Autor Tema: Ley de Gravitación Universal

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10 Agosto, 2014, 04:48 am
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sebabonani

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Hola: es muy bien conocida la ley de gravitación universal: \(  F=G \displaystyle\frac{m_1 m_2}{r^2} \)  la que en su forma vectorial quedaría como \(  \vec{F}=-G \displaystyle\frac{m_1 m_2}{ \left\|{\vec{r_2}-\vec{r_1}}\right\|^3} (\vec{r_2}-\vec{r_1}) \); en fin esta ley tengo entendido calcula la fuerza entre masas puntuales, pero desde la escuela me han enseñado que con esta fórmula se puede obtener la aceleración de gravedad de un planeta con saber su radio y masa.
Mi duda pasa por el hecho que un planeta no es una masa puntual, sino que una masa continua. Quizás un planeta muy lejano se puede considerar como puntual, pero si estoy parado sobre su superficie, claramente es continuo.
¿qué ocurre en este caso? :banghead:

pd: intenté hacer un calculo con integrales, pero me resultaron unas integrales triples que ni WolframAlpha me ha podido resolver

10 Agosto, 2014, 05:42 am
Respuesta #1

javier m

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Pues, la misma formula es valida para esferas homogeneas, mientras que el punto donde vayas a calcular el campo (fuerza) esté por fuera de la esfera

Y pues, parece que hacer la integral sí está diabolico

habría que usar mejor la ley gauss para el campo gravitatorio y la simetría del problema

Gauss:

\( \displaystyle\oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=-4\pi GM \)

Si queremos hallar el campo \( \vec{g} \) en \( \vec{r} \) trazamos una esfera de radio \( r \) (nuestra superficie \( S \)), y por la simetría esferica (\( \vec{g} \) es radial y solo depende de \( r \)):

\( \displaystyle\oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S}=-gS=-g(4\pi r^2) \)

Por tanto \( g=\dfrac{GM}{r^2} \)


Si tienes dudas, que las tendras de seguro, comenta.
Saludos.


10 Agosto, 2014, 05:54 am
Respuesta #2

javier m

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En el Resnick está hecho como se debe.

10 Agosto, 2014, 06:02 am
Respuesta #3

ingmarov

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Hola amigos!

Creo que esto es análogo a la ley de coulomb de la fuerza entre cargas puntuales.

Se puede calcular la fuerza de una esfera sobre una masa puntual m2 dividiendo el volumen del planeta en diferenciales de volumen y calculando la fuerza que cada diferencial ejerce sobre una masa puntual m2.

Si consideramos un planeta con densidad constante \( \rho \), para simplificar el problema,  el diferencial de masa sería:
\( dm=\rho\cdot dV \)

Si r2 es el vector de posición de la masa m2 respecto a O y r1 es el vector de posición del diferencial de masa respecto a O, entornces:

R=r2-r1 es el vector que va desde el diferencial de masa a la masa m2. su magnitud es la distancia de separación entre el diferencial y m2.

Usaré coordenadas esféricas y para simplificar los cálculos ubicaré la masa m2 en el eje z, así que \( r2=z\hat{z} \)
Ahora \( r_1=r\hat{r} \)
de lo anterior tenemos que \( R=z\hat{z}-r\hat{r} \)
La magnitud de R al cuadrado será \( \vec{R}\cdot\vec{R}=z^2+r^2-2rz\cos{\theta} \)

El diferencial de volumen es \( r^2\sen{\theta}d\phi d\theta dr \)

Ahora el diferencial de Fuerza será

\( d\vec{F}=-G\cdot m_2\dfrac{\rho\cdot r^2\sen{\theta}d\phi d\theta dr\cdot(z\hat{z}-r\hat{r})}{(z^2+r^2-2rz\cos{\theta})^{\frac{3}{2}}} \)

Y finalmente la fuerza será la integral

\( \displaystyle\vec{F}=-G\cdot m_2\int_0^{r}\int_0^{pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{\rho\cdot r^2\sen{\theta}d\phi d\theta dr\cdot(z\hat{z}-r\hat{r})}{(z^2+r^2-2rz\cos{\theta})^{\frac{3}{2}}} \)   una correccion me faltaba poner m2

Bueno si hacemos el producto punto de \( \hat{z}\cdot \vec{E} \) obtenemos la componente de la fuerza en dirección de z, creo que la fuerza resultante solo tiene dirección z, las demás direcciones se cancelan.

