, o "quedar fijo" el "hilo", de forma que no se pierda con el paso del tiempo.

En principio nosotros no borramos ningún post, así que en la medida que seamos capaces de mantener este foro vivo (y es nuestra intención) y no nos traicione la tecnología, tu mensaje no se perderá con el paso del tiempo.

Lo he puesto como tema fija para que se vea al principio del subforo del Teorema de Fermat.

Opciones alternativas para su difusión sería:

- Publicarlo en la revista del foro.
- Intentar publicarlo en una revista de matemáticas divulgativa (las revista mas técnicas no lo aceptarían). En ese sentido sería bueno comparar tu prueba con las ya existentes.

Saludos.

14 Septiembre, 2014, 01:39 pm
Respuesta #6

Piockñec

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Mi más sincera enhorabuena, mente oscura!!! :D

16 Septiembre, 2014, 12:30 pm
Respuesta #7

mente oscura

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Mi más sincera enhorabuena, mente oscura!!! :D

Gracias.  :D

09 Diciembre, 2015, 08:00 pm
Respuesta #8

robinlambada

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¡¡Felicidades mente oscura!!.   :aplauso: :aplauso:

Al otro lado de tu oscura mente encontrastes la luz.

Enhorabuena.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

11 Diciembre, 2015, 12:08 pm
Respuesta #9

mente oscura

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¡¡Felicidades mente oscura!!.   :aplauso: :aplauso:

Al otro lado de tu oscura mente encontrastes la luz.

Enhorabuena.

Gracias robinlambada:D

12 Diciembre, 2015, 11:42 pm
Respuesta #10

pierrot

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Me alegro de que hayas tenido éxito en tu búsqueda.

Mis más sinceras felicidades  :)
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22 Diciembre, 2015, 08:08 pm
Respuesta #11

mente oscura

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Me alegro de que hayas tenido éxito en tu búsqueda.

Mis más sinceras felicidades  :)

Gracias, pierrot