Autor Tema: Cálculo de una integral con raíz en el denominador

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07 Septiembre, 2014, 01:36 pm
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Piockñec

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\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \)

La verdad es que he intentado varios cambios de variable, pero al azar, nunca he sabido cómo pensar los cambios de variable...
...y no me sale. ¿Alguna idea? ¡Muchas gracias!

07 Septiembre, 2014, 02:39 pm
Respuesta #1

Piockñec

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jeje era inmediata :P Imposible sacarla por cambio de variable, era transcendental:

\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=arccosh(x)+C \)

07 Septiembre, 2014, 02:44 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola, te paso la parte de unos apuntes (1 pagina sólo), que me hice para las oposiciones , donde creo que explico facílmente como hacer el cambio de variable, por analogia con el teorema de pitágoras.
en este caso debes hacer el cambio:
\( x=sec \theta=\frac{1}{cos \theta} \) , \( \sqrt{x^2-1}=tg\theta \) ,\( dx=\frac{-sin\theta}{cos^2 \theta}d\theta \)
Aunque en este caso concreto es inmediata ( obtenemos la integral de la secante), suele ser facíl de integrar, al menos eliminas la raiz siempre.
Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Septiembre, 2014, 02:48 pm
Respuesta #3

robinlambada

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No queria decirtelo, para que te dieras cuenta que era inmediata, pero mira el archivo scan001.pdf que te mande en el anterior post, pues es muy facil de entender y muy practico en general.
Puedes aplicar el ' método pitagórico' de cambio de variable a esta integral, si quieres:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}\frac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}} \)

Saludos.
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07 Septiembre, 2014, 04:50 pm
Respuesta #4

Piockñec

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Qué maravilla, robinlambada. ¡Muchísimas gracias!

en este caso debes hacer el cambio:
\( x=sec \theta=\frac{1}{cos \theta} \) , \( \sqrt{x^2-1}=tg\theta \) ,\( dx=\frac{-sin\theta}{cos^2 \theta}d\theta \)

A mí me sale \( \sqrt{x^2-1}=\dfrac{c^4}{c^4}\sqrt{\dfrac{1}{c^2}-1}=\dfrac{s}{c^4}=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)^4} \), no me sale la tangente. Está genial el truco, robinlambada. En la integral que puse en el primer post, quedaría:

\( \displaystyle\int \cos(\theta)^2 d\theta \)

Y como:

\( \cos(t)^2=(\dfrac{e^{it}+e^{-it}}{2})^2=\dfrac{e^{i2t}+e^{-i2t}+2}{4}=\dfrac{\cos(2t)+1}{2} \)

La integral queda:

\( \dfrac{1}{2}\displaystyle\int (\cos(2\theta)+1) d\theta=\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sin(2\theta)}{2}+\theta)+C \)

y al deshacer el cambio de variable,

\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sin(2\arccos(\dfrac{1}{x}))}{2}+\arccos(\dfrac{1}{x}))+C \)

07 Septiembre, 2014, 05:01 pm
Respuesta #5

Juan Pablo Sancho

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Sea \(  x = ch(t)  \) tenemos que \(  dx = sh(t)dt  \)

\(  \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \int \frac{sh(t)dt}{sh(t)} = \int dt = t + C  \)

Donde \(  ch^2(t) - sh^2(t) = 1  \)

\(  \displaystyle   t + C = ln(|x + \sqrt{x^2-1}|) + C  \)

07 Septiembre, 2014, 05:06 pm
Respuesta #6

Piockñec

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En tu integral, me quedaría así:

\( \tg(t)=\dfrac{x}{2} \)
\( \dfrac{dt}{c^2}=\dfrac{dx}{2}\Longrightarrow{}dx=\dfrac{2dt}{c^2} \)

Perdona que ponga c como coseno, y s como seno. Es más rápido. Así lo escribo yo a mano también jajaja

\( \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{dx}{x^2\sqrt{4+x^2}}=\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{2dt}{c^2(\dfrac{4s^2}{c^2})\sqrt{4-4(\dfrac{s^2}{c^2}}}=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{c^4dt}{4s^2} \)

:)

Gracias, robimlambada, por tan buenos apuntes! ;)

07 Septiembre, 2014, 05:12 pm
Respuesta #7

Piockñec

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Juan Pablo, ese también es otro buen truco jajaja no había caído yo en usar cambios de variable con funciones hiperbólicas.

¿De dónde sale \(  \displaystyle   t + C = ln(|x + \sqrt{x^2-1}|) + C  \)?
Es decir, \( t+C=arccosh(x)+C \), pero luego cómo has llegado a que la expresión del arcocoseno hiperbólico como un logaritmo, etc etc.? Es justo la solución de la integral que pone Echegaray en su libro. Por eso estaba buscando cambios de variable como un loco, sin plantearme que era inmediata...

¡Muchas gracias!

P.D: Acabo de verte en el foro por primera vez, pero llevas 1000 mensajes. ¿Eres pablitotontito que te has cambiado el nombre? ;) Veo que no eres entonces tan tocayo mío jajaja el juan destruye la tocayez.

07 Septiembre, 2014, 05:41 pm
Respuesta #8

Juan Pablo Sancho

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Si hacemo \(  x = ch(t)  \) tenemos que \(   x = \dfrac{e^t + e^{-t}}{2}  \)

\(  2x \cdot e^t = (e^t)^2 + 1  \)

Un cambio de variable \(  e^t = u  \).
Te queda:

\(  u^2 - 2xu + 1 = 0 \) resolvemos el polinomio y queda:

\(  u = x \pm   \sqrt{x^2-1}  \)

Nuestra solución es :

\(  u= e^t = x + \sqrt{x^2 - 1 } \)

\(  t = ln(|x + \sqrt{x^2 - 1}|)  \).

07 Septiembre, 2014, 06:46 pm
Respuesta #9

Piockñec

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