En esta integral hay tres casos a considerar cuando z es mayor que el radio de la esfera, cuando z es menor que el radio de la esfera y cuando z es igual al radio de la esfera, siendo este último el que interesa a sebabonani,

Revisaré luego esto.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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10 Agosto, 2014, 06:12 am
Respuesta #4

sebabonani

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una integral muy similar obtuve yo, lo que en realidad me interesa es la aceleracion asi que he trabajado solo con una masa. el problema es que no he podido calcular la integral, probe primero en la calcladora voyage 200, luego lo meti a la pagina de wolfram y luego al Mathematica 9 y nada  ???

10 Agosto, 2014, 06:18 am
Respuesta #5

ingmarov

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Si haces el producto punto que recomiendo a la fuerza te saldrá y debes definir el caso que te interesa.

Publicaré la resolución a mano en un rato
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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10 Agosto, 2014, 08:38 am
Respuesta #6

ingmarov

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Primero el producto punto que recomendé
Considero a la densidad ro constante así que lo saco de la integral
\( \displaystyle\hat{z}\cdot\vec{F}=F_z=-G\rho\cdot m_2\int_0^{R}\int_0^{pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{\cdot r^2\sen{\theta}d\phi d\theta dr\cdot(z-r\cos(\theta))}{(z^2+r^2-2rz\cos{\theta})^{\frac{3}{2}}} \)

Integramos en fi

\( \displaystyle F_z=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\int_0^{pi}\dfrac{\cdot r^2\sen{\theta} d\theta dr\cdot(z-r\cos(\theta))}{(z^2+r^2-2rz\cos{\theta})^{\frac{3}{2}}} \)

Hacemos \( u=z^2+r^2-2rz\cos{\theta}\quad\Rightarrow{\frac{du}{d\theta}=2rz\sen{\theta}} \)
Además \( -r\cos{\theta}=u-(z^2+r^2) \)

ahora los límites de integración \( \displaystyle\int_0^{\pi}\longrightarrow{\int_{(z-r)^2}^{(z+r)^2}} \)

Reescribo la integral y luego hago la sustitución

\( \displaystyle F_z=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r}{2z}\int_0^{pi}\dfrac{(z-r\cos(\theta))2zr\sen{\theta} d\theta dr}{(z^2+r^2-2rz\cos{\theta})^{\frac{3}{2}}}=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{r}\dfrac{r}{2z}\int_{(z-r)^2}^{(z+r)^2}}\dfrac{(z+\dfrac{u-(z^2+r^2)}{2z})du dr}{u^{\frac{3}{2}}} \)

\( \displaystyle F_z=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r}{4z^2}\int_{(z-r)^2}^{(z+r)^2}}\dfrac{(u+z^2-r^2)du dr}{u^{\frac{3}{2}}}= \)

\( \displaystyle =-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r}{4z^2}\left \left(2u^{\frac{1}{2}}+2\dfrac{z^2-r^2}{u^{\frac{1}{2}}}\right)\right|_{(z-r)^2}^{(z+r)^2} dr=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r}{2z^2}\left \left(\dfrac{u-z^2+r^2}{u^{\frac{1}{2}}}\right)\right|_{(z-r)^2}^{(z+r)^2} dr \)   Corregido

\( \displaystyle =-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r}{2z^2}\left(\dfrac{2r(z+r)}{|z+r|}+\dfrac{2r(z-r)}{|z-r|}\right) dr=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{r^2}{z^2}\left(\dfrac{z+r}{|z+r|}+\dfrac{z-r}{|z-r|}\right) dr \)

Para z>r   \( \displaystyle F_z=-G\rho 2\pi\cdot m_2\int_0^{R}\dfrac{2r^2}{z^2} dr=\dfrac{-Gm_2(\rho\frac{4\pi}{3}R^3)}{z^2}=\dfrac{-Gm_2M1}{z^2} \)

Donde z es la distancia desde el centro de la esfera hasta m2

Si Z es igual a R significa que m2 esta en la superficie de la esfera

Revisado y corregido
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10 Agosto, 2014, 02:37 pm
Respuesta #7

feriva

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 Hola, Sebabonani.

  Sí, Newton parte de esa fórmula (\(  F=(G{\displaystyle \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}})\hat{r}} \))  para hallar la fórmula de la “g” pequeña.

En ese momento, Newton trabaja con un cálculo integral muy rudimentario y recién inventado; ni siquiera maneja la idea de función, que sí había inventado Leibnitz pero que Newton todavía no conocía (como deja constancia de ello su biógrafo Westfall). Trabajaba intuitivamente con su binomio y con una cosa que llamaba fluxiones (que venían a ser los diferenciales “dx” de Leibnitz y que tampoco conocía) y hasta ahí. Con esto te quiero decir que Newton, con seguridad, sabía mucho menos cálculo que tú (más que yo sí que sabía seguro).

  Si no conocía eso, pues mucho menos conocía las integrales de campo cerrado, porque Gauss nace casi un siglo y medio después; es importante tener en cuenta el contexto histórico.

 Ahora bien, la idea de Newton para calcular “g” sí pasa por la idea básica de integración, él considera un cuerpo como una suma de muchas partículas de masa muy pequeña, lo cual da lugar a unos cálculos horribles cuando los cuerpos tienen formas caprichosas. Pero si se considera una esfera —que es lo que hizo él— toda la fuerza de atracción se concentra en el centro de la esfera y ese centro se puede considerar como una partícula, como si toda la masa de la Tierra estuviera concentrada en ese punto (ésta es la clave).

 Así, una silla tiene una forma caprichosa, pero no es necesario considerar cómo está repartida la masa en ese volumen ni nada parecido aunque ésta está sobre la superficie de la Tierra, porque la silla se encuentra muy lejos del centro del planeta, a  \( 6,37\times10^{6}m \), o sea, a más de seis mil kilómetros de distancia; y visto de este modo la silla es una partícula.

 Por lo que \(  F=(G{\displaystyle \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}})\hat{r}}=m_pg \), donde “m” sub p, es la masa del planeta y “F” no es más que el peso del objeto.

 Newton no hizo ningún cálculo extra para pasar de una fórmula a otra, es una concepción teórica que admite y que, más tarde, se fue viendo que funcionaba razonablemente bien.

Por otra parte ocurre que las ecuaciones de campo que se usan en electromagnetismo no funcionan del todo bien con el campo gravitatorio:

 Si te fijas, la “G” grande tiene como magnitud la inversa de una densidad multiplicada por la inversa de un tiempo al cuadrado

\( G=\dfrac{gr^{2}}{M}\,\,\dfrac{(m/s^{2})m^{2}}{kg}=\dfrac{m^{3}}{s^{2}kg} \). ¿Qué es G?

 La velocidad de escape asociada a un planta es  \( \sqrt{2rg} \) (donde “r” es el radio del planeta y “g” la gravedad). De aquí podemos deducir un tiempo asociado a esa velocidad (al que no hay por qué dar significado si no se quiere, basta comprender que existe como relación) el cual es

  \( t=\sqrt{\dfrac{2r}{g}} \)

o expresando g según su expresión típica

\( t=\sqrt{\dfrac{2r^{3}}{MG}} \)

Es claro que tiene magnitud de tiempo (pongamos que sean segundos, tiempo en SI).

 Por otro lado, la densidad de un cuerpo esférico viene dada por  \( \dfrac{3M}{4\pi r^{3}} \)

 Pues bien, si tomamos la densidad del planeta (esférico) y el tiempo que te había dicho, y los sustituimos en la expresión de la “fórmula” de la magnitud de G, obtenemos

\( G=\dfrac{3}{2\pi\rho t^{2}} \)

donde “ro” es la densidad del planeta y “t” es ese tiempo asociado a la velocidad de escape; o si quieres decirlo de otra forma, asociado al radio y a la gravedad del planeta.

Esta expresión es general para cualquier planeta o satélite del sistema solar, como puede comprobar cualquiera tomando los datos necesarios de un libro o de Internet. Es decir, “G” es eso, no un valor  misterioso sin identidad.

 Como consideramos constante las densidades del los planetas y demás cuerpos, así como su radio y su “g”, entonces “G” es constante; debido a esas consideraciones.

 Pero resulta que esa densidad no casa bien cuando se utilizan las integrales de campo.

Saludos.