Autor Tema: Ciclos, intervalos y relaciones de recurrencia

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21 Agosto, 2014, 12:04 am
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hector

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Hola a todos,
Sea \( f: I\rightarrow{} I \) una función continua. Dados  dos intervalos cerrados (no triviales) \( J.K\subset{} I \) se dice que J cubre a K por f si existe\(  K\subset{} f(J) \), esta relacion es denotada por \( J\longrightarrow{ }K \)

a) Demostrar que si \( J\longrightarrow{}K \), entonces existe un intervalo cerrado \( L \subset{}J \) tal que\(  f(L) =K
 \)
b) demostrar que si \( J \longrightarrow{}J \), entonces f tiene un punto fijo

c) demostrar que si \( J_0\longrightarrow{} J_1\longrightarrow{} J_2 \), entonces existen \( L_1\subset{} L_0 \subset{}J_0 \) tales que \( f(L_0)=J_0 \),\(  f(L_1)\subset{} J_1 \) y \( f^2(L_1)=J_2 \)

d) use induccion Matematica para demostrar que que si \( n\geq{2} \) y \( J_0 \longrightarrow{}J_1\longrightarrow{} ...\longrightarrow{}J_n \), entonces existen \( [tex]L_{n-1}\subset{}L_{n-2} \subset{}... \subset{}L_0 J_0 \)[/tex] tales que : \( f(L_0)=J_1 \), para todo \( 1\leq{k}\leq{n-1} \) y cada \( 1\leq{m}\leq{k} \) se tiene \( f^m(L_k)\subset{}J_m \) y \( f^{k+1}(L_k)=J_{K+1} \).



Demostración.

He tenido problemas con la parte a, en probar la inclusión contraria \( f(L)\supset{}K \)

Con la parte b no hay inconvenientes ya lo tengo probado.

Con la parte c y es donde se centra la pregunta ya que si logro probarlo podre usar inducción para demostrar la parte d

he hecho lo siguiente, \( J_1\longrightarrow{J_2} \) existe \( L_1 \subset{J_1} \) tal que \( f(L_1)=J_2 \), como \( J_0\longrightarrow{J_1} \) se tiene que \( J_1\subset{} f(J_0) \) pero \( L_1\subset{J_1}\subset{f(J_0)} \), por tanto \( J_0\longrightarrow{L_1} \). Así, existe \( L_0\subset{J_0} \) tal que \( f(L_0)=L_1 \).

Sin Embargo no logro probar nada (Alguna ayuda)

Por otro lado, creo que existe un error en los enunciados, ya que la parte d es la generalización de la parte c y algunas cosa no coinciden. por ejemplo en la parte c \( f(L_0)=J_0 \), y en la parte d aparece \( f(L_0)=J_1  \).