[Iziro]

Sea \( f \)una función real en un espacio medible \( X \) tal que \( \{x:f(x)\geq{r}\} \) is medible para todo racional \( r \) entonces \( f \) es medible.

Mostramos que \( f^{-1}\{(a,b)\} \)  es medible para todo \( a,b\in{\mathbb{R}} \) (a<b), pero como \( (a,b)=\displaystyle \bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{B^n_{r_0}(r)} \) donde \( B^n_{r_0}(r) \) es un intervalo de centro racional \( r \) y radio racional \( r_0 \).

Por lo que solo vemos que \( f^{-1}\{(r-r_0,r+r_0)\} \) es medible.

Sabemos que \( \{x:f(x)\geq{r+r_0}\} \) es medible por lo que \( (\{x:f(x)\geq{r+r_0}\})^c=\{x:f(x)<r+r_0\} \) es medible.

En particular veamos que \( \{x:f(x)>r-r_0\} \) es medible.

Por lo tanto

\( (r-r_0,r+r_0)=\{x:f(x)>r-r_0\}\cap{ \{x:f(x)<r+r_0\}}=

f^{-1}\{(r-r_0,r+r_0)\} \)

es medible.

¿Esta bien? 

[Carlos Ivorra]

La idea es buena, aunque la estás expresando de forma un tanto confusa. En particular, la primera igualdad de la última fórmula mezcla subconjuntos de dos conjuntos diferentes.

Queda más claro así: para todo \( s\in \mathbb R \)

\( \{x:f(x)>{s}\}=\bigcup\limits_{r\in \mathbb Q,\ r\geq s}\{x:f(x)\geq{r}\} \),

de donde deduces que el conjunto de la izquierda es medible. Tomando el complementario, lo mismo vale con la condición \( f(x)\leq s \), por el mismo argumento de la unión numerable, lo mismo vale para \( f(x)<t \), y tomando la intesección lo mismo vale para \( s<f(x)<t \).

[Iziro]

Si, ya vi que mezcle mal.

Pero del hecho de que \( \{x:f(x)\geq{r+r_0}\} \) es medible ¿no se puede concluir que \( \{x:f(x)>r+r_0\} \) es medible?

Y como \( (\{x:f(x)\geq{r+r_0}\})^c=\{x:f(x)<r+r_0\} \) es medible tenemos que la intersección:

\(  \{x:f(x)>r-r_0\}\cap{ \{x:f(x)<r+r_0\}}= f^{-1}\{(r-r_0,r+r_0)\} \)

es medible.

[Carlos Ivorra]

Pero del hecho de que \( \{x:f(x)\geq{r+r_0}\} \) es medible ¿no se puede concluir que \( \{x:f(x)>r+r_0\} \) es medible?

Directamente no veo cómo. Tomando el complementario, eso es equivalente a que sea medible el conjunto  \( \{x:f(x)\leq r+r_0\} \), que es la desigualdad opuesta a la que tienes.

[Iziro]

Gracias